Равносторонний размер

В математике равносторонняя размерность метрического пространства — это максимальный размер любого подмножества пространства, все точки которого находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. ^[1] Равносторонняя размерность также называется « метрической размерностью », но термин «метрическая размерность» также имеет много других неэквивалентных значений. ^[1] Равносторонняя размерность -мерного евклидова пространства равна , достигается вершинами правильного симплекса , а равносторонняя размерность -мерного векторного пространства с расстоянием Чебышёва ( нормой) равна , достигается вершинами гиперкуба . Однако равносторонняя размерность пространства с расстоянием Манхэттена ( нормой) неизвестна. Гипотеза Каснера , названная в честь Роберта Б. Каснера, утверждает, что она равна , достигается вершинами крестообразного многогранника . ^[2]${\displaystyle д}$ ${\displaystyle d+1}$${\displaystyle д}$ ${\displaystyle L^{\infty}}$${\displaystyle 2^{d}}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle 2d}$

Равносторонняя размерность была специально изучена для пространств Лебега , конечномерных нормированных векторных пространств с нормой${\displaystyle L^{p}}$$${\displaystyle \ \|x\|_{p}={\bigl (}|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{d}|^{p}{\bigr )}^{1/p}.}$$

Равносторонняя размерность пространств размерности ведет себя по-разному в зависимости от значения :${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle д}$${\displaystyle p}$

• Для норма приводит к манхэттенскому расстоянию . В этом случае можно найти равноудалённые точки, вершины выровненного по осям крестообразного многогранника . Известно, что равносторонняя размерность равна точно для , ^[3] и ограничена сверху для всех . ^[4] Роберт Б. Каснер предположил в 1983 году, что равносторонняя размерность для этого случая должна быть точно ; ^[5] это предположение (вместе с сопутствующим предположением для равносторонней размерности при ) стало известно как гипотеза Каснера .${\displaystyle p=1}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle 2d}$${\displaystyle 2d}$${\displaystyle d\leq 4}$${\displaystyle O(d\log d)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle 2d}$${\displaystyle p>2}$
• Для равносторонний размер по крайней мере равен , где — константа, зависящая от . ^[6]${\displaystyle 1<p<2}$${\displaystyle (1+\varepsilon )d}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle p}$
• Для норма — это знакомое евклидово расстояние . Равносторонняя размерность -мерного евклидова пространства равна : вершины равностороннего треугольника , правильного тетраэдра или правильного симплекса большей размерности образуют равносторонний набор, и каждый равносторонний набор должен иметь эту форму. ^[5]${\displaystyle p=2}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d+1}$${\displaystyle d+1}$
• Для равносторонняя размерность не менее : например, базисные векторы векторного пространства вместе с другим вектором вида для подходящего выбора образуют равностороннее множество. Гипотеза Куснера утверждает, что в этих случаях равносторонняя размерность равна в точности . Гипотеза Куснера была доказана для особого случая, когда . ^[6] Когда — нечетное целое число, равносторонняя размерность ограничена сверху . ^[4]${\displaystyle 2<p<\infty }$${\displaystyle d+1}$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (-x,-x,\dots )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle d+1}$${\displaystyle p=4}$${\displaystyle p}$${\displaystyle O(d\log d)}$
• Для (предельный случай нормы для конечных значений , в пределе при стремится к бесконечности) норма становится расстоянием Чебышева , максимальным абсолютным значением разностей координат. Для -мерного векторного пространства с расстоянием Чебышева равносторонняя размерность равна : вершины гиперкуба , выровненного по осям, находятся на равных расстояниях друг от друга, и большее равностороннее множество невозможно. ^[5]${\displaystyle p=\infty }$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle 2^{d}}$${\displaystyle 2^{d}}$

Равносторонняя размерность также рассматривалась для нормированных векторных пространств с нормами, отличными от норм. Проблема определения равносторонней размерности для заданной нормы тесно связана с проблемой числа касаний : число касаний в нормированном пространстве — это максимальное число непересекающихся переносов единичного шара, которые могут все касаться одного центрального шара, тогда как равносторонняя размерность — это максимальное число непересекающихся переносов, которые могут все касаться друг друга.${\displaystyle L^{p}}$

Для нормированного векторного пространства размерности равносторонняя размерность не более ; то есть норма имеет самую высокую равностороннюю размерность среди всех нормированных пространств. ^[7] Петти (1971) спросил, имеет ли каждое нормированное векторное пространство размерности равностороннюю размерность не менее , но это остается неизвестным. Существуют нормированные пространства в любой размерности, для которых определенные наборы из четырех равносторонних точек не могут быть расширены до любого большего равностороннего набора ^[7], но эти пространства могут иметь большие равносторонние наборы, которые не включают эти четыре точки. Для норм, которые достаточно близки по расстоянию Банаха-Мазура к норме, вопрос Петти имеет положительный ответ: равносторонняя размерность не менее . ^[8]${\displaystyle d}$${\displaystyle 2^{d}}$${\displaystyle L^{\infty }}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d+1}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle d+1}$

Для многомерных пространств невозможно иметь ограниченную равностороннюю размерность: для любого целого числа все нормированные векторные пространства достаточно высокой размерности имеют равностороннюю размерность по крайней мере . ^[9] более конкретно, согласно вариации теоремы Дворецкого Алона и Мильмана (1983), каждое -мерное нормированное пространство имеет -мерное подпространство, которое близко либо к евклидову пространству, либо к пространству Чебышёва, где для некоторой константы . Поскольку оно близко к пространству Лебега, это подпространство, а следовательно, и все пространство, содержит равностороннее множество по крайней мере из точек. Следовательно, та же самая суперлогарифмическая зависимость от сохраняется для нижней границы равносторонней размерности -мерного пространства. ^[8]${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle k\geq \exp(c{\sqrt {\log d}})}$$${\displaystyle c}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

Для любого -мерного риманова многообразия равносторонняя размерность составляет по крайней мере . ^[5] Для -мерной сферы равносторонняя размерность составляет , то же самое, что и для евклидова пространства с одной большей размерностью, в которое сфера может быть вложена. ^[5] В то же время, когда он выдвигал гипотезу Куснера, Куснер задался вопросом, существуют ли римановы метрики с ограниченной размерностью как многообразие, но произвольно высокой равносторонней размерностью. ^[5]${\displaystyle d}$${\displaystyle d+1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d+2}$