Неравенство Левинсона

В математике неравенство Левинсона — это следующее неравенство, выведенное Норманом Левинсоном , включающее положительные числа. Пусть и пусть — заданная функция, имеющая третью производную на области значений , и такая, что ${\displaystyle а>0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (0,2a)}$

${\displaystyle f'''(x)\geq 0}$

для всех . Предположим и для . Тогда ${\displaystyle x\in (0,2a)}$${\displaystyle 0<x_{i}\leq a}$${\displaystyle 0<p_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}f(x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}-f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}f(2a-x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}-f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}(2a-x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}\right).}$

Неравенство Кая Фаня является частным случаем неравенства Левинсона, где

${\displaystyle p_{i}=1,\ a={\frac {1}{2}},{\text{ и }}f(x)=\log x.}$

• Скотт Лоуренс и Дэниел Сигалман: Обобщение двух неравенств, включающих средние значения , Труды Американского математического общества. Том 35 № 1, сентябрь 1972 г.
• Норман Левинсон : Обобщение неравенства Кая Фана , Журнал математического анализа и приложений. Том 8 (1964), 133–134.