конвергенция Куратовского

В математике сходимость Куратовского или сходимость Пенлеве-Куратовского — это понятие сходимости для подмножеств топологического пространства . Впервые введенное Полем Пенлеве в лекциях по математическому анализу в 1902 году, ^[1] это понятие было популяризировано в текстах Феликса Хаусдорфа ^[2] и Казимира Куратовского . ^[3] Интуитивно предел Куратовского последовательности множеств находится там, где множества « накапливаются ».

Для заданной последовательности точек в пространстве предельная точка последовательности может пониматься как любая точка , где последовательность в конечном итоге становится произвольно близкой к . С другой стороны, точка кластера последовательности может рассматриваться как точка , где последовательность часто становится произвольно близкой к . Верхние и нижние пределы Куратовского обобщают эту интуицию предельных и кластерных точек на подмножества заданного пространства .${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

Пусть — метрическое пространство , где — заданное множество. Для любой точки и любого непустого подмножества определим расстояние между точкой и подмножеством:${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A\подмножество X}$

${\displaystyle d(x,A):=\inf _{y\in A}d(x,y),\qquad x\in X.}$

Для любой последовательности подмножеств нижний предел Куратовского (или нижний замкнутый предел ) для ; есть верхний предел Куратовского ( или верхний замкнутый предел ) для ; есть Если нижний и верхний пределы Куратовского совпадают, то общее множество называется пределом Куратовского для и обозначается .${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle n\to \infty }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathop {\mathrm {Li} } A_{n}:=&\left\{x\in X:{\begin{matrix}{\mbox{для всех открытых окрестностей }}U{\mbox{ из }}x,U\cap A_{n}\neq \emptyset {\mbox{ для достаточно больших }}n\end{matrix}}\right\}\\=&\left\{x\in X:\limsup _{n\to \infty }d(x,A_{n})=0\right\};\end{aligned}}}$$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle n\to \infty }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}:=&\left\{x\in X:{\begin{matrix}{\mbox{для всех открытых окрестностей }}U{\mbox{ из }}x,U\cap A_{n}\neq \emptyset {\mbox{ для бесконечного множества }}n\end{matrix}}\right\}\\=&\left\{x\in X:\liminf _{n\to \infty }d(x,A_{n})=0\right\};\end{aligned}}}$$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Lim} } _{n\to \infty }A_{n}}$

Если — топологическое пространство , и — сеть подмножеств , то пределы нижний и верхний следуют аналогичной конструкции. Для заданной точки обозначают совокупность открытых окрестностей . Предел Куратовского нижний для — это множество , а предел Куратовского верхний — это множество Элементы из называются предельными точками для , а элементы из называются точками кластера для . Другими словами, является предельной точкой для , если каждая из ее окрестностей пересекается для всех в «остаточном» подмножестве , в то время как является точкой кластера для , если каждая из ее окрестностей пересекается для всех в конфинальном подмножестве .${\textstyle (X,\тау)}$${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$${\textstyle X}$${\textstyle x\in X}$${\textstyle {\mathcal {N}}(x)}$${\textstyle x}$${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Li} } A_{i}:=\left\{x\in X:{\mbox{для всех }}U\in {\mathcal {N}}(x){\mbox{ существует }}i_{0}\in I{\mbox{ такой, что }}U\cap A_{i}\neq \emptyset {\text{ если }}i_{0}\leq i\right\},}$$$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Ls} } A_{i}:=\left\{x\in X:{\mbox{для всех }}U\in {\mathcal {N}}(x){\mbox{ и }}i\in I{\mbox{ существует }}i'\in I{\mbox{ такой, что }}i\leq i'{\mbox{ и }}U\cap A_{i'}\neq \emptyset \right\}.}$$${\textstyle \mathop {\mathrm {Ли} } А_{и}}$${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$${\textstyle \mathop {\mathrm {Ls} } A_{i}}$${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle x}$${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle я}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle x}$${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle я}$${\displaystyle Я}$

