Контрагармоническое среднее

В математике контргармоническое среднее — это функция, дополнительная к гармоническому среднему . Контргармоническое среднее — это частный случай среднего Лемера , , где p = 2. Л п {\displaystyle L_{p}}

Определение

Среднее контргармоническое множества положительных действительных чисел [1] определяется как среднее арифметическое квадратов чисел, деленное на среднее арифметическое чисел: С ⁡ ( х 1 , х 2 , … , х н ) = 1 н ( х 1 2 + х 2 2 + ⋯ + х н 2 ) 1 н ( х 1 + х 2 + ⋯ + х н ) , = х 1 2 + х 2 2 + ⋯ + х н 2 х 1 + х 2 + ⋯ + х н . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {C} \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)&={{1 \over n}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right) \over {1 \over n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)},\\[3pt]&={{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} \over {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}}.\end{aligned}}}

Формулы с двумя переменными

Из формул для среднего арифметического и среднего гармонического двух переменных имеем: А ⁡ ( а , б ) = а + б 2 ЧАС ⁡ ( а , б ) = 1 1 2 ⋅ ( 1 а + 1 б ) = 2 а б а + б С ⁡ ( а , б ) = 2 ⋅ А ( а , б ) − ЧАС ( а , б ) = а + б − 2 а б а + б = ( а + б ) 2 − 2 а б а + б = а 2 + б 2 а + б {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {A} (a,b)&={{a+b} \over 2}\\\operatorname {H} (a,b)&={1 \over {{1 \over 2}\cdot {\left({1 \over a}+{1 \over b}\right)}}}={{2ab} \over {a+b}}\\\operatorname {C} (a,b)&=2\cdot A(a,b)-H(a,b)\\&=a+b-{{2ab} \over {a+b}}={{(a+b)^{2}-2ab} \over {a+b}}\\&={{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}\end{aligned}}}

Обратите внимание, что для двух переменных среднее значение гармонического и контргармонического средних значений в точности равно среднему арифметическому:

А ( Н ( а , б ), С ( а , б )) = А ( а , б )

Когда a приближается к 0, H ( a ,  b ) также приближается к 0. Гармоническое среднее очень чувствительно к низким значениям. С другой стороны, контргармоническое среднее чувствительно к большим значениям, поэтому, когда a приближается к 0, C ( a ,  b ) приближается к b (поэтому их среднее значение остается  A ( a ,  b )).

Есть еще два примечательных соотношения между средними значениями 2 переменных. Во-первых, среднее геометрическое арифметических и гармонических средних равно среднему геометрическому двух значений: G ⁡ ( A ⁡ ( a , b ) , H ⁡ ( a , b ) ) = G ⁡ ( a + b 2 , 2 a b a + b ) = a + b 2 ⋅ 2 a b a + b = a b = G ⁡ ( a , b ) {\displaystyle \operatorname {G} (\operatorname {A} (a,b),\operatorname {H} (a,b))=\operatorname {G} \left({{a+b} \over 2},{{2ab} \over {a+b}}\right)={\sqrt {{{a+b} \over 2}\cdot {{2ab} \over {a+b}}}}={\sqrt {ab}}=\operatorname {G} (a,b)}

Второе соотношение заключается в том, что среднее геометрическое среднего арифметического и контргармонического среднего равно среднему квадратическому значению: G ⁡ ( A ⁡ ( a , b ) , C ⁡ ( a , b ) ) = G ⁡ ( a + b 2 , a 2 + b 2 a + b ) = a + b 2 ⋅ a 2 + b 2 a + b = a 2 + b 2 2 = R ⁡ ( a , b ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {G} \left(\operatorname {A} (a,b),\operatorname {C} (a,b)\right)={}\operatorname {G} \left({{a+b} \over 2},{{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}\right)\\={}&{\sqrt {{{a+b} \over 2}\cdot {{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}}}={}{\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}}\\[2pt]={}&\operatorname {R} (a,b)\end{aligned}}}

Контргармоническое среднее двух переменных можно построить геометрически с помощью трапеции. [2]

Дополнительные конструкции

Контрагармоническое среднее можно построить на окружности аналогично тому, как строятся пифагорейские средние двух переменных. [3] Контрагармоническое среднее — это остаток диаметра, на котором лежит гармоническое среднее. [4]

