Волновая функция Лафлина

В физике конденсированного состояния волновая функция Лафлина [ ^{1] [2]} представляет собой анзац , предложенный Робертом Лафлином для основного состояния двумерного электронного газа, помещенного в однородное фоновое магнитное поле в присутствии однородного фона желе , когда фактор заполнения самого нижнего уровня Ландау равен , где — нечетное положительное целое число. Она была построена для объяснения наблюдения дробного квантового эффекта Холла (ДКЭХ) и предсказала существование дополнительных состояний, а также квазичастичных возбуждений с дробным электрическим зарядом , оба из которых позднее были экспериментально обнаружены. За это открытие Лафлин получил треть Нобелевской премии по физике в 1998 году.${\displaystyle \nu =1/n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \nu =1/3}$ ${\displaystyle \nu =1/n}$${\displaystyle е/н}$

Если мы проигнорируем желе и взаимное кулоновское отталкивание между электронами в качестве приближения нулевого порядка, мы получим бесконечно вырожденный самый низкий уровень Ландау (LLL) и с фактором заполнения 1/ n , мы могли бы ожидать, что все электроны будут лежать в LLL. Включая взаимодействия, мы можем сделать приближение, что все электроны лежат в LLL. Если - одночастичная волновая функция состояния LLL с самым низким орбитальным угловым моментом , то анзац Лафлина для многочастичной волновой функции равен${\displaystyle \psi _{0}}$

${\displaystyle \langle z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N}\mid n,N\rangle =\psi _{n,N}(z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N})=D\left[\prod _{N\geqslant i>j\geqslant 1}\left(z_{i}-z_{j}\right)^{n}\right]\prod _{k=1}^{N}\exp \left(-\mid z_{k}\mid ^{2}\right)}$

где позиция обозначается как

${\displaystyle z={1 \over 2{\mathit {l}}_{B}}\left(x+iy\right)}$

в ( Гауссовы единицы )

${\displaystyle {\mathit {l}}_{B}={\sqrt {\hbar c \over eB}}}$

и и — координаты в плоскости x–y. Здесь — приведенная постоянная Планка , — заряд электрона , — общее число частиц, — магнитное поле , перпендикулярное плоскости xy. Индексы у z идентифицируют частицу. Для того чтобы волновая функция описывала фермионы , n должно быть нечетным целым числом. Это заставляет волновую функцию быть антисимметричной относительно обмена частицами. Угловой момент для этого состояния равен .${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$${\displaystyle \hbar}$${\displaystyle е}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle n\hbar}$

Рассмотрим выше: результат — пробная волновая функция; она не точна, но качественно она воспроизводит многие черты точного решения и количественно она имеет очень высокие перекрытия с точным основным состоянием для малых систем. Предполагая кулоновское отталкивание между любыми двумя электронами, это основное состояние может быть определено с помощью точной диагонализации ^[3], и перекрытия были вычислены как близкие к единице. Более того, при короткодействующем взаимодействии (псевдопотенциалы Холдейна для установки в ноль) волновая функция Лафлина становится точной, ^[4] т.е. .${\displaystyle n=3}$${\displaystyle \Psi _{L}(z_{1},z_{2},z_{3},\ldots,z_{N})\propto \Pi _{i<j}(z_{i}-z_ {j})^{3}}$${\displaystyle \Psi _{ED}}$${\displaystyle м>3}$${\displaystyle \langle \Psi _{ED}|\Psi _{L}\rangle =1}$

Волновая функция Лафлина — это многочастичная волновая функция для квазичастиц . Ожидаемое значение энергии взаимодействия для пары квазичастиц равно

${\displaystyle \langle V\rangle =\langle n,N\mid V\mid n,N\rangle,\;\;\;N=2}$

где экранированный потенциал равен (см. Статические силы и обмен виртуальными частицами § Кулоновский потенциал между двумя токовыми петлями, помещенными в магнитное поле )

${\displaystyle V\left(r_{12}\right)=\left({2e^{2} \over L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}\;M\left({\mathit {l}}+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left({\mathit {l}}^{\prime }+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k{r_{12} \over r_{B}}\right)}$

где — конфлюэнтная гипергеометрическая функция , а — функция Бесселя первого рода. Здесь — расстояние между центрами двух токовых петель, — величина заряда электрона , — квантовая версия радиуса Лармора , — толщина электронного газа в направлении магнитного поля. Угловые моменты двух отдельных токовых петель равны и где . Обратная длина экранирования определяется как ( гауссовы единицы )${\displaystyle М}$${\displaystyle {\mathcal {J}}_{0}}$${\displaystyle r_{12}}$${\displaystyle е}$${\displaystyle r_{B}={\sqrt {2}}{\mathit {l}}_{B}}$${\displaystyle L_{B}}$${\displaystyle {\mathit {l}}\hbar }$${\displaystyle {\mathit {l}}^{\prime }\hbar }$${\displaystyle {\mathit {l}}+{\mathit {l}}^{\prime }=n}$

${\displaystyle k_{B}^{2}={4\pi e^{2} \over \hbar \omega _{c}AL_{B}}}$

где - циклотронная частота , а - площадь электронного газа в плоскости xy.${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle A}$

Энергия взаимодействия оценивается как:

${\displaystyle E=\left({2e^{2} \over L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}\;M\left({\mathit {l}}+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left({\mathit {l}}^{\prime }+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left(n+1,1,-{k^{2} \over 2}\right)}$

Для получения этого результата мы произвели замену переменных интегрирования

${\displaystyle u_{12}={z_{1}-z_{2} \over {\sqrt {2}}}}$

и

${\displaystyle v_{12}={z_{1}+z_{2} \over {\sqrt {2}}}}$

и отметил (см. Общие интегралы в квантовой теории поля )

${\displaystyle {1 \over \left(2\pi \right)^{2}\;2^{2n}\;n!}\int d^{2}z_{1}\;d^{2}z_{2}\;\mid z_{1}-z_{2}\mid ^{2n}\;\exp \left[-2\left(\mid z_{1}\mid ^{2}+\mid z_{2}\mid ^{2}\right)\right]\;{\mathcal {J}}_{0}\left({\sqrt {2}}\;{k\mid z_{1}-z_{2}\mid }\right)=}$

${\displaystyle {1 \over \left(2\pi \right)^{2}\;2^{n}\;n!}\int d^{2}u_{12}\;d^{2}v_{12}\;\mid u_{12}\mid ^{2n}\;\exp \left[-2\left(\mid u_{12}\mid ^{2}+\mid v_{12}\mid ^{2}\right)\right]\;{\mathcal {J}}_{0}\left({2}k\mid u_{12}\mid \right)=}$

${\displaystyle M\left(n+1,1,-{k^{2} \over 2}\right).}$

Энергия взаимодействия имеет минимумы для (рисунок 1)

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={1 \over 3},{2 \over 5},{3 \over 7},{\mbox{etc.,}}}$

и

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={2 \over 3},{3 \over 5},{4 \over 7},{\mbox{etc.}}}$

Для этих значений отношения угловых моментов энергия представлена ​​на рисунке 2 как функция .${\displaystyle n}$

• уровень Ландау
• Дробный квантовый эффект Холла
• Кулоновский потенциал между двумя токовыми петлями, помещенными в магнитное поле