Лапласиан индикатора
Предел последовательности гладких функций

В теории потенциала , разделе математики , лапласиан индикатора области D является обобщением производной дельта-функции Дирака на более высокие измерения и отличен от нуля только на поверхности D. Его можно рассматривать как поверхностную дельта-штрих-функцию . Он аналогичен второй производной ступенчатой ​​функции Хевисайда в одном измерении . Его можно получить , позволив оператору Лапласа работать с индикаторной функцией некоторой области D.

Лапласиан индикатора можно рассматривать как имеющий бесконечно положительные и отрицательные значения при оценке очень близко к границе области D. С математической точки зрения это не строго функция, а обобщенная функция или мера . Подобно производной дельта-функции Дирака в одном измерении, лапласиан индикатора имеет смысл как математический объект только тогда, когда он появляется под знаком интеграла; т. е. это функция распределения . Так же, как в формулировке теории распределения, на практике он рассматривается как предел последовательности гладких функций; можно осмысленно взять лапласиан функции выпуклости , которая является гладкой по определению, и позволить функции выпуклости приблизиться к индикатору в пределе.

История

Аппроксимация отрицательной индикаторной функции эллипса на плоскости (слева), производная в направлении, нормальном к границе (в середине), и ее лапласиан (справа). В пределе самый правый график переходит в (отрицательный) лапласиан индикатора. Чисто интуитивно говоря, самый правый график напоминает эллиптический замок со стеной замка внутри и рвом перед ним; в пределе стена и ров становятся бесконечно высокими и глубокими (и узкими).

Поль Дирак ввел δ -функцию Дирака , как она стала известна, еще в 1930 году. [1] Одномерная δ -функция Дирака отлична от нуля только в одной точке. Аналогично, многомерное обобщение, как оно обычно делается, отлично от нуля только в одной точке. В декартовых координатах d -мерная δ -функция Дирака является произведением d одномерных δ -функций; по одной для каждой декартовой координаты (см., например, обобщения дельта-функции Дирака ).

Однако возможно иное обобщение. Точка ноль в одном измерении может рассматриваться как граница положительной полупрямой. Функция 1 x >0 равна 1 на положительной полупрямой и нулю в противном случае и также известна как ступенчатая функция Хевисайда . Формально δ -функция Дирака и ее производная (т.е. одномерная поверхностная дельта-штрих-функция ) могут рассматриваться как первая и вторая производные ступенчатой ​​функции Хевисайда, т.е. ∂ x 1 x >0 и . ∂ х 2 1 х > 0 {\displaystyle \partial _{x}^{2}\mathbf {1} _{x>0}}

Аналогом ступенчатой ​​функции в более высоких размерностях является индикаторная функция , которая может быть записана как 1 x ∈ D , где D — некоторая область. Индикаторная функция также известна как характеристическая функция. По аналогии с одномерным случаем были предложены следующие многомерные обобщения δ -функции Дирака и ее производной: [2]

δ ( х ) → − н х ⋅ ∇ х 1 х ∈ Д , δ ′ ( х ) → ∇ х 2 1 х ∈ Д . {\displaystyle {\begin{align}\delta (x)&\to -n_{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D},\\\delta '(x)&\to \nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}.\end{align}}}

Здесь n — внешний нормальный вектор . Здесь δ -функция Дирака обобщается до поверхностной дельта-функции на границе некоторой области D в d ≥ 1 измерениях. Это определение дает обычный одномерный случай, когда область берется как положительная полупрямая. Она равна нулю, за исключением границы области D (где она бесконечна), и она интегрируется до полной площади поверхности, охватывающей D , как показано ниже.

Одномерная δ'- функция Дирака обобщается до многомерной поверхностной дельта-штрих-функции на границе некоторой области D в измерениях d ≥ 1. В одном измерении и принимая D равным положительной полупрямой, можно восстановить обычную одномерную δ'- функцию.

Как нормальная производная индикатора, так и лапласиан индикатора поддерживаются поверхностями , а не точками . Обобщение полезно, например, в квантовой механике, поскольку поверхностные взаимодействия могут приводить к граничным условиям при d > 1, в то время как точечные взаимодействия не могут. Естественно, точечные и поверхностные взаимодействия совпадают при d = 1. Как поверхностные, так и точечные взаимодействия имеют долгую историю в квантовой механике, и существует обширная литература по так называемым поверхностным дельта-потенциалам или взаимодействиям дельта-сферы. [3] Поверхностные дельта-функции используют одномерную δ -функцию Дирака, но как функцию радиальной координаты r , например, δ( r − R ), где R — радиус сферы.

