Универсальная задача покрытия Лебега

Проблема универсального покрытия Лебега — нерешенная задача в геометрии , которая требует выпуклой формы наименьшей площади, которая может покрыть каждое плоское множество диаметра один. Диаметр множества по определению — это наименьшая верхняя граница расстояний между всеми парами точек в множестве. Форма покрывает множество, если она содержит конгруэнтное подмножество. Другими словами, множество можно вращать, переносить или отражать, чтобы оно поместилось внутри фигуры.

Проблема была поставлена ​​Анри Лебегом в письме Дьюле Палу в 1914 году. Она была опубликована в статье Пала в 1920 году вместе с анализом Пала. ^[1] Он показал, что покрытие для всех кривых постоянной ширины один является также покрытием для всех множеств диаметра один и что покрытие можно построить, взяв правильный шестиугольник с вписанной окружностью диаметра один и удалив два угла из шестиугольника, чтобы получить покрытие площадью$${\displaystyle 2-{\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 0,84529946.}$$

В 1936 году Роланд Спраг показал, что часть покрытия Пала можно удалить около одного из других углов, сохранив при этом его свойство покрытия. ^[2] Это уменьшило верхнюю границу площади до . ${\displaystyle а\leq 0.844137708436}$

После ряда улучшений решения Спрага, каждое из которых удаляло из решения небольшие углы, ^{[3] [4]} в препринте 2018 года Филипп Гиббс заявил о наилучшей известной верхней границе, дальнейшем уменьшении площади до 0,8440935944. ^{[5] [6]}

Самая известная нижняя граница площади была получена Питером Брассом и Мехрбодом Шарифи с использованием комбинации трех фигур в оптимальном выравнивании, доказав, что площадь оптимального покрытия составляет не менее 0,832. ^[7]

• Задача Мозера о червяке : какова минимальная площадь фигуры, которая может покрыть каждую кривую единичной длины?
• Задача о перемещении дивана , задача нахождения формы максимальной площади, которую можно вращать и перемещать через L-образный коридор.
• Набор Какейя , набор минимальной площади, который может вместить любой отрезок линии единичной длины (с допустимыми перемещениями, но не поворотами)
• Теорема выбора Бляшке , которую можно использовать для доказательства того, что задача Лебега об универсальном покрытии имеет решение.