Проблема инвариантного подпространства

В области математики, известной как функциональный анализ , проблема инвариантного подпространства является частично нерешенной проблемой, спрашивающей, каждый ли ограниченный оператор в комплексном банаховом пространстве отправляет некоторое нетривиальное замкнутое подпространство в себя. Было решено много вариантов проблемы путем ограничения класса рассматриваемых ограниченных операторов или путем указания конкретного класса банаховых пространств. Проблема все еще открыта для сепарабельных гильбертовых пространств (другими словами, каждый найденный до сих пор пример оператора без нетривиальных инвариантных подпространств является оператором, который действует в банаховом пространстве, которое не изоморфно сепарабельному гильбертову пространству).

Проблема, по-видимому, была сформулирована в середине 20-го века после работы Берлинга и фон Неймана , ^[1], которые нашли (но никогда не публиковали) положительное решение для случая компактных операторов . Затем она была поставлена ​​Полом Халмошем для случая операторов, таких что является компактным. Это было решено утвердительно для более общего класса полиномиально компактных операторов (операторов, таких что является компактным оператором для подходящим образом выбранного ненулевого полинома ), Алленом Р. Бернстайном и Абрахамом Робинсоном в 1966 году (см. Нестандартный анализ § Проблема инвариантного подпространства для краткого изложения доказательства).${\displaystyle Т}$${\displaystyle Т^{2}}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle p(T)}$${\displaystyle p}$

Для банаховых пространств первый пример оператора без инвариантного подпространства был построен Пером Энфло . Он предложил контрпример к проблеме инвариантного подпространства в 1975 году, опубликовав план в 1976 году. Энфло представил полную статью в 1981 году, и сложность и длина статьи задержали ее публикацию до 1987 года ^[2] Длинная «рукопись Энфло имела всемирное распространение среди математиков» ^[1], и некоторые из ее идей были описаны в публикациях помимо Энфло (1976). ^[3] Работы Энфло вдохновили на аналогичное построение оператора без инвариантного подпространства, например, Бернара Бозами, который признал идеи Энфло. ^[2]

В 1990-х годах Энфло разработал «конструктивный» подход к проблеме инвариантного подпространства в гильбертовых пространствах. ^[4]

В мае 2023 года на arXiv появился препринт Enflo ^[5] , который, если он верен, решает проблему для гильбертовых пространств и завершает картину.

В июле 2023 года на arXiv появился второй и независимый препринт Невилла ^[6], в котором утверждается решение проблемы для сепарабельных гильбертовых пространств.

В сентябре 2024 года в рецензируемой статье, опубликованной в журнале Axioms группой из четырех иорданских ученых-исследователей, было объявлено, что они решили проблему инвариантного подпространства. ^[7]

Формально проблема инвариантного подпространства для комплексного банахова пространства размерности  > 1 — это вопрос о том, имеет ли каждый ограниченный линейный оператор нетривиальное замкнутое -инвариантное подпространство : замкнутое линейное подпространство , которое отлично от и от , такое, что .${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle Т}$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T(W)\subset W}$

Отрицательный ответ на задачу тесно связан со свойствами орбит . Если является элементом банахова пространства , то орбита под действием , обозначаемая , является подпространством, порожденным последовательностью . Это также называется -циклическим подпространством , порожденным . Из определения следует, что является -инвариантным подпространством. Более того, это минимальное -инвариантное подпространство, содержащее : если является другим инвариантным подпространством, содержащим , то обязательно для всех (так как является -инвариантным), и поэтому . Если не равно нулю, то не равно , поэтому его замыкание является либо всем пространством (в этом случае говорят, что это циклический вектор для ), либо это нетривиальное -инвариантное подпространство. Поэтому контрпримером к проблеме инвариантного подпространства было бы банахово пространство и ограниченный оператор, для которого каждый ненулевой вектор является циклическим вектором для . (Где «циклический вектор» для оператора в банаховом пространстве означает тот, для которого орбита плотна в .)${\displaystyle Т}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle \{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle Т}$ ${\displaystyle Т}$${\displaystyle x}$${\displaystyle W}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T^{n}(x)\in Вт}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle W}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle [x]\subset W}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T:H\to H}$${\displaystyle x\in H}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle H}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H}$

В то время как случай проблемы инвариантного подпространства для сепарабельных гильбертовых пространств все еще остается открытым, несколько других случаев были решены для топологических векторных пространств (над полем комплексных чисел):

• Для конечномерных комплексных векторных пространств каждый оператор допускает собственный вектор, поэтому он имеет одномерное инвариантное подпространство.
• Гипотеза верна, если гильбертово пространство не является сепарабельным (т.е. если оно имеет несчетный ортонормированный базис ). Фактически, если — ненулевой вектор в , то замыкание нормы линейной орбиты является сепарабельным (по построению) и, следовательно, собственным подпространством, а также инвариантным.${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle H}$${\displaystyle [x]}$
• Фон Нейман показал ^[8] , что любой компактный оператор в гильбертовом пространстве размерности не менее 2 имеет нетривиальное инвариантное подпространство.
• Спектральная теорема показывает, что все нормальные операторы допускают инвариантные подпространства.
• Ароншайн и Смит (1954) доказали, что каждый компактный оператор в любом банаховом пространстве размерности не менее 2 имеет инвариантное подпространство.
• Бернстайн и Робинсон (1966) доказали с помощью нестандартного анализа , что если оператор в гильбертовом пространстве полиномиально компактен (другими словами, компактен для некоторого ненулевого полинома ), то имеет инвариантное подпространство. Их доказательство использует оригинальную идею вложения бесконечномерного гильбертова пространства в гиперконечномерное гильбертово пространство (см. Нестандартный анализ#Проблема инвариантного подпространства ).${\displaystyle Т}$${\displaystyle p(T)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle Т}$
• Халмош (1966), ознакомившись с препринтом Робинсона, исключил из него нестандартный анализ и представил более короткое доказательство в том же номере того же журнала.
• Ломоносов (1973) дал очень короткое доказательство, используя теорему Шаудера о неподвижной точке , что если оператор в банаховом пространстве коммутирует с ненулевым компактным оператором, то имеет нетривиальное инвариантное подпространство. Это включает случай полиномиально компактных операторов, поскольку оператор коммутирует с любым полиномом в себе. В более общем смысле, он показал, что если коммутирует с нескалярным оператором , который коммутирует с ненулевым компактным оператором, то имеет инвариантное подпространство. ^[9]${\displaystyle Т}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle S}$
• Первый пример оператора в банаховом пространстве без нетривиальных инвариантных подпространств был найден Пером Энфло  (1976, 1987), а его пример был упрощен Бозами (1985).
• Первый контрпример для «классического» банахова пространства был найден Чарльзом Ридом  (1984, 1985), который описал оператор для классического банахова пространства без инвариантных подпространств.${\displaystyle l_{1}}$
• Позднее Чарльз Рид  (1988) построил оператор на без даже нетривиального замкнутого инвариантного подмножества , то есть для каждого вектора множество является плотным, и в этом случае вектор называется гиперциклическим (разница со случаем циклических векторов заключается в том, что в этом случае мы не берем подпространство , порожденное точками ).${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}}$${\displaystyle \{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}}$
• Ацмон (1983) привел пример оператора без инвариантных подпространств на ядерном пространстве Фреше .
• Слива (2008) доказал, что любое бесконечномерное банахово пространство счетного типа над неархимедовым полем допускает ограниченный линейный оператор без нетривиального замкнутого инвариантного подпространства. Это полностью решает неархимедову версию этой проблемы, поставленную ван Роем и Шихофом в 1992 году.
• Аргирос и Хейдон (2011) дали конструкцию бесконечномерного банахова пространства, в которой каждый непрерывный оператор является суммой компактного оператора и скалярного оператора, поэтому, в частности, каждый оператор имеет инвариантное подпространство.

• Абрамович, Юрий А.; Алипрантис, Хараламбос Д. (2002), Приглашение к теории операторов , Graduate Studies in Mathematics , т. 50, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, doi : 10.1090/gsm/050 , ISBN 978-0-8218-2146-6, г-н  1921782
• Аргирос, Спирос А.; Хейдон, Ричард Г. (2011), «Наследственно неразложимое L _∞ -пространство, решающее проблему скаляр-плюс-компакт», Acta Math. , 206 (1): 1–54, arXiv : 0903.3921 , doi :10.1007/s11511-011-0058-y, MR  2784662, S2CID  119532059
• Ароншайн, Н.; Смит, К.Т. (1954), «Инвариантные подпространства вполне непрерывных операторов», Annals of Mathematics , Вторая серия, 60 (2): 345–350, doi :10.2307/1969637, JSTOR  1969637, MR  0065807
• Ацмон, Аарон (1983), «Оператор без инвариантных подпространств в ядерном пространстве Фреше», Annals of Mathematics , Вторая серия, 117 (3): 669–694, doi :10.2307/2007039, JSTOR  2007039, MR  0701260
• Beauzamy, Bernard (1985), «Оператор без инвариантного подпространства: упрощение примера П. Энфло» [An Operator with no invariant subspace: Simplification of the example of P. Enflo], Integral Equations and Operator Theory (на французском языке), 8 (3): 314–384, doi :10.1007/BF01202903, MR  0792905, S2CID  121418247
• Бозами, Бернар (1988), Введение в теорию операторов и инвариантные подпространства , Математическая библиотека Северной Голландии, т. 42, Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-70521-1, МР  0967989
• Бернстайн, Аллен Р.; Робинсон, Абрахам (1966), «Решение проблемы инвариантного подпространства К. Т. Смита и П. Р. Халмоша», Pacific Journal of Mathematics , 16 (3): 421–431, doi : 10.2140/pjm.1966.16.421 , MR  0193504
• Энфло, Пер (1976), «О проблеме инвариантных подпространств в банаховых пространствах», Séminaire Maurey--Schwartz (1975–1976) Espaces L ^p , приложения radonifiantes et géométrie des espaces de Banach, Exp. №№ 14–15 , Центр математики, Политехническая школа, Палезо, с. 7, МР  0473871
• Энфло, Пер (1987), «О проблеме инвариантного подпространства для банаховых пространств», Acta Mathematica , 158 (3): 213–313, doi : 10.1007/BF02392260 , MR  0892591
• Энфло, Пер; Ломоносов, Виктор (2001), «Некоторые аспекты проблемы инвариантного подпространства», Справочник по геометрии банаховых пространств , т. I, Амстердам: Северная Голландия, стр. 533–559, doi :10.1016/S1874-5849(01)80015-2, ISBN 9780444828422, г-н  1863701
• Халмош, Пол Р. (1966), «Инвариантные подпространства полиномиально компактных операторов», Pacific Journal of Mathematics , 16 (3): 433–437, doi : 10.2140/pjm.1966.16.433 , MR  0193505
• Ломоносов, VI (1973), "Инвариантные подпространства семейства операторов, коммутирующих с вполне непрерывным оператором", Академия наук СССР. Функциональный анализ и его приложения , 7 (3): 55–56, doi :10.1007/BF01080698, MR  0420305, S2CID  121421267
• Пирси, Карл; Шилдс, Аллен Л. (1974), «Обзор техники Ломоносова в теории инвариантных подпространств», в C. Pearcy (ред.), Topics in Operator theory , Mathematical Surveys, Providence, RI: American Mathematical Society, стр. 219–229, MR  0355639
• Read, CJ (1984), «Решение проблемы инвариантного подпространства», The Bulletin of the London Mathematical Society , 16 (4): 337–401, doi :10.1112/blms/16.4.337, MR  0749447
• Read, CJ (1985), "Решение проблемы инвариантного подпространства в пространстве l ₁ ", Бюллетень Лондонского математического общества , 17 (4): 305–317, doi :10.1112/blms/17.4.305, MR  0806634
• Read, CJ (1988), «Проблема инвариантного подпространства для класса банаховых пространств, 2: гиперциклические операторы», Israel Journal of Mathematics , 63 (1): 1–40, doi : 10.1007/BF02765019 , MR  0959046, S2CID  123651876
• Раджави, Гейдар; Розенталь, Питер (1982), «Проблема инвариантного подпространства», The Mathematical Intelligencer , 4 (1): 33–37, doi :10.1007/BF03022994, MR  0678734, S2CID  122811130
• Раджави, Гейдар; Розенталь, Питер (2003), Инвариантные подпространства (второе издание), Минеола, Нью-Йорк: Довер, ISBN 978-0-486-42822-2, МР  2003221
• Раджави, Гейдар; Розенталь, Питер (2000), Одновременная триангуляризация , Universitext, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xii+318, doi :10.1007/978-1-4612-1200-3, ISBN 978-0-387-98467-4, МР  1736065
• Śliwa, Wiesław (2008), "Проблема инвариантного подпространства для неархимедовых банаховых пространств" (PDF) , Канадский математический вестник , 51 (4): 604–617, doi :10.4153/CMB-2008-060-9, hdl : 10593/798 , MR  2462465, S2CID  40430187
• Ядав, Б.С. (2005), «Современное состояние и наследие проблемы инвариантного подпространства», Миланский математический журнал , 73 (1): 289–316, doi :10.1007/s00032-005-0048-7, MR  2175046, S2CID  121068326