Хотя производные индикаторной функции, казалось бы, плохо определены, формально их можно определить с помощью теории распределений или обобщенных функций : можно получить четко определенное предписание, постулируя, что лапласиан индикатора, например, определяется двумя интегрированиями по частям , когда он появляется под знаком интеграла. В качестве альтернативы индикатор (и его производные) можно аппроксимировать с помощью функции выпуклости (и ее производных). Предел, где (гладкая) функция выпуклости приближается к индикаторной функции, должен быть затем помещен за пределы интеграла.

Дельта-штрих-функция поверхности Дирака

В этом разделе будет доказано, что лапласиан индикатора является поверхностной дельта-штрих-функцией . Поверхностная дельта-функция будет рассмотрена ниже.

Сначала для функции f в интервале ( a , b ) вспомним основную теорему исчисления

∫ а б ∂ ф ( х ) ∂ х г х = лим х ↗ б ф ( х ) − лим х ↘ а ф ( х ) , {\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}\,dx={\underset {x\nearrow b}{\lim }}f(x)-{\underset {x\searrow a}{\lim }}f(x),}

предполагая, что f локально интегрируемо. Теперь для a  <  b следует, действуя эвристически, что

∫ − ∞ + ∞ ∂ 2 1 а < х < б ∂ х 2 ф ( х ) г х = ∫ − ∞ + ∞ 1 а < х < б ∂ 2 ф ( х ) ∂ х 2 г х , = ∫ а б ∂ 2 ф ( х ) ∂ х 2 г х , = ( лим х ↗ б − лим х ↘ а ) ∂ ф ( х ) ∂ х . {\displaystyle {\begin{align}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial ^{2}\mathbf {1} _{a<x<b}}{\partial x^{2}}}\,f(x)\;dx&=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathbf {1} _{a<x<b}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle {\Big (}{\underset {x\nearrow b}{\lim }}-{\underset {x\searrow a}{\lim }}{\Big )}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}.\end{align}}}

Здесь 1 a < x < b — индикаторная функция области a < x < b . Индикатор равен единице, когда условие в его нижнем индексе выполняется, и нулю в противном случае. В этом вычислении два интегрирования по частям (в сочетании с фундаментальной теоремой исчисления, как показано выше) показывают, что первое равенство выполняется; граничные члены равны нулю, когда a и b конечны, или когда f обращается в нуль на бесконечности. Последнее равенство показывает сумму внешних нормальных производных, где сумма берется по граничным точкам a и b , и где знаки следуют из внешнего направления (т.е. положительны для b и отрицательны для a ). Хотя производные индикатора формально не существуют, следование обычным правилам частичного интегрирования дает «правильный» результат. При рассмотрении конечной d -мерной области D , ожидается, что сумма по внешним нормальным производным станет интегралом , что можно подтвердить следующим образом:

∫ Р г ∇ х 2 1 х ∈ Д ф ( х ) г х = ∫ Р г 1 х ∈ Д ∇ х 2 ф ( х ) г х , = ∫ Д ∇ х 2 ф ( х ) г х , = ∮ ∂ Д лим х → β н β ⋅ ∇ х ф ( х ) г β . {\displaystyle {\begin{align}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\;dx&=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathbf {1} _{x\in D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx,\\&=\int _{D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx,\\&=\oint _{\partial D}\,{\underset {x\to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{x}f(x)\;d\beta .\end{align}}}

где пределом является x, приближающийся к поверхности β изнутри области D , n β — единичный вектор, нормальный к поверхности β, а ∇ x — теперь многомерный оператор градиента. Как и прежде, первое равенство следует из двух интегрирований по частям (в более высоких размерностях это происходит по второму тождеству Грина ), где граничные члены исчезают, пока область D конечна или если f обращается в нуль на бесконечности; например, и 1 x ∈ D , и ∇ x 1 x ∈ D равны нулю при вычислении на «границе» R d , когда область D конечна. Третье равенство следует из теоремы о расходимости и снова показывает сумму (или, в данном случае, интеграл) внешних нормальных производных по всем граничным положениям. Теорема о расходимости верна для кусочно-гладких областей D , и, следовательно, D должна быть кусочно-гладкой.