Когда эти наборы совпадают, общим набором является предел Куратовского , обозначаемый .${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Lim} } A_ {i}}$

• Предположим, что является сепарабельным , где — совершенное множество, и пусть — перечисление счетного плотного подмножества . Тогда последовательность, определяемая как , имеет .${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D=\{d_{1},d_{2},\dots \}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle A_{n}:=\{d_{1},d_{2},\точки ,d_{n}\}}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Lim} } A_ {n}=X}$
• Даны два замкнутых подмножества , определение и для каждого дает и .${\displaystyle B,C\subset X}$${\displaystyle A_{2n-1}:=B}$${\displaystyle A_{2n}:=C}$${\displaystyle n=1,2,\точки}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Li} } A_ {n}=B\cap C}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}=B\cup C}$
• Последовательность замкнутых шаров сходится в смысле Куратовского, когда в и в , и, в частности, . Если , то тогда как .${\displaystyle A_{n}:=\{y\in X:d(x_{n},y)\leq r_{n}\}}$${\displaystyle x_{n}\to x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r_{n}\to r}$${\displaystyle [0,+\infty)}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Lim} } (A_{n})=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}}$${\displaystyle r_{n}\to +\infty }$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Lim} } A_ {n}=X}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Lim} } (X\setminus A_{n})=\emptyset }$
• Пусть . Тогда сходится в смысле Куратовского ко всей прямой.${\textstyle A_{n}:=\{x\in \mathbb {R} :\sin(nx)=0\}}$${\displaystyle A_{n}}$
• В топологическом векторном пространстве , если есть последовательность конусов , то таковы же верхние и нижние пределы Куратовского. Например, множества сходятся к .${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle A_{n}:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\geq n|x|\}}$${\displaystyle \{(0,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\geq 0\}}$

Следующие свойства справедливы для нижних и верхних пределов как в метрическом, так и в топологическом контексте, но для удобства чтения они указаны в метрической формулировке. ^[4]

• Оба и являются замкнутыми подмножествами , и всегда выполняется.${\displaystyle \mathop {\mathrm {Li} } A_{n}}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Li} } A_{n}\subset \mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}}$
• Верхний и нижний пределы не различают множества и их замыкания : и .${\displaystyle \mathop {\mathrm {Li} } A_{n}=\mathop {\mathrm {Li} } \mathop {\mathrm {cl} } (A_{n})}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}=\mathop {\mathrm {Ls} } \mathop {\mathrm {cl} } (A_{n})}$
• Если — постоянная последовательность, то .${\displaystyle A_{n}:=A}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=\mathop {\mathrm {cl} } A}$
• Если — последовательность одиночных элементов, то и состоят из предельных точек и точек кластера, соответственно, последовательности .${\displaystyle A_{n}:=\{x_{n}\}}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Li} } A_{n}}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}}$${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset X}$
• Если и , то .${\displaystyle A_{n}\subset B_{n}\subset C_{n}}$${\displaystyle B:=\mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=\mathop {\mathrm {Lim} } C_{n}}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Lim} } B_{n}=B}$
• ( Критерий попадания и промаха ) Для замкнутого подмножества , один имеет${\displaystyle A\subset X}$
  • ${\displaystyle A\subset \mathop {\mathrm {Li} } A_{n}}$, тогда и только тогда, когда для каждого открытого множества с существует такое, что для всех ,${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle A\cap U\neq \emptyset }$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle A_{n}\cap U\neq \emptyset }$${\displaystyle n_{0}\leq n}$
  • ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}\subset A}$, тогда и только тогда, когда для любого компактного множества с существует такое, что для всех .${\displaystyle K\subset X}$${\displaystyle A\cap K\neq \emptyset }$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle A_{n}\cap K\neq \emptyset }$${\displaystyle n_{0}\leq n}$
• Если то предел Куратовского существует, и . Обратно, если то предел Куратовского существует, и .${\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \cdots }$${\textstyle \mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=\mathop {\mathrm {cl} } \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)}$${\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots }$${\textstyle \mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\mathop {\mathrm {cl} } (A_{n})}$
• Если обозначает метрику Хаусдорфа , ​​то подразумевает . Однако некомпактные замкнутые множества могут сходиться в смысле Куратовского, тогда как для каждого ^[5]${\displaystyle d_{H}}$${\displaystyle d_{H}(A_{n},A)\to 0}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {cl} } A=\mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}}$${\displaystyle d_{H}(A_{n},\mathop {\mathrm {Lim} } A_{n})=+\infty }$${\displaystyle n=1,2,\dots }$
• Сходимость в смысле Куратовского слабее сходимости в смысле Виеториса , но эквивалентна сходимости в смысле Фелла. Если компактно, то все они эквивалентны и согласуются со сходимостью в метрике Хаусдорфа.${\displaystyle X}$