История

Контрагармоническое среднее было открыто греческим математиком Евдоксом в IV веке до н.э. [5]

Характеристики

Легко показать, что это удовлетворяет характеристическим свойствам среднего значения некоторого списка значений : x {\textstyle \mathbf {x} }

  • min ( x ) ≤ C ⁡ ( x ) ≤ max ( x ) {\displaystyle \min \left(\mathbf {x} \right)\leq \operatorname {C} \left(\mathbf {x} \right)\leq \max \left(\mathbf {x} \right)}
  • C ⁡ ( t ⋅ x 1 , t ⋅ x 2 , … , t ⋅ x n ) = t ⋅ C ( x 1 , x 2 , … , x n )  for  t > 0 {\displaystyle \operatorname {C} \left(t\cdot \mathbf {x} _{1},t\cdot \mathbf {x} _{2},\,\dots ,\,t\cdot \mathbf {x} _{n}\right)=t\cdot C\left(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\,\dots ,\,\mathbf {x} _{n}\right){\text{ for }}t>0}

Первое свойство подразумевает свойство неподвижной точки , то есть для всех k > 0,

С ( к , к , ..., к ) = к

Контрагармоническое среднее значение выше, чем арифметическое среднее , а также выше, чем среднеквадратичное : где x — список значений, H — гармоническое среднее, G — геометрическое среднее , L — логарифмическое среднее , A — арифметическое среднее , R — квадратное среднее , C — контргармоническое среднее. Если только все значения x не одинаковы, знаки ≤ выше можно заменить на <. min ( x ) ≤ H ⁡ ( x ) ≤ G ⁡ ( x ) ≤ L ⁡ ( x ) ≤ A ⁡ ( x ) ≤ R ⁡ ( x ) ≤ C ⁡ ( x ) ≤ max ( x ) {\displaystyle \min(\mathbf {x} )\leq \operatorname {H} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {G} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {L} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {A} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {R} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {C} (\mathbf {x} )\leq \max(\mathbf {x} )}

Название «контрагармонический» может быть связано с тем фактом, что при расчете среднего значения только двух переменных контргармоническое среднее настолько выше среднего арифметического, насколько среднее арифметическое выше среднего гармонического (т. е. среднее арифметическое двух переменных равно среднему арифметическому их гармонического и контргармонического средних).

Связь со средним арифметическим и дисперсией

Среднее контргармоническое случайной величины равно сумме среднего арифметического и дисперсии, деленной на среднее арифметическое. [6] Поскольку дисперсия всегда ≥0, среднее контргармоническое всегда больше или равно среднему арифметическому.

Отношение дисперсии и среднего значения было предложено в качестве критерия статистики Клэпхэмом. [7] Эта статистика является контргармонической средней минус.

Другие отношения

Любое целое контргармоническое среднее двух различных положительных целых чисел является гипотенузой пифагоровой тройки , в то время как любая гипотенуза пифагоровой тройки является контргармоническим средним двух различных положительных целых чисел. [8]

Это также связано со статистикой Каца [9], где m — среднее значение, s2 — дисперсия, а n — размер выборки. J n = n 2 s 2 − m m {\displaystyle J_{n}={\sqrt {\frac {n}{2}}}{\frac {s^{2}-m}{m}}}

J n асимптотически нормально распределено со средним значением, равным нулю, и дисперсией, равной 1.

Использование в статистике

Проблема смещенной по размеру выборки обсуждалась Коксом в 1969 году в задаче выборки волокон. Ожидание смещенной по размеру выборки равно ее контргармоническому среднему, [10] и контргармоническое среднее также используется для оценки полей смещения в мультипликативных моделях, а не арифметическое среднее, как в аддитивных моделях. [11]

Контрагармоническое среднее можно использовать для усреднения значения интенсивности соседних пикселей на графике, чтобы уменьшить шум на изображениях и сделать их более четкими для глаза. [12]