Таким образом, функция поверхностной дельта-штрих (она же δ' -функция Дирака) существует на кусочно-гладкой поверхности и эквивалентна лапласиану индикаторной функции области D, охватываемой этой кусочно-гладкой поверхностью. Естественно, разница между точкой и поверхностью исчезает в одном измерении.

В электростатике поверхностный диполь (или потенциал двойного слоя ) можно смоделировать с помощью предельного распределения лапласиана индикатора.

Приведенный выше расчет основан на исследовании траекторных интегралов в квантовой физике. [2]

Дельта-функция поверхности Дирака

В этом разделе будет доказано, что (внутренняя) нормальная производная индикатора является поверхностной дельта-функцией .

Для конечной области D или когда f стремится к нулю на бесконечности, из теоремы о расходимости следует , что

∫ Р г ∇ х 2 ( 1 х ∈ Д ф ( х ) ) г х = 0. {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}\left(\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\right)\;dx=0.}

По правилу произведения следует, что

∫ Р г ∇ х 2 1 х ∈ Д ф ( х ) г х + ∫ Р г 1 х ∈ Д ∇ х 2 ф ( х ) г х = − 2 ∫ Р г ∇ х 1 х ∈ Д ⋅ ∇ х ф ( х ) г х . {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\;dx+\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathbf {1} _{x\in D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx=-2\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x)\;dx.}

Из анализа приведенного выше раздела следует, что два члена в левой части равны, и, таким образом,

∮ ∂ Д лим α → β н β ⋅ ∇ α ф ( α ) г β = − ∫ Р г ∇ х 1 х ∈ Д ⋅ ∇ х ф ( х ) г х . {\displaystyle \oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{\alpha }f(\alpha)\; d\beta =-\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x )\;dx.}

Градиент индикатора исчезает всюду, за исключением вблизи границы D , где он указывает в нормальном направлении. Поэтому имеет значение только компонента ∇ x f ( x ) в нормальном направлении. Предположим, что вблизи границы ∇ x f ( x ) равна n x g ( x ), где g — некоторая другая функция. Тогда следует, что

∮ ∂ Д г ( β ) г β = − ∫ Р г ∇ х 1 х ∈ Д ⋅ н х г ( х ) г х . {\displaystyle \oint _{\partial D}\,g(\beta )\;d\beta =-\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\,\cdot \,n_{x}\,g(x)\;dx.}

Внешняя нормаль n x изначально была определена только для x на поверхности, но ее можно определить как существующую для всех x ; например, взяв внешнюю нормаль граничной точки, ближайшей к x .

Приведенный выше анализ показывает, что − n x ⋅ ∇ x 1 x ∈ D можно рассматривать как поверхностное обобщение одномерной дельта-функции Дирака . Приравнивая функцию g к единице, следует , что внутренняя нормальная производная индикатора интегрируется до площади поверхности D.

В электростатике поверхностные плотности заряда (или отдельные граничные слои ) можно моделировать с помощью поверхностной дельта-функции, как указано выше. Обычная дельта-функция Дирака может использоваться в некоторых случаях, например, когда поверхность сферическая. В общем, поверхностная дельта-функция, обсуждаемая здесь, может использоваться для представления поверхностной плотности заряда на поверхности любой формы.

Приведенный выше расчет основан на исследовании траекторных интегралов в квантовой физике. [2]

Аппроксимации с помощью функций выпуклости

В этом разделе показано, как производные индикатора можно численно обрабатывать под знаком интеграла.

В принципе, индикатор не может быть дифференцирован численно, так как его производная равна либо нулю, либо бесконечности. Но для практических целей индикатор может быть аппроксимирован функцией выпуклости , обозначенной I ε ( x ) и приближающейся к индикатору при ε → 0. Возможны несколько вариантов, но удобно позволить функции выпуклости быть неотрицательной и приближаться к индикатору снизу , т.е.