Пусть будет функцией множества между пространствами и ; а именно, для всех . Обозначим . Мы можем определить операторы , где означает сходимость в последовательностях, когда метризуемо, и сходимость в сетях в противном случае. Тогда,${\displaystyle S:X\rightrightarrows Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle S(x)\subset Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle S^{-1}(y)=\{x\in X:y\in S(x)\}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathop {\mathrm {Li} } _{x'\to x}S(x'):=&\bigcap _{x'\to x}\mathop {\mathrm {Li} } S(x'),\qquad x\in X\\\mathop {\mathrm {Ls} } _{x'\to x}S(x'):=&\bigcup _{x'\to x}\mathop {\mathrm {Ls} } S(x'),\qquad x\in X\\\end{aligned}}}$$${\displaystyle x'\to x}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle S}$является внутренне полунепрерывной в , если ;${\displaystyle x\in X}$${\textstyle S(x)\subset \mathop {\mathrm {Li} } _{x'\to x}S(x')}$
• ${\displaystyle S}$является внешне полунепрерывной в , если .${\displaystyle x\in X}$${\textstyle \mathop {\mathrm {Ls} } _{x'\to x}S(x')\subset S(x)}$

Когда и внутренняя, и внешняя полунепрерывны при , мы говорим, что является непрерывным (или непрерывным в смысле Куратовского ).${\displaystyle S}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle S}$

Непрерывность функций со значениями множества обычно определяется в терминах нижней и верхней полунепрерывности, популяризированных Берже . ^[6] В этом смысле функция со значениями множества непрерывна тогда и только тогда, когда функция, определяемая с помощью , непрерывна относительно топологии гиперпространства Виеториса . Для функций со значениями множества с замкнутыми значениями непрерывность в смысле Виеториса-Берже сильнее непрерывности в смысле Куратовского.${\displaystyle f_{S}:X\to 2^{Y}}$${\displaystyle f(x)=S(x)}$${\displaystyle 2^{Y}}$

• Функция множества значений непрерывна .${\displaystyle B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}}$${\displaystyle X\times [0,+\infty )\rightrightarrows X}$
• При наличии функции отображение множества суперуровня является внешне полунепрерывным в , тогда и только тогда, когда является полунепрерывным снизу в . Аналогично, является внутренне полунепрерывным в , тогда и только тогда, когда является полунепрерывным сверху в .${\displaystyle f:X\to [-\infty ,+\infty ]}$${\displaystyle S_{f}(x):=\{\lambda \in \mathbb {R} :f(x)\leq \lambda \}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S_{f}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

