Биологическая модель нейрона

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) Тон или стиль этой статьи может не отражать энциклопедический тон , используемый в Википедии .Рекомендации см. в руководстве Википедии по написанию лучших статей . ( Август 2023 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) Эта статья может оказаться слишком сложной для понимания большинством читателей .Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы сделать его понятным для неспециалистов , не удаляя технические детали. ( Август 2023 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

Биологические модели нейронов , также известные как модели спайковых нейронов , ^[1] являются математическими описаниями проводимости электрических сигналов в нейронах . Нейроны (или нервные клетки) являются электрически возбудимыми клетками в нервной системе , способными посылать электрические сигналы, называемые потенциалами действия , через нейронную сеть. Эти математические модели описывают роль биофизических и геометрических характеристик нейронов в проводимости электрической активности.

Центральным в этих моделях является описание того, как мембранный потенциал (то есть разница в электрическом потенциале между внутренней и внешней частью биологической клетки ) через клеточную мембрану изменяется с течением времени. В экспериментальной обстановке стимуляция нейронов электрическим током генерирует потенциал действия (или спайк), который распространяется по аксону нейрона . Этот аксон может разветвляться и соединяться с большим количеством нижестоящих нейронов в местах, называемых синапсами . В этих синапсах спайк может вызывать высвобождение нейротрансмиттеров , которые, в свою очередь, могут изменять потенциал напряжения нижестоящих нейронов. Это изменение может потенциально привести к еще большему количеству спайков в этих нижестоящих нейронах, таким образом передавая сигнал. Около 95% нейронов в неокортексе , самом внешнем слое мозга млекопитающих , состоят из возбуждающих пирамидальных нейронов , ^{[2] [3],} и каждый пирамидальный нейрон получает десятки тысяч входных сигналов от других нейронов. ^[4] Таким образом, импульсные нейроны являются основным блоком обработки информации нервной системы .

Одним из таких примеров модели нейрона со спайками может быть высокодетализированная математическая модель, включающая пространственную морфологию . Другой может быть модель нейрона на основе проводимости, которая рассматривает нейроны как точки и описывает динамику мембранного напряжения как функцию трансмембранных токов. Математически более простая модель «интегрировать-и-срабатывать» значительно упрощает описание динамики ионного канала и мембранного потенциала (первоначально изученная Лапиком в 1907 году). ^{[5] [6]}

Непиковые клетки, пиковые клетки и их измерение

Не все клетки нервной системы производят тип спайка, который определяет область действия моделей спайковых нейронов. Например, волосковые клетки улитки , рецепторные клетки сетчатки и биполярные клетки сетчатки не производят спайков. Более того, многие клетки нервной системы не классифицируются как нейроны, а вместо этого классифицируются как глия .

Активность нейронов можно измерить с помощью различных экспериментальных методов, таких как метод измерения «целой клетки», который фиксирует импульсную активность отдельного нейрона и создает потенциалы действия полной амплитуды.

При внеклеточных методах измерения один или несколько электродов помещаются во внеклеточное пространство . Шипы, часто от нескольких источников, в зависимости от размера электрода и его близости к источникам, могут быть идентифицированы с помощью методов обработки сигнала. Внеклеточные измерения имеют несколько преимуществ:

• Его легче получить экспериментальным путем;
• Он прочный и служит дольше;
• Он может отражать доминирующий эффект, особенно при проведении в анатомической области с большим количеством схожих клеток.

Обзор моделей нейронов

Модели нейронов можно разделить на две категории в соответствии с физическими единицами интерфейса модели. Каждая категория может быть далее разделена в соответствии с уровнем абстракции/детализации:

1. Модели электрического входного-выходного мембранного напряжения – эти модели производят прогноз для выходного мембранного напряжения как функции электрической стимуляции, заданной как входной ток или напряжение. Различные модели в этой категории отличаются точной функциональной связью между входным током и выходным напряжением и уровнем детализации. Некоторые модели в этой категории предсказывают только момент возникновения выходного скачка (также известного как «потенциал действия»); другие модели более подробны и учитывают субклеточные процессы. Модели в этой категории могут быть как детерминированными, так и вероятностными.
2. Модели нейронов с естественным стимулом или фармакологическим входом – Модели в этой категории связывают входной стимул, который может быть как фармакологическим, так и естественным, с вероятностью события спайка. Входной этап этих моделей не является электрическим, а имеет либо фармакологические (химические) единицы концентрации, либо физические единицы, которые характеризуют внешний стимул, такой как свет, звук или другие формы физического давления. Более того, выходной этап представляет вероятность события спайка, а не электрическое напряжение.

