Аксиомы вероятности

Часть серии по статистике
Теория вероятностей
Вероятность Аксиомы Детерминизм Система Индетерминизм Случайность
Вероятностное пространство Образец пространства Событие В совокупности исчерпывающие события Элементарное событие Взаимная исключительность Исход Синглтон Эксперимент процесс Бернулли Распределение вероятностей Распределение Бернулли Биномиальное распределение Экспоненциальное распределение Нормальное распределение Распределение Парето Распределение Пуассона Probability measure Random variable Bernoulli process Continuous or discrete Expected value Variance Markov chain Observed value Random walk Stochastic process
Complementary event Joint probability Marginal probability Conditional probability
Independence Conditional independence Law of total probability Law of large numbers Bayes' theorem Boole's inequality
Venn diagram Tree diagram
v t e

Стандартные аксиомы вероятности являются основой теории вероятностей, введенной русским математиком Андреем Колмогоровым в 1933 году. ^[1] Эти аксиомы остаются центральными и вносят непосредственный вклад в математику, физические науки и реальные случаи вероятности. ^[2]

Существует несколько других (эквивалентных) подходов к формализации вероятности. Байесовцы часто мотивируют аксиомы Колмогорова, ссылаясь вместо этого на теорему Кокса или аргументы голландской книги . ^{[3] [4]}

Предположения относительно установки аксиом можно суммировать следующим образом: Пусть будет пространством меры , где есть вероятность некоторого события , и . Тогда есть вероятностное пространство , с пространством выборки , пространством событий и вероятностной мерой . ^[1]${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$${\displaystyle P(E)}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle P(\Omega )=1}$${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$

Вероятность события — это неотрицательное действительное число:

${\displaystyle P(E)\in \mathbb {R} ,P(E)\geq 0\qquad \forall E\in F}$

где — пространство событий. Из этого следует (в сочетании со второй аксиомой), что всегда конечно, в отличие от более общей теории меры . Теории, которые присваивают отрицательную вероятность, ослабляют первую аксиому.${\displaystyle F}$${\displaystyle P(E)}$

Это предположение единицы измерения : вероятность того, что произойдет хотя бы одно из элементарных событий во всем пространстве выборки, равна 1.

${\displaystyle P(\Omega )=1}$

Это предположение σ-аддитивности :

Любая счетная последовательность непересекающихся множеств (синонимичных взаимоисключающим событиям) удовлетворяет${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$

${\displaystyle P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).}$

Некоторые авторы рассматривают только конечно-аддитивные вероятностные пространства, и в этом случае нужна просто алгебра множеств , а не σ-алгебра . ^[5] Распределения квазивероятности в общем случае ослабляют третью аксиому.

Из аксиом Колмогорова можно вывести другие полезные правила для изучения вероятностей. Доказательства ^{[6] [7] [8]} этих правил представляют собой очень содержательную процедуру, иллюстрирующую силу третьей аксиомы и ее взаимодействие с предыдущими двумя аксиомами. Четыре непосредственных следствия и их доказательства показаны ниже:

${\displaystyle \quad {\text{if}}\quad A\subseteq B\quad {\text{then}}\quad P(A)\leq P(B).}$

Если A является подмножеством B или равно ему, то вероятность A меньше или равна вероятности B.

Для проверки свойства монотонности положим и , где и для . Из свойств пустого множества ( ) легко видеть, что множества попарно не пересекаются и . Следовательно, из третьей аксиомы получаем, что${\displaystyle E_{1}=A}$${\displaystyle E_{2}=B\setminus A}$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle E_{i}=\varnothing }$${\displaystyle i\geq 3}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots =B}$

${\displaystyle P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=P(B).}$

Так как по первой аксиоме левая часть этого уравнения представляет собой ряд неотрицательных чисел, и поскольку он сходится к , который конечен, то получаем и .${\displaystyle P(B)}$${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

${\displaystyle P(\varnothing )=0.}$

Во многих случаях это не единственное событие с вероятностью 0.${\displaystyle \varnothing }$

${\displaystyle P(\varnothing \cup \varnothing )=P(\varnothing )}$с ,${\displaystyle \varnothing \cup \varnothing =\varnothing }$

${\displaystyle P(\varnothing )+P(\varnothing )=P(\varnothing )}$применяя третью аксиому к левой части (примечание не пересекается само с собой), и так${\displaystyle \varnothing }$

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$путем вычитания из каждой стороны уравнения.${\displaystyle P(\varnothing )}$

${\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega -A)=1-P(A)}$

При условии, что и являются взаимоисключающими и что :${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{c}}$${\displaystyle A\cup A^{c}=\Omega }$

${\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(A)+P(A^{c})}$ ... (по аксиоме 3)

и, ... (по аксиоме 2)${\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(\Omega )=1}$

${\displaystyle \Rightarrow P(A)+P(A^{c})=1}$

${\displaystyle \therefore P(A^{c})=1-P(A)}$

Из свойства монотонности немедленно следует, что

${\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.}$

Учитывая правило дополнения и аксиому 1 :${\displaystyle P(E^{c})=1-P(E)}$ ${\displaystyle P(E^{c})\geq 0}$

${\displaystyle 1-P(E)\geq 0}$

${\displaystyle \Rightarrow 1\geq P(E)}$

${\displaystyle \therefore 0\leq P(E)\leq 1}$

Еще одно важное свойство:

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}$

Это называется законом сложения вероятностей или правилом сумм. То есть вероятность того, что событие в A или B произойдет, равна сумме вероятности события в A и вероятности события в B за вычетом вероятности события, которое есть и в A , и в B. Доказательство этого следующее:

Во-первых,

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)}$. (по Аксиоме 3)

Так,

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus (A\cap B))}$(к ).${\displaystyle B\setminus A=B\setminus (A\cap B)}$

Также,

${\displaystyle P(B)=P(B\setminus (A\cap B))+P(A\cap B)}$

и исключение из обоих уравнений дает нам желаемый результат.${\displaystyle P(B\setminus (A\cap B))}$

Распространением закона сложения на любое число множеств является принцип включения-исключения .

Подстановка B в дополнение A ^c ​​к A в законе сложения дает

${\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)}$

То есть вероятность того, что какое-либо событие не произойдет (или дополнение к событию ), равна 1 минус вероятность того, что оно произойдет.

Рассмотрим подбрасывание одной монеты и предположим, что монета упадет либо орлом (H), либо решкой (T) (но не обоими). ​​Не делается никаких предположений относительно того, является ли монета честной или зависит ли какое-либо смещение от того, как подбрасывается монета. ^[9]

Мы можем определить:

${\displaystyle \Omega =\{H,T\}}$

${\displaystyle F=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}}$

Аксиомы Колмогорова подразумевают, что:

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

Вероятность того, что не выпадет ни орёл , ни решка, равна 0.

${\displaystyle P(\{H,T\}^{c})=0}$

Вероятность выпадения орла или решки равна 1.

${\displaystyle P(\{H\})+P(\{T\})=1}$

Сумма вероятности выпадения орла и вероятности выпадения решки равна 1.

• Алгебра Бореля  – Класс математических множествPages displaying short descriptions of redirect targets
• Условная вероятность  — вероятность наступления события при условии, что другое событие уже произошло.
• Полностью вероятностный дизайн
• Интуитивная статистика  – когнитивный феномен, при котором организмы используют данные для обобщений и прогнозов относительно мира.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Квазивероятность  – понятие в статистикеPages displaying short descriptions of redirect targets
• Теория множеств  – раздел математики, изучающий множества.
• σ-алгебра  – Алгебраическая структура алгебры множествPages displaying short descriptions of redirect targets

This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (November 2010) (Learn how and when to remove this message)

• ДеГрут, Моррис Х. (1975). Вероятность и статистика. Чтение: Addison-Wesley. стр. 12–16. ISBN 0-201-01503-X.
• МакКорд, Джеймс Р.; Морони, Ричард М. (1964). «Аксиоматическая вероятность» . Введение в теорию вероятностей . Нью-Йорк: Macmillan. С. 13–28.
• Формальное определение вероятности в системе Мицара и список формально доказанных теорем о ней.