• Если непрерывна при , то замкнута.${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S(x)}$
• ${\displaystyle S}$является внешне полунепрерывным в , тогда и только тогда, когда для каждого существуют окрестности и такие, что .${\displaystyle x}$${\displaystyle y\notin S(x)}$${\displaystyle V\in {\mathcal {N}}(y)}$${\displaystyle U\in {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle U\cap S^{-1}(V)=\emptyset }$
• ${\displaystyle S}$является внутренне полунепрерывным в , тогда и только тогда, когда для любого и окрестности существует окрестность такая, что для всех .${\displaystyle x}$${\displaystyle y\in S(x)}$${\displaystyle V\in {\mathcal {N}}(y)}$${\displaystyle U\in {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle V\cap S(x')\neq \emptyset }$${\displaystyle x'\in U}$
• ${\displaystyle S}$является (глобально) внешне полунепрерывным, если и только если его график замкнут.${\displaystyle \{(x,y)\in X\times Y:y\in S(x)\}}$
• ( Связь с непрерывностью Виеториса-Берге ). Предположим, что замкнуто.${\displaystyle S(x)}$
  • ${\displaystyle S}$является внутренне полунепрерывной в точке , тогда и только тогда, когда является снизу полунепрерывной в точке в смысле Виеториса-Берже.${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$
  • Если полунепрерывно сверху при , то полунепрерывно снаружи при . Обратное утверждение неверно в общем случае, но верно, когда является компактным пространством.${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Y}$
• Если имеет выпуклый график, то является внутренне полунепрерывным в каждой точке внутренней области . Обратно, если задана любая внутренне полунепрерывная функция со значениями множества , отображение выпуклой оболочки также является внутренне полунепрерывным.${\displaystyle S:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T(x):=\mathop {\mathrm {conv} } S(x)}$

Для метрического пространства последовательность функций , нижний эпи-предел (или нижний эпи-предел ) является функцией, определяемой уравнением надграфика и аналогично верхний эпи-предел (или верхний эпи-предел ) является функцией, определяемой уравнением надграфика Поскольку верхний и нижний пределы Куратовского являются замкнутыми множествами, следует, что и являются полунепрерывными снизу функциями. Аналогично, поскольку , следует, что равномерно. Эти функции совпадают , если и только если существует, и связанная с ними функция называется эпи-пределом .${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle f_{n}:X\to [-\infty ,+\infty ]}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}}$$${\displaystyle \mathop {\mathrm {epi} } \left(\mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}\right):=\mathop {\mathrm {Ls} } \left(\mathop {\mathrm {epi} } f_{n}\right),}$$${\displaystyle \mathop {\mathrm {e} \limsup } f_{n}}$$${\displaystyle \mathop {\mathrm {epi} } \left(\mathop {\mathrm {e} \limsup } f_{n}\right):=\mathop {\mathrm {Li} } \left(\mathop {\mathrm {epi} } f_{n}\right).}$$${\displaystyle \mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {e} \limsup } f_{n}}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Li} } \mathop {\mathrm {epi} } f_{n}\subset \mathop {\mathrm {Ls} } \mathop {\mathrm {epi} } f_{n}}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}\leq \mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Lim} } \mathop {\mathrm {epi} } f_{n}}$${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

Когда является топологическим пространством, эпи-сходимость последовательности называется Γ-сходимостью. С точки зрения сходимости Куратовского нет различия между эпи-пределами и Γ-пределами. Понятия обычно изучаются отдельно, поскольку эпи-сходимость допускает специальные характеристики, которые опираются на структуру метрического пространства , которая в общем случае не выполняется в топологических пространствах.${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$

• Теоретико-множественный предел
• Лемма Бореля–Кантелли , но следует отметить, что теоретико-множественные пределы и пределы Куратовского не согласуются.
• сходимость Вайсмана
• расстояние Хаусдорфа
• Геминепрерывность
• топология Виеториса
• Эпи-конвергенция
• Гамма-конвергенция

• Бир, Джеральд (1993). Топологии на замкнутых и замкнутых выпуклых множествах . Математика и ее приложения. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group. С. xii+340.

• Куратовский, Казимеж (1966). Топология. Тома I и II . Новое издание, исправленное и дополненное. Перевод с французского Я. Яворовски. Нью-Йорк: Academic Press. С. xx+560. МР 0217751
• Рокафеллар, Р. Тиррелл; Ветс, Роджер Дж.-Б. (1998). Вариационный анализ. Берлин. ISBN 978-3-642-02431-3. OCLC  883392544.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)