Формула Ландау–Зинера

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . Пожалуйста, помогите улучшить ее, чтобы сделать ее понятной для неспециалистов , не удаляя технические детали. ( Сентябрь 2018 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Формула Ландау –Зенера представляет собой аналитическое решение уравнений движения, определяющих динамику перехода двухуровневой квантовой системы с зависящим от времени гамильтонианом, изменяющимся таким образом, что энергетическое разделение двух состояний является линейной функцией времени. Формула, дающая вероятность диабатического ( не адиабатического ) перехода между двумя энергетическими состояниями, была опубликована отдельно Львом Ландау ^[1] , Кларенсом Зинером ^[2] , Эрнстом Штюкельбергом [ ^3] и Этторе Майораной ^[4] в 1932 году.

Если система стартует в бесконечном прошлом в нижнем собственном энергетическом состоянии, мы хотим вычислить вероятность нахождения системы в верхнем собственном энергетическом состоянии в бесконечном будущем (так называемый переход Ландау–Зенера). Для бесконечно медленного изменения разности энергий (то есть скорости Ландау–Зенера, равной нулю) адиабатическая теорема говорит нам, что такой переход не произойдет, поскольку система всегда будет находиться в мгновенном собственном состоянии гамильтониана в этот момент времени. При ненулевых скоростях переходы происходят с вероятностью, как описано формулой Ландау–Зенера.

Такие переходы происходят между состояниями всей системы; следовательно, любое описание системы должно включать все внешние воздействия, включая столкновения и внешние электрические и магнитные поля. Для того чтобы уравнения движения для системы могли быть решены аналитически, делается ряд упрощений, известных под общим названием приближения Ландау–Зенера. Упрощения следующие:

1. Параметр возмущения в гамильтониане — это известная линейная функция времени.
2. Энергетическое разделение диабатических состояний изменяется линейно со временем
3. Связь в диабатической гамильтоновой матрице не зависит от времени

Первое упрощение делает это полуклассическим подходом. В случае атома в магнитном поле напряженность поля становится классической переменной, которую можно точно измерить во время перехода. Это требование является довольно ограничительным, поскольку линейное изменение, в общем случае, не будет оптимальным профилем для достижения желаемой вероятности перехода.

Второе упрощение позволяет нам сделать замену

${\displaystyle \Delta E=E_{2}(t)-E_{1}(t)\equiv \alpha t,\,}$

где и — энергии двух состояний в момент времени t , заданные диагональными элементами матрицы Гамильтона, а — константа. Для случая атома в магнитном поле это соответствует линейному изменению магнитного поля. Для линейного сдвига Зеемана это следует непосредственно из пункта 1.${\displaystyle E_{1}(т)}$${\displaystyle E_{2}(т)}$${\displaystyle \альфа}$

Окончательное упрощение требует, чтобы зависящее от времени возмущение не связывало диабатические состояния; скорее, связь должна быть обусловлена ​​статическим отклонением от кулоновского потенциала , обычно описываемым квантовым дефектом .${\displaystyle 1/r}$

Детали решения Зенера несколько непрозрачны, поскольку опираются на набор подстановок для приведения уравнения движения к форме уравнения Вебера ^[5] и используют известное решение. Более прозрачное решение предоставлено Куртом Виттигом ^[6] с использованием контурной интеграции .

Ключевым показателем качества в этом подходе является скорость Ландау–Зинера:

${\displaystyle v_{\rm {LZ}}={{\frac {\partial }{\partial t}}|E_{2}-E_{1}| \over {\frac {\partial }{\partial q}}|E_{2}-E_{1}|}\approx {\frac {dq}{dt}},}$

где q — переменная возмущения (электрическое или магнитное поле, длина молекулярной связи или любое другое возмущение системы), а и — энергии двух диабатических (перекрестных) состояний. Большое приводит к большой вероятности диабатического перехода и наоборот.${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle v_{\rm {LZ}}}$

Используя формулу Ландау–Зенера, вероятность диабатического перехода определяется выражением${\displaystyle P_{\rm {D}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\rm {D}}&=e^{-2\pi \Gamma }\\\Gamma &={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {\partial }{\partial t}}(E_{2}-E_{1})\right|}={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {dq}{dt}}{\frac {\partial }{\partial q}}(E_{2}-E_{1})\right|}\\&={a^{2} \over \hbar |\alpha |}\end{aligned}}}$

Величина является недиагональным элементом гамильтониана двухуровневой системы, связывающего основания, и как таковая она равна половине расстояния между двумя невозмущенными собственными энергиями в избегаемом пересечении, когда .${\displaystyle а}$${\displaystyle E_{1}=E_{2}}$

Простейшим обобщением двухуровневой модели Ландау–Зинера является многоуровневая система с гамильтонианом вида

${\displaystyle H(t)=A+Bt}$,

где A и B — эрмитовы матрицы N x N с элементами, не зависящими от времени. Целью теории Ландау–Зенера с несколькими состояниями является определение элементов матрицы рассеяния и вероятностей переходов между состояниями этой модели после эволюции с таким гамильтонианом от отрицательного бесконечного времени до положительного бесконечного времени. Вероятности переходов — это квадраты модулей элементов матрицы рассеяния.