0 ≤ я ε ( х ) ≤ 1 х ∈ Д ∀ ε > 0 лим ε ↘ 0 я ε ( х ) = 1 х ∈ Д {\displaystyle {\begin{aligned}0\leq I_{\varepsilon }(x)&\leq \mathbf {1} _{{x}\in D}\quad \forall \varepsilon >0\\{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\;I_{\varepsilon }(x)&=\mathbf {1} _{x\in D}\end{aligned}}}

Это гарантирует, что семейство функций выпуклости тождественно равно нулю вне D . Это удобно, поскольку возможно, что функция f определена только внутри D . Для f , определенной в D , мы получаем следующее:

− lim ε ↘ 0 ∫ R d f ( x ) n x ⋅ ∇ x I ε ( x ) d x = ∮ ∂ D lim α → β f ( α ) d β , lim ε ↘ 0 ∫ R d ∇ x 2 I ε ( x ) f ( x ) d x = ∮ ∂ D lim α → β n β ⋅ ∇ α f ( α ) d β , {\displaystyle {\begin{aligned}-{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,f(x)\,n_{x}\cdot \nabla _{x}I_{\varepsilon }(x)\;dx&=\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}f(\alpha )\;d\beta ,\\{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\,\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}I_{\varepsilon }(x)\,f(x)\;dx&=\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{\alpha }f(\alpha )\;d\beta ,\end{aligned}}}

где внутренняя координата α приближается к граничной координате β изнутри D и где нет необходимости в существовании f вне D.

Когда f определена по обе стороны границы и, кроме того, дифференцируема через границу D , то менее важно, как функция выпуклости приближается к индикатору.

Прерывистые тестовые функции

Если тестовая функция f , возможно, разрывна на границе, то теория распределения для разрывных функций может быть использована для осмысления поверхностных распределений, см., например, раздел V в . [4] На практике для поверхностной дельта-функции это обычно означает усреднение значения f по обе стороны границы D перед интегрированием по границе. Аналогично, для поверхностной дельта-штрих-функции это обычно означает усреднение внешней нормальной производной f по обе стороны границы области D перед интегрированием по границе.

Приложения

Квантовая механика

В квантовой механике точечные взаимодействия хорошо известны, и существует большой объем литературы по этому вопросу. Известным примером одномерного сингулярного потенциала является уравнение Шредингера с дельта-потенциалом Дирака . [5] [6] С другой стороны, одномерный дельта- первичный потенциал Дирака вызвал споры. [7] [8] [9] Спор, казалось бы, был урегулирован независимой статьей, [10] хотя даже эта статья впоследствии подверглась критике. [2] [11]

В последнее время гораздо больше внимания уделяется одномерному дельта-первичному потенциалу Дирака. [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21 ] [22] [23] [ 24] [25] [26] [27] [28]

Точка на одномерной линии может рассматриваться и как точка, и как поверхность; поскольку точка отмечает границу между двумя областями. Таким образом, были сделаны два обобщения дельта-функции Дирака на более высокие измерения: обобщение на многомерную точку, [29] [30], а также обобщение на многомерную поверхность. [2] [31] [32] [33] [34]

Первые обобщения известны как точечные взаимодействия, тогда как вторые известны под другими названиями, например, «дельта-сферические взаимодействия» и «поверхностные дельта-взаимодействия». Последние обобщения могут использовать производные индикатора, как объяснено здесь, или одномерную δ -функцию Дирака как функцию радиальной координаты r .

Динамика жидкости

Лапласиан индикатора использовался в гидродинамике, например, для моделирования интерфейсов между различными средами. [35] [36] [37] [38] [39] [40]

