KR-теория

В математике KR-теория — это вариант топологической K-теории, определённый для пространств с инволюцией . Она была введена Атья (1966), мотивированная приложениями к теореме Атьи–Зингера об индексе для вещественных эллиптических операторов .

Действительное пространство определяется как топологическое пространство с инволюцией. Действительное векторное расслоение над действительным пространством X определяется как комплексное векторное расслоение E над X , которое также является действительным пространством, такое, что естественные отображения из E в X и из × E в E коммутируют с инволюцией, где инволюция действует как комплексное сопряжение на . (Это отличается от понятия комплексного векторного расслоения в категории пространств Z /2 Z , где инволюция действует тривиально на .)${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Группа KR ( X ) является группой Гротендика конечномерных действительных векторных расслоений над действительным пространством X .

Аналогично периодичности Ботта , теорема о периодичности для KR утверждает, что KR ^{p , q} = KR ^{p +1, q +1} , где KR ^{p , q} — это подвеска относительно R ^{p , q} = R ^q + i R ^p (с переключением порядка p и q ), заданная как

${\displaystyle KR^{p,q}(X,Y)=KR(X\times B^{p,q},X\times S^{p,q}\cup Y\times B^{p,q})}$

и B ^{p , q} , S ^{p , q} — единичные шар и сфера в R ^{p , q} .

• Атья, Майкл Фрэнсис (1966), «K-теория и реальность», The Quarterly Journal of Mathematics , вторая серия, 17 (1): 367– 386, doi :10.1093/qmath/17.1.367, ISSN  0033-5606, MR  0206940, архивировано из оригинала 15.04.2013