Γ-сходимость

В области математического анализа для вариационного исчисления Γ -сходимость ( гамма-сходимость ) — понятие сходимости для функционалов . Оно было введено Эннио Де Джорджи .

Пусть — топологическое пространство и обозначим множество всех окрестностей точки . Пусть далее — последовательность функционалов на . Γ-нижний предел и Γ-верхний предел определяются следующим образом:${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Gamma {\text{-}}\liminf _{n\to \infty }F_{n}(x)=\sup _{N_{x}\in {\mathcal {N}}(x)}\liminf _{n\to \infty }\inf _{y\in N_{x}}F_{n}(y),}$

${\displaystyle \Gamma {\text{-}}\limsup _{n\to \infty }F_{n}(x)=\sup _{N_{x}\in {\mathcal {N}}(x)}\limsup _{n\to \infty }\inf _{y\in N_{x}}F_{n}(y)}$.

${\displaystyle F_{n}}$Говорят, что -сходятся к , если существует функционал такой, что .${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \Гамма {\text{-}}\liminf _{n\to \infty }F_{n}=\Гамма {\text{-}}\limsup _{n\to \infty }F_{n}=F}$

В пространствах с первой счетностью приведенное выше определение можно охарактеризовать в терминах последовательной -сходимости следующим образом. Пусть будет пространством с первой счетностью и последовательность функционалов на . Тогда говорят, что они -сходятся к -пределу , если выполняются следующие два условия:${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle F:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

• Неравенство нижней границы: для каждой последовательности, такой что ,${\displaystyle x_{n}\in X}$${\displaystyle x_{n}\to x}$${\displaystyle n\to +\infty }$

${\displaystyle F(x)\leq \liminf _{n\to \infty }F_{n}(x_{n}).}$

• Неравенство верхней границы: для каждого существует последовательность, сходящаяся к , такая, что${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle F(x)\geq \limsup _{n\to \infty }F_{n}(x_{n})}$

Первое условие означает, что обеспечивает асимптотическую общую нижнюю границу для . Второе условие означает, что эта нижняя граница является оптимальной.${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{n}}$

${\displaystyle \Гамма}$-сходимость связана с понятием Куратовского-сходимости множеств. Пусть обозначает надграфик функции и пусть - последовательность функционалов на . Тогда${\displaystyle {\text{epi}}(F)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{epi}}(\Gamma {\text{-}}\liminf _{n\to \infty }F_{n})={\text{K}}{\text{-}}\limsup _{n\to \infty }{\text{epi}}(F_{n}),}$

${\displaystyle {\text{epi}}(\Gamma {\text{-}}\limsup _{n\to \infty }F_{n})={\text{K}}{\text{-}}\liminf _{n\to \infty }{\text{epi}}(F_{n}),}$

где обозначает нижние и верхние липы Куратовского в топологии произведения . В частности, -сходится к в тогда и только тогда, когда -сходится к в . Вот почему -сходимость иногда называют эпи-сходимостью .${\displaystyle {\text{K-}}\liminf }$${\displaystyle {\text{K-}}\limsup }$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$${\displaystyle (F_{n})_{n}}$ ${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle ({\text{epi}}(F_{n}))_{n}}$ ${\displaystyle {\text{К}}}$${\displaystyle {\text{epi}}(F)}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$${\displaystyle \Гамма}$

• Минимизаторы сходятся к минимизаторам: если -сходятся к , и является минимизатором для , то каждая точка кластера последовательности является минимизатором .${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle \Гамма}$-пределы всегда полунепрерывны снизу .
• ${\displaystyle \Гамма}$-сходимость устойчива при непрерывных возмущениях: если -сходится к и непрерывна, то будет -сходиться к .${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G:X\to [0,+\infty )}$${\displaystyle F_{n}+G}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle F+G}$
• Постоянная последовательность функционалов не обязательно сходится к , но сходится к релаксации , наибольшего снизу полунепрерывного функционала ниже .${\displaystyle F_{n}=F}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

Важное применение -конвергенции - в теории гомогенизации . Она также может быть использована для строгого обоснования перехода от дискретных к континуальным теориям для материалов, например, в теории упругости .${\displaystyle \Гамма}$

• конвергенция Москвы
• конвергенция Куратовского
• Эпи-конвергенция

• А. Брейдс: Γ-сходимость для начинающих . Oxford University Press, 2002.
• Дж. Даль Масо: Введение в Γ-сходимость . Биркхойзер, Базель, 1993 г.