Лемма Краснера
Связывает топологию полного неархимедова поля с его алгебраическими расширениями

В теории чисел , а точнее в p -адическом анализе , лемма Краснера является основным результатом, связывающим топологию полного неархимедова поля с его алгебраическими расширениями .

Заявление

Пусть K — полное неархимедово поле, и пусть K — сепарабельное замыкание поля K. Для заданного элемента α из K обозначим его сопряженные по Галуа элементы через α 2 , ...,  α n . Лемма Краснера гласит: [1] [2]

если элемент β из K таков, что
| α − β | < | α − α я |  для  я = 2 , … , н {\displaystyle \left|\alpha -\beta \right|<\left|\alpha -\alpha _{i}\right|{\text{ для }}i=2,\dots ,n}
тогда K ( α ) ⊆  K ( β ).

Приложения

  • Лемму Краснера можно использовать для того, чтобы показать, что -адическое пополнение и сепарабельное замыкание глобальных полей коммутируют. [3] Другими словами, если задано простое число глобального поля L , сепарабельное замыкание -адического пополнения L равно -адическому пополнению сепарабельного замыкания L ( где - простое число L, указанное выше ). п {\displaystyle {\mathfrak {p}}} п {\displaystyle {\mathfrak {p}}} п {\displaystyle {\mathfrak {p}}} п ¯ {\displaystyle {\overline {\mathfrak {p}}}} п ¯ {\displaystyle {\overline {\mathfrak {p}}}} п {\displaystyle {\mathfrak {p}}}
  • Другое применение — доказательство того, что C p — завершение алгебраического замыкания Q p — алгебраически замкнуто . [4] [5]

Обобщение

Лемма Краснера имеет следующее обобщение. [6] Рассмотрим монический многочлен

ф ∗ = ∏ к = 1 н ( Х − α к ∗ ) {\displaystyle f^{*}=\prod _{k=1}^{n}(X-\alpha _{k}^{*})}

степени n > 1 с коэффициентами в гензелевом поле ( K , v ) и корнями в алгебраическом замыкании K . Пусть I и J — два непересекающихся непустых множества с объединением {1,..., n }. Более того, рассмотрим многочлен

г = ∏ я ∈ я ( Х − α я ) {\displaystyle g=\prod _{i\in I}(X-\alpha _{i})}

с коэффициентами и корнями в K. Предположим,

∀ я ∈ я ∀ дж ∈ Дж. : в ( α я − α я ∗ ) > в ( α я ∗ − α дж ∗ ) . {\displaystyle \forall i\in I\forall j\in J:v(\alpha _{i}-\alpha _{i}^{*})>v(\alpha _{i}^{*}-\alpha _{j}^{*}).}

Тогда коэффициенты полиномов

г ∗ := ∏ я ∈ я ( Х − α я ∗ ) ,   час ∗ := ∏ дж ∈ Дж. ( Х − α дж ∗ ) {\displaystyle g^{*}:=\prod _{i\in I}(X-\alpha _{i}^{*}),\ h^{*}:=\prod _{j\in J}(X-\alpha _{j}^{*})}

содержатся в расширении поля K, порожденном коэффициентами g . (Исходная лемма Краснера соответствует ситуации, когда g имеет степень 1.)

Примечания

  1. ^ Лемма 8.1.6 из Neukirch, Schmidt & Wingberg 2008
  2. ^ Лоренц (2008) стр.78
  3. ^ Предложение 8.1.5 Нойкирха, Шмидта и Вингберга 2008 г.
  4. ^ Предложение 10.3.2 из Neukirch, Schmidt & Wingberg 2008
  5. ^ Лоренц (2008) стр.80
  6. ^ Бринк (2006), Теорема 6

Ссылки

  • Бринк, Дэвид (2006). «Новый взгляд на лемму Гензеля». Экспозиции Mathematicae . 24 (4): 291–306 . doi :10.1016/j.exmath.2006.01.002. ISSN  0723-0869. Збл  1142.12304.
  • Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-72487-4. Збл  1130.12001.
  • Наркевич, Владислав (2004). Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел . Springer Monographs in Mathematics (3-е изд.). Берлин: Springer-Verlag . С. 206. ISBN 3-540-21902-1. Збл  1159.11039.
  • Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323 (второе изд.), Берлин: Springer-Verlag, ISBN. 978-3-540-37888-4, MR  2392026, Zbl  1136.11001
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Krasner%27s_lemma&oldid=1170983515"