Реконструкция поверхности

Расхождение индикатора и лапласиан индикатора (или характеристической функции , как также называют индикатор) использовались в качестве выборочной информации, из которой можно реконструировать поверхности. [41] [42]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Дирак, Поль (1958), Принципы квантовой механики (4-е изд.), Oxford at the Clarendon Press, ISBN 978-0-19-852011-5
  2. ^ abcde Ланге, Рутгер-Ян (2012), «Теория потенциала, интегралы по траекториям и Лапласиан индикатора», Журнал физики высоких энергий , 2012 (11): 1–49, arXiv : 1302.0864 , ​​Bibcode : 2012JHEP...11..032L, doi : 10.1007/JHEP11(2012)032, S2CID  56188533
  3. ^ Antoine, JP; Gesztesy, F.; Shabani, J. (1999), «Точно решаемые модели взаимодействия сфер в квантовой механике», Journal of Physics A: Mathematical and General , 20 (12): 3687–3712, Bibcode : 1987JPhA...20.3687A, doi : 10.1088/0305-4470/20/12/022
  4. ^ Ланге, Рутгер-Ян (2015), "Теория распределения для интегрального уравнения Шредингера", Журнал математической физики , 56 (12): 2015, arXiv : 1401.7627 , Bibcode : 2015JMP....56l2105L, doi : 10.1063/1.4936302, S2CID  116896174
  5. ^ Аткинсон, ДА; Кратер, ХВ (1975), «Точная обработка потенциала дельта-функции Дирака в уравнении Шредингера», American Journal of Physics , 43 (4): 301–304, Bibcode : 1975AmJPh..43..301A, doi : 10.1119/1.9857
  6. ^ Манукян, ЭБ (1999), «Явный вывод пропагатора для дельта-потенциала Дирака», Журнал физики A: Mathematical and General , 22 (1): 67–70, Bibcode : 1989JPhA...22...67M, doi : 10.1088/0305-4470/22/1/013
  7. ^ Альбеверио, С.; Гештеси, Ф.; Хог-Крон, Р.; Холден, Х. (1988), Разрешимые модели в квантовой механике , Springer-Verlag
  8. ^ Чжао, Б. Х. (1992), «Комментарии к уравнению Шредингера с дельта-взаимодействием в одном измерении», Журнал физики A: Mathematical and General , 25 (10): 617, Bibcode : 1992JPhA...25L.617Z, doi : 10.1088/0305-4470/25/10/003
  9. ^ Альбеверио, С.; Гестеши, Ф.; Холден, Х. (1993), «Комментарии к недавней заметке об уравнении Шредингера с дельта-взаимодействием», Журнал физики A: Mathematical and General , 26 (15): 3903–3904, Bibcode : 1993JPhA...26.3903A, doi : 10.1088/0305-4470/26/15/037
  10. ^ Гриффитс, DJ (1993), «Граничные условия при производной дельта-функции», Журнал физики A: Mathematical and General , 26 (9): 2265–2267, Bibcode : 1993JPhA...26.2265G, doi : 10.1088/0305-4470/26/9/021
  11. ^ Coutinho, FAB; Nogami, Y.; Perez, JF (1997), «Обобщенные точечные взаимодействия в одномерной квантовой механике», Journal of Physics A: Mathematical and General , 30 (11): 3937–3945, Bibcode : 1997JPhA...30.3937C, doi : 10.1088/0305-4470/30/11/021
  12. ^ Костенко, А.; Маламуд, М. (2012), «Спектральная теория полуограниченных операторов Шредингера с δ'-взаимодействиями», Annales Henri Poincaré , 15 (3): 617, arXiv : 1212.1691 , Bibcode : 2012arXiv1212.1691K, doi : 10.1007/s00023-013 -0245-9, S2CID  119727685
  13. ^ Браше, Дж. Ф.; Нижник, Л. (2012), «Одномерные операторы Шредингера с δ′-взаимодействиями на множестве нулевой меры Лебега», Операторы и матрицы , 7 (4): 887, arXiv : 1112.2545 , Bibcode : 2011arXiv1112.2545B, doi : 10.7153/oam-07-49, S2CID  67790330
  14. ^ Карро, М.; Фархи, Э.; Гутманн, С. (1990), «Функциональный интеграл для свободной частицы в ящике», Physical Review D , 42 (4): 1194–1202, Bibcode : 1990PhRvD..42.1194C, doi : 10.1103/physrevd.42.1194, PMID  10012954
