Stufe (алгебра)

В теории поля , разделе математики , Stufe (/ ʃtuːfə /; нем. level) s ( F ) поля F — это наименьшее число квадратов, сумма которых равна −1. Если −1 нельзя записать в виде суммы квадратов, s ( F ) = . В этом случае F — формально действительное поле . Альбрехт Пфистер доказал, что Stufe, если оно конечно, всегда является степенью 2, и что, наоборот, каждая степень 2 встречается. ^[1]${\displaystyle \infty}$

Если тогда для некоторого натурального числа . ^{[1] [2]}${\displaystyle s(F)\neq \infty}$${\displaystyle s(F)=2^{k}}$ ${\displaystyle к}$

Доказательство: Пусть выбрано так, что . Пусть . Тогда существуют элементы , такие, что${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle 2^{k}\leq s(F)<2^{k+1}}$${\displaystyle n=2^{k}}$${\displaystyle s=s(F)}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{s}\in F\setminus \{0\}}$

${\displaystyle 0=\underbrace {1+e_{1}^{2}+\cdots +e_{n-1}^{2}} _{=:\,a}+\underbrace {e_{n}^{2}+\cdots +e_{s}^{2}} _{=:\,b}\;.}$

Оба являются суммами квадратов, причем , так как в противном случае , что противоречит предположению о .${\displaystyle а}$${\displaystyle б}$${\displaystyle n}$${\displaystyle а\neq 0}$${\displaystyle s(F)<2^{k}}$${\displaystyle к}$

Согласно теории форм Пфистера , произведение само является суммой квадратов, то есть для некоторых . Но поскольку , то мы также имеем , и, следовательно,${\displaystyle ab}$${\displaystyle n}$${\displaystyle ab=c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}}$${\displaystyle c_{i}\in F}$${\displaystyle а+b=0}$${\displaystyle -a^{2}=ab}$

${\displaystyle -1={\frac {ab}{a^{2}}}=\left({\frac {c_{1}}{a}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {c_{n}}{a}}\right)^{2},}$

и таким образом .${\displaystyle s(F)=n=2^{k}}$

Любое поле с положительной характеристикой имеет . ^[3]${\displaystyle F}$${\displaystyle s(F)\leq 2}$

Доказательство: Пусть . Достаточно доказать утверждение для .${\displaystyle p=\operatorname {char} (F)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Если тогда , то так .${\displaystyle p=2}$${\displaystyle -1=1=1^{2}}$${\displaystyle s(F)=1}$

Если рассмотреть множество квадратов. является подгруппой индекса в циклической группе с элементами . Таким образом, содержит ровно элементов, и также содержит . Так как всего имеет элементы, и не может быть непересекающимся , то есть существуют с и , таким образом .${\displaystyle p>2}$${\displaystyle S=\{x^{2}:x\in \mathbb {F} _{p}\}}$${\displaystyle S\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$${\displaystyle p-1}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\tfrac {p+1}{2}}}$${\displaystyle -1-S}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$${\displaystyle -1-S}$${\displaystyle x,y\in \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle S\ni x^{2}=-1-y^{2}\in -1-S}$${\displaystyle -1=x^{2}+y^{2}}$

Число Stufe s ( F ) связано с числом Пифагора p ( F ) соотношением p ( F ) ≤ s ( F ) + 1. ^[4] Если F формально не является действительным, то s ( F ) ≤ p ( F ) ≤ s ( F ) + 1. ^{[5] [6]} Аддитивный порядок формы (1), а следовательно, и показатель группы Витта числа F равен 2 s ( F ). ^{[7] [8]}

• Ступень квадратично замкнутого поля равна 1. ^[8]
• Уровень поля алгебраических чисел равен ∞, 1, 2 или 4 (теорема Зигеля). ^[9] Примерами являются Q , Q (√−1), Q (√−2) и Q (√−7). ^[7]
• Уровень конечного поля GF( q ) равен 1, если q ≡ 1 mod 4, и 2, если q ≡ 3 mod 4. ^{[3] [8] [10]}
• Stufe локального поля нечетной характеристики вычета равен Stufe его поля вычета. Stufe 2-адического поля Q ₂ равен 4. ^[9]

• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. Збл  1068.11023.
• Милнор, Дж .; Хуземоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . Том. 73. Шпрингер-Верлаг . ISBN 3-540-06009-X. Збл  0292.10016.
• Раджваде, AR (1993). Квадраты . Серия заметок к лекциям Лондонского математического общества. Том 171. Cambridge University Press . ISBN 0-521-42668-5. Збл  0785.11022.

• Кнебуш, Манфред; Шарлау, Винфрид (1980). Алгебраическая теория квадратичных форм. Общие методы и формы Пфистера . Семинар DMV. Том 1. Заметки, сделанные Хейсуком Ли . Бостон - Базель - Штутгарт: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-1206-8. Збл  0439.10011.