Существуют точные формулы, называемые ограничениями иерархии, которые обеспечивают аналитические выражения для специальных элементов матрицы рассеяния в любой многопозиционной модели Ландау–Зенера. ^[7] Специальные случаи этих соотношений известны как формула Брундоблера–Эльзера (БЭ), ^{[8] [9] [10]} ) и теорема о недопустимости ,. ^{[11] [12]} Дискретные симметрии часто приводят к ограничениям, которые уменьшают количество независимых элементов матрицы рассеяния. ^{[13] [14]}

Существуют также условия интегрируемости, которые, когда они выполняются, приводят к точным выражениям для всех матриц рассеяния в многостадийных моделях Ландау–Зенера. Было выявлено множество таких полностью решаемых моделей, включая:

• Модель Демкова–Ошерова ^[15] , описывающая один уровень, пересекающий полосу параллельных уровней. Удивительным фактом о решении этой модели является совпадение точно полученной матрицы вероятностей перехода с ее формой, полученной с помощью простого полуклассического приближения независимых пересечений. С некоторыми обобщениями это свойство проявляется почти во всех разрешимых системах Ландау–Зинера с конечным числом взаимодействующих состояний.
• Обобщенная модель «галстук-бабочка». ^[16] Модель описывает связь двух (или одного в пределе вырожденного случая) уровней с набором в противном случае невзаимодействующих диабатических состояний, которые пересекаются в одной точке.
• Управляемая модель Тависа–Каммингса ^[17] описывает взаимодействие N спинов- ⁠1/2⁠ с бозонной модой в линейно зависящем от времени магнитном поле. Это самая богатая из известных решенных систем. Она имеет комбинаторную сложность: размерность ее векторного пространства состояний растет экспоненциально с числом спинов N. Вероятности переходов в этой модели описываются q-деформированной биномиальной статистикой. ^[18] Это решение нашло практическое применение в физике конденсатов Бозе-Эйнштейна. ^[19]
• Спиновые кластеры, взаимодействующие с зависящими от времени магнитными полями. ^[20] Этот класс моделей демонстрирует относительно сложное поведение вероятностей перехода из-за эффектов интерференции путей в приближении полуклассического независимого пересечения.
• Приводимые (или составные) многостадийные модели Ландау–Зенера. ^{[21] [22]} Этот класс состоит из систем, которые могут быть разделены на подмножества других разрешимых и более простых моделей с помощью преобразования симметрии. Известным примером является произвольный спиновый гамильтониан , где S _z и S _x — операторы спина, а S >1/2; b и g — постоянные параметры. Это самая ранняя известная разрешимая система, которая обсуждалась Майораной в 1932 году. Среди других примеров есть модели пары вырожденных пересечений уровней, ^[23] и одномерная квантовая цепочка Изинга в линейно изменяющемся магнитном поле. ^{[24] [25]}${\textstyle H=gS_{x}+btS_{z}}$
• Переходы Ландау–Зенера в бесконечных линейных цепях. ^[26] Этот класс содержит системы с формально бесконечным числом взаимодействующих состояний. Хотя большинство известных их примеров можно получить как пределы моделей конечного размера (таких как модель Тависа–Каммингса), существуют также случаи, которые не принадлежат к этой классификации. Например, существуют разрешимые бесконечные цепи с ненулевыми связями между неближайшими состояниями. ^[27]

Приложения решения Ландау–Зенера к проблемам подготовки квантового состояния и манипуляции с дискретными степенями свободы стимулировали изучение эффектов шума и декогеренции на вероятности перехода в управляемой двухуровневой системе. Было получено несколько компактных аналитических результатов для описания этих эффектов, включая формулу Каянумы ^[28] для сильного диагонального шума и формулу Покровского–Синицына ^[29] для связи с быстрым цветным шумом с недиагональными компонентами.

Используя функцию Грина Швингера–Келдыша, Ао и Раммер в конце 1980-х годов провели довольно полное и всестороннее исследование влияния квантового шума во всех режимах параметров, от слабой до сильной связи, от низкой до высокой температуры, от медленного до быстрого прохождения и т. д. Были получены краткие аналитические выражения в различных пределах, показывающие богатое поведение такой проблемы. ^[30] Влияние связи ядерной спиновой ванны и тепловой ванны на процесс Ландау–Зенера было исследовано Синицыным и Прокофьевым ^[31] и Покровским и Саном ^{[32] [33] [34]} соответственно.

Точные результаты в теории Ландау–Зенера с несколькими состояниями ( теорема no-go и формула BE) могут быть применены к системам Ландау–Зенера, которые связаны с ваннами, состоящими из бесконечного числа осцилляторов и/или спиновых ванн (диссипативные переходы Ландау–Зенера). Они дают точные выражения для вероятностей переходов, усредненных по конечным состояниям ванн, если эволюция начинается с основного состояния при нулевой температуре, см. в Ref. для ванн осцилляторов ^[35] и для универсальных результатов, включая спиновые ванны, в Ref. ^[36].

• Теория неадиабатического переходного состояния
• Адиабатическая теорема
• Смягчение связи
• Упрочнение связи
• Уравнение Фруассара-Стора