  15. ^ Карро, М. (1993), «Четырехпараметрическое точечное взаимодействие в одномерных квантовых системах», Журнал физики A: Mathematical and General , 26 (2): 427–432, arXiv : hep-th/9210104 , Bibcode : 1993JPhA...26..427C, CiteSeerX 10.1.1.268.6845 , doi : 10.1088/0305-4470/26/2/025, S2CID  16405749 
  16. ^ Альбеверио, С.; Домбровски, Л.; Курасов, П. (1998), «Симметрии оператора Шредингера с точечными взаимодействиями», Письма в математическую физику , 45 (1): 33–47, doi :10.1023/a:1007493325970, S2CID  118287368
  17. ^ Араужо, ВС; Коутиньо, ФАБ; Тояма, ФМ (2008), «Зависящее от времени уравнение Шредингера: необходимость самосопряженности гамильтониана» (PDF) , Бразильский журнал физики , 38 (1): 178–187, Bibcode : 2008BrJPh..38..178A, doi : 10.1590/s0103-97332008000100030
  18. ^ Cheon, T.; Shigehara, T. (1998), «Реализация разрывных волновых функций с перенормированными короткодействующими потенциалами», Physics Letters A , 243 (3): 111–116, arXiv : quant-ph/9709035 , Bibcode : 1998PhLA..243..111C, doi : 10.1016/s0375-9601(98)00188-1, S2CID  119352015
  19. ^ Coutinho, FAB; Nogami, Y.; Tomio, L; Toyama, FM (2005), «Энергозависимые точечные взаимодействия в одном измерении», Journal of Physics A: Mathematical and General , 38 (22): 4989–4998, Bibcode : 2005JPhA...38.4989C, doi : 10.1088/0305-4470/38/22/020
  20. ^ Coutinho, FAB; Nogami, Y.; Tomio, L; Toyama, FM (2004), «Псевдопотенциал Ферми в одном измерении», Journal of Physics A: Mathematical and General , 37 (44): 10653–10663, Bibcode : 2004JPhA...3710653C, doi : 10.1088/0305-4470/37/44/013
  21. ^ Тоёма, Ф. М.; Ногами, И. (2007), "Проблема пропускания-отражения с потенциалом в виде производной дельта-функции", Журнал физики A: Mathematical and General , 40 (29): F685, Bibcode : 2007JPhA...40..685T, doi : 10.1088/1751-8113/40/29/f05, S2CID  118814873
  22. ^ Головатый, Ю.Д.; Манько, С.С. (2009), "Разрешимые модели для операторов Шредингера с δ'-образными потенциалами", Украинский математический вестник , 6 (2): 169–203, arXiv : 0909.1034 , Bibcode : 2009arXiv0909.1034G
  23. ^ Манько, СС (2010), «О δ-подобном потенциальном рассеянии на звездных графах», Журнал физики A: Mathematical and General , 43 (44): 445304, arXiv : 1007.0398 , Bibcode : 2010JPhA...43R5304M, doi : 10.1088/1751-8113/43/44/445304, S2CID  119645054
  24. ^ Головатый, Я. Д.; Гринив, Р. О. (2010), "О сходимости резольвенты нормы операторов Шредингера с δ'-подобными потенциалами", Журнал физики A: Математическое и теоретическое , 43 (15): 155204, arXiv : 1108.5345 , Bibcode : 2010JPhA...43o5204G, doi : 10.1088/1751-8113/43/15/155204, S2CID  115169634
  25. ^ Головатый, Я. Д. (2013), «Одномерные операторы Шредингера с короткодействующими взаимодействиями: двухмасштабная регуляризация распределительных потенциалов», Интегральные уравнения и теория операторов , 75 (3): 341–362, arXiv : 1202.4711 , doi : 10.1007/s00020-012-2027-z, S2CID  119593035
  26. ^ Золотарюк, А.В. (2010), «Граничные условия для состояний с резонансным туннелированием через δ′-потенциал», Physics Letters A , 374 (15): 1636–1641, arXiv : 0905.0974 , Bibcode :2010PhLA..374.1636Z, doi :10.1016/j.physleta.2010.02.005, S2CID  115179602
  27. ^ Золотарюк, А.В. (2010), «Точечные взаимодействия дипольного типа, определяемые с помощью трехпараметрической степенной регуляризации», Журнал физики A: Математическое и теоретическое , 43 (10): 105302, Bibcode : 2010JPhA...43j5302Z, doi : 10.1088/1751-8113/43/10/105302, S2CID  122330036
