неравенство Кая Фана

В математике есть два разных результата, которые имеют общее название неравенство Ки Фаня . Один из них — это неравенство, включающее среднее геометрическое и среднее арифметическое двух наборов действительных чисел единичного интервала . Результат был опубликован на странице 5 книги «Неравенства» Эдвина Ф. Бекенбаха и Ричарда Э. Беллмана (1961), которые ссылаются на неопубликованный результат Ки Фаня . Они упоминают результат в связи с неравенством среднего арифметического и среднего геометрического и доказательством этого неравенства Огюстеном Луи Коши методом прямой-обратной индукции; метод, который также может быть использован для доказательства неравенства Ки Фаня.

Это неравенство Ки Фана является частным случаем неравенства Левинсона , а также отправной точкой для нескольких обобщений и уточнений; некоторые из них приведены в ссылках ниже.

Второе неравенство Ки Фана используется в теории игр для исследования существования равновесия.

Если при i = 1, ..., n , то${\textstyle 0\leq x_{i}\leq {\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {{\bigl (}\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\bigr )}^{1/n}}{{\bigl (}\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i}){\bigr )}^{1/n}}}\leq {\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(1-x_{i})}}}$

с равенством тогда и только тогда, когда x ₁  =  x ₂  = ⋅ ⋅ ⋅ =  x _n .

Позволять

${\displaystyle A_{n}:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},\qquad G_{n}={\biggl (}\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{1/n}}$

обозначим арифметическое и геометрическое среднее значение x ₁ , . . ., x _n , и пусть

${\displaystyle A_{n}':={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(1-x_{i}),\qquad G_{n}'={\biggl (}\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i}){\biggr )}^{1/n}}$

обозначают арифметическое и геометрическое среднее, соответственно, 1 −  x ₁ , . . ., 1 −  x _n . Тогда неравенство Ки Фана можно записать как

${\displaystyle {\frac {G_{n}}{G_{n}'}}\leq {\frac {A_{n}}{A_{n}'}},}$

что показывает сходство с неравенством среднего арифметического и среднего геометрического, заданным формулой G _n  ≤  A _n .

Если x _i  ∈ [0, ⁠1/2⁠ ] и γ _i  ∈ [0,1] для i  = 1, . . ., n — действительные числа, удовлетворяющие γ ₁ + . . . + γ _n = 1, тогда

${\displaystyle {\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\gamma _{i}}}{\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i})^{\gamma _{i}}}}\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}(1-x_{i})}}}$

с соглашением 0 ⁰  := 0. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда либо

• γ _i x _i = 0 для всех i  = 1, . . ., n или
• все x _i  > 0 и существует x  ∈ (0, ⁠1/2⁠ ] такой, что x  =  x _i для всех i  = 1, . . ., n с γ _i  > 0.

Классическая версия соответствует γ _i = 1/ n для всех i  = 1, . . ., n .

Идея: Применить неравенство Йенсена к строго вогнутой функции

${\displaystyle f(x):=\ln x-\ln(1-x)=\ln {\frac {x}{1-x}},\qquad x\in (0,{\tfrac {1}{2}}].}$

Подробное доказательство: (a) Если хотя бы один x _i равен нулю, то левая часть неравенства Ки Фана равна нулю, и неравенство доказано. Равенство выполняется тогда и только тогда, когда правая часть также равна нулю, что имеет место, когда γ _i x _i = 0 для всех i  = 1, . . ., n .

(b) Предположим теперь, что все x _i > 0. Если есть i с γ _i  = 0, то соответствующее x _i  > 0 не оказывает влияния ни на одну из сторон неравенства, поэтому i ^-й член можно опустить. Поэтому мы можем предположить, что γ _i  > 0 для всех i в дальнейшем. Если x ₁ = x ₂ = . . . = x _n , то равенство имеет место. Осталось показать строгое неравенство, если не все x _i равны.

Функция f строго вогнута на (0, ⁠1/2⁠ ], поскольку для ее второй производной мы имеем

${\displaystyle f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{(1-x)^{2}}}<0,\qquad x\in (0,{\tfrac {1}{2}}).}$

Используя функциональное уравнение для натурального логарифма и неравенство Йенсена для строго вогнутой f , получаем, что

${\displaystyle {\begin{align}\ln {\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\gamma _{i}}}{\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i})^{\gamma _{i}}}}&=\ln \prod _{i=1}^{n}{\Bigl (}{\frac {x_{i}}{1-x_{i}}}{\Bigr )}^{\gamma _{i}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}f(x_{i})\\&<f{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}x_{i}{\biggr )}\\&=\ln {\frac {\sum _{i=1}^{n}\гамма _{i}x_{i}}{\сумма _{i=1}^{n}\гамма _{i}(1-x_{i})}},\end{выровнено}}}$

где на последнем шаге мы использовали, что сумма γ _i равна 1. Взяв экспоненту от обеих сторон, получаем неравенство Ки Фана.

Второе неравенство также называется неравенством Ки-Фана из-за статьи 1972 года «Минимаксное неравенство и его приложения». Это второе неравенство эквивалентно теореме Брауэра о неподвижной точке , но часто более удобно. Пусть S — компактное выпуклое подмножество конечномерного векторного пространства V , и пусть — функция от до действительных чисел , которая является полунепрерывной снизу по x , вогнутой по y и имеет для всех z из S. Тогда существует такое, что для всех . Это неравенство Ки-Фана используется для установления существования равновесий в различных играх, изучаемых в экономике.${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle S\times S}$${\displaystyle f(z,z)\leq 0}$${\displaystyle x^{*}\in S}$${\displaystyle f(x^{*},y)\leq 0}$${\displaystyle y\in S}$

• Альцер, Хорст (1988). «Verschärfung einer Ungleichung von Ky Fan». Математические уравнения . 36 (2–3): 246–250. дои : 10.1007/BF01836094. MR  0972289. S2CID  122304838.

• Бекенбах, Эдвин Форд; Беллман, Ричард Эрнест (1961). Неравенства . Берлин – Геттинген – Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-7643-0972-5. МР  0158038.

• Moslehian, MS (2011). "Неравенства Кая Фана". Линейная и полилинейная алгебра . появится. arXiv : 1108.1467 . Bibcode : 2011arXiv1108.1467S.

• Нойман, Эдвард; Шандор, Йожеф (2002). «О неравенстве Ки Фана и связанных неравенствах I» (PDF) . Математические неравенства и приложения . 5 (1): 49–56. doi : 10.7153/mia-05-06 . MR  1880271.

• Нойман, Эдвард; Шандор, Йожеф (август 2005 г.). «О неравенстве Ки Фана и связанных с ним неравенствах II» (PDF) . Бюллетень Австралийского математического общества . 72 (1): 87–107. doi : 10.1017/S0004972700034894 . MR  2162296.

• Шандор, Йожеф; Триф, Тибериу (1999). «Новое уточнение неравенства Ки Фана» (PDF) . Математические неравенства и приложения . 2 (4): 529–533. doi : 10.7153/mia-02-43 . MR  1717045.

• Кай Фан в проекте «Генеалогия математики»