Вероятность того, что волокно будет отобрано, пропорциональна его длине. Из-за этого обычное выборочное среднее (арифметическое среднее) является смещенной оценкой истинного среднего. Чтобы увидеть это, рассмотрим, где f ( x ) — истинное распределение популяции, g ( x ) — распределение, взвешенное по длине, а m — выборочное среднее. Взятие обычного ожидания среднего здесь дает контргармоническое среднее, а не обычное (арифметическое) среднее выборки. [13] Эту проблему можно преодолеть, взяв вместо этого ожидание гармонического среднего (1/ x ). Ожидание и дисперсия 1/ x равны и имеют дисперсию , где E — оператор ожидания. Асимптотически E[1/ x ] распределено нормально. g ( x ) = x f ( x ) m {\displaystyle g(x)={\frac {xf(x)}{m}}} E ⁡ [ 1 x ] = 1 m {\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {1}{x}}\right]={\frac {1}{m}}} Var ⁡ ( 1 x ) = m E [ 1 x − 1 ] n m 2 {\displaystyle \operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {mE\left[{\frac {1}{x}}-1\right]}{nm^{2}}}}

Асимптотическая эффективность выборки со смещением длины зависит от базового распределения по сравнению со случайной выборкой. Если f ( x ) является логнормальным, эффективность равна 1, а если популяция распределена по гамма-распределению с индексом b , эффективность равна b /( b − 1) . Это распределение использовалось при моделировании поведения потребителей [14], а также при качественной выборке.

Он использовался наряду с экспоненциальным распределением в транспортном планировании в форме его обратной функции. [15]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ См. "Means of Complex Numbers" (PDF) . Texas College Mathematics Journal . 1 (1). 1 января 2005 г. Архивировано из оригинала (PDF) 9 сентября 2006 г.
  2. ^ Умбергер, Шеннон. «Построение контргармонического среднего в трапеции». Университет Джорджии .
  3. ^ Нельсен, Роджер Б. Доказательства без слов/Упражнения по визуальному мышлению . стр. 56. ISBN 0-88385-700-6.
  4. ^ Слаев, Валерий А.; Чуновкина, Анна Г.; Мироновский, Леонид А. (2019). Метрология и теория измерений . De Gruyter . стр. 217. ISBN 9783110652505.
  5. ^ Антуан, К. (1998). Ле Мойенн . Париж: Presss Unversitaires de France.
  6. ^ Кингли, Майкл CS (1989). «Распределение выловленных кольчатых нерп как интерпретация закона Тейлора». Oecologia . 79 (79): 106–110. doi :10.1007/BF00378246. PMID  28312819.
  7. ^ Клэпхэм, Артур Рой (1936). «Избыточное рассеивание в луговых сообществах и использование статистических методов в экологии растений». Журнал экологии (14): 232. doi :10.2307/2256277. JSTOR  2256277.
  8. ^ Pahikkala, Jussi (2010). «О контргармоническом среднем и пифагорейских тройках». Elemente der Mathematik . 65 (2): 62–67. doi :10.4171/em/141.
  9. ^ Кац, Л. (1965). Единая трактовка широкого класса дискретных распределений вероятностей . Труды Международного симпозиума по дискретным распределениям. Монреаль .
  10. ^ Зелен, Марвин (1972). Смещение выборки по длине и биомедицинские проблемы . Собрание биометрического общества. Даллас , Техас .
  11. ^ Баннерджи, Абхируп; Маджи, Прадипта (2013). Грубые наборы для коррекции поля смещения в изображениях МРТ с использованием контргармонического среднего и количественного индекса . Труды IEEE по медицинской визуализации.
  12. ↑ Митра, Сабри (октябрь 2021 г.). «Контрагармонический средний фильтр». Каджян Ильмиа Информатика Дэн Компьютер . 2 (2): 75–79.
  13. ^ Садман, Сеймур (1980). Методы выборки квот и процедуры взвешивания для коррекции смещения частоты .
  14. ^ Кейллор, Брюс Д.; Д'Амико, Майкл; Хортон, Вероника (2001). «Глобальные потребительские тенденции». Психология и маркетинг . 18 (1): 1–19. doi :10.1002/1520-6793(200101)18:1<1::AID-MAR1>3.0.CO;2-U.
  15. ^ Амрин, Мохаммед; Венкатешварлу, Банди (2024). «Новый способ решения транспортных задач на основе экспоненциального распределения и контргармонического среднего». Журнал прикладной математики и информатики . 42 (3): 647–661.
  • Контрагармоническая пропорция в PlanetMath .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Contraharmonic_mean&oldid=1251269607"