  28. ^ Золотарюк, А.В. (2013), "Одноточечные потенциалы с полным резонансным туннелированием", Physical Review A , 87 (5): 052121, arXiv : 1303.4162 , Bibcode : 2013PhRvA..87e2121Z, doi : 10.1103/physreva.87.052121, S2CID  118343895
  29. ^ Скарлатти, С.; Тета, А. (1990), "Вывод зависящего от времени пропагатора для трехмерного уравнения Шредингера с одноточечным взаимодействием", Журнал физики A: Mathematical and General , 23 (19): L1033, Bibcode : 1990JPhA...23L1033S, doi : 10.1088/0305-4470/23/19/003
  30. ^ Гроше, К. (1994), «Интегралы по траектории для двух- и трехмерных возмущений δ-функции», Annalen der Physik , 506 (4): 283–312, arXiv : hep-th/9308082 , Bibcode : 1994AnP. ..506..283G, номер документа : 10.1002/andp.19945060406, S2CID  119436723
  31. ^ Мошковский, С.А. (1997), «Вывод поверхностного дельта-взаимодействия», Physical Review C , 19 (6): 2344–2348, Bibcode : 1979PhRvC..19.2344M, doi : 10.1103/physrevc.19.2344
  32. ^ Antoine, JP; Gesztesy, F.; Shabani, J. (1999), «Точно решаемые модели взаимодействия сфер в квантовой механике», Journal of Physics A: Mathematical and General , 20 (12): 3687–3712, Bibcode : 1987JPhA...20.3687A, doi : 10.1088/0305-4470/20/12/022
  33. ^ Шабани, Дж.; Вьябанди, А. (2002), «Точно решаемые модели взаимодействия дельта-сфер в релятивистской квантовой механике», Журнал математической физики , 43 (12): 6064, Bibcode : 2002JMP....43.6064S, doi : 10.1063/1.1518785
  34. ^ Hounkonnou, MN ; Hounkpe, M.; Shabani, J. (1999), «Точно решаемые модели взаимодействий δ′-сфер в нерелятивистской квантовой механике», Журнал математической физики , 40 (9): 4255–4273, Bibcode : 1999JMP....40.4255H, doi : 10.1063/1.532964
  35. ^ Che, JH (1999), Численное моделирование сложных многофазных потоков: электрогидродинамика и затвердевание капель , Мичиганский университет, стр. 37
  36. ^ Юрич, Д. (1996), «Вычисления фазовых переходов» (PDF) , докторская диссертация : 150
  37. ^ Unverdi, SO; Tryggvason, G. (1992), "Метод отслеживания фронта для вязких, несжимаемых, многожидкостных потоков" (PDF) , Журнал вычислительной физики , 100 (1): 29–30, Bibcode : 1992JCoPh.100...25U, doi : 10.1016/0021-9991(92)90307-K, hdl : 2027.42/30059
  38. ^ Goz, MF; Bunner, B.; Sommerfeld, M.; Tryggvason, G. (2002). Прямое численное моделирование пузырьковых роев с помощью метода параллельного отслеживания фронта . Высокопроизводительные научные и инженерные вычисления: Труды 3-й международной конференции FORTWIHR по HPSEC, Эрланген, 12–14 марта 2001 г. Конспект лекций по вычислительной науке и технике. Том 21. С. 97–106. doi :10.1007/978-3-642-55919-8_11. ISBN 978-3-540-42946-3.
  39. ^ Юрич, Д.; Триггвасон, Г. (1996), «Метод отслеживания фронта для дендритной кристаллизации», Журнал вычислительной физики , 123 (1): 127–148, Bibcode : 1996JCoPh.123..127J, CiteSeerX 10.1.1.17.8419 , doi : 10.1006/jcph.1996.0011 
  40. ^ Uddin, E.; Sung, HJ (2011), «Моделирование взаимодействия потока и гибкого тела с большой деформацией», International Journal for Numerical Methods in Fluids , 70 (9): 1089–1102, Bibcode : 2012IJNMF..70.1089U, doi : 10.1002/fld.2731, S2CID  121032029
  41. ^ Каждан, М. (2005). Реконструкция моделей твердых тел по ориентированным наборам точек (PDF) . Труды третьего симпозиума Eurographics по обработке геометрии. стр. 73.
  42. ^ Каждан, М.; Болито, М.; Хоппе, Х. (2006). Труды четвертого симпозиума Eurographics по обработке геометрии (PDF) . стр. 1–3–4.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Laplacian_of_the_indicator&oldid=1228980847"