Хотя в науке и технике не редкость иметь несколько описательных моделей для разных уровней абстракции/детализации, количество различных, иногда противоречащих друг другу, биологических моделей нейронов исключительно велико. Эта ситуация отчасти является результатом множества различных экспериментальных установок и трудности отделения внутренних свойств одного нейрона от эффектов измерения и взаимодействий многих клеток ( сетевых эффектов).

Цели нейронных моделей

В конечном счете, биологические модели нейронов направлены на объяснение механизмов, лежащих в основе работы нервной системы. Однако можно выделить несколько подходов: от более реалистичных моделей (например, механистических моделей) до более прагматичных моделей (например, феноменологических моделей). ^{[7] [ необходим лучший источник ]} Моделирование помогает анализировать экспериментальные данные и решать вопросы. Модели также важны в контексте восстановления утраченной функциональности мозга с помощью нейропротезных устройств.

Модели в этой категории описывают связь между нейронными мембранными токами на входном этапе и мембранным напряжением на выходном этапе. Эта категория включает (обобщенные) модели интеграции и активации и биофизические модели, вдохновленные работой Ходжкина-Хаксли в начале 1950-х годов с использованием экспериментальной установки, которая прокалывала клеточную мембрану и позволяла нагнетать определенное мембранное напряжение/ток. ^{[8] [9] [10] [11]}

Большинство современных электрических нейронных интерфейсов применяют внеклеточную электрическую стимуляцию, чтобы избежать прокола мембраны, который может привести к гибели клеток и повреждению тканей. Следовательно, неясно, в какой степени электрические нейронные модели применимы к внеклеточной стимуляции (см., например, ^[12] ).

Модель Ходжкина–Хаксли (модель H&H) ^{[8] [9] [10] [11]} представляет собой модель взаимосвязи между потоком ионных токов через клеточную мембрану нейрона и мембранным напряжением клетки. ^{[8] [9] [10] [11]} Она состоит из набора нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих поведение ионных каналов, которые пронизывают клеточную мембрану гигантского аксона кальмара . За эту работу Ходжкин и Хаксли были удостоены Нобелевской премии по физиологии и медицине 1963 года.

Важно отметить зависимость между напряжением и током, при этом множественные токи, зависящие от напряжения, заряжают клеточную мембрану емкостью C· _m.

${\displaystyle C_{\mathrm {m} }{\frac {dV(t)}{dt}}=-\sum _{i}I_{i}(t,V).}$

Вышеуказанное уравнение является производной по времени закона емкости , Q = CV , где изменение общего заряда должно быть объяснено как сумма по токам. Каждый ток определяется как

${\displaystyle I(t,V)=g(t,V)\cdot (V-V_{\mathrm {eq} })}$

где g ( t , V ) - проводимость или обратное сопротивление, которое может быть расширено с точки зрения его максимальной проводимости ḡ и фракций активации и инактивации m и h , соответственно, которые определяют, сколько ионов может протекать через доступные мембранные каналы. Это расширение задается как

${\displaystyle g(t,V)={\bar {g}}\cdot m(t,V)^{p}\cdot h(t,V)^{q}}$

и наши фракции следуют кинетике первого порядка

${\displaystyle {\frac {dm(t,V)}{dt}}={\frac {m_{\infty }(V)-m(t,V)}{\tau _{\mathrm {m} }(V)}}=\alpha _{\mathrm {m} }(V)\cdot (1-m)-\beta _{\mathrm {m} }(V)\cdot m}$

с аналогичной динамикой для h , где мы можем использовать либо τ и m _∞ , либо α и β для определения наших фракций вентиля.

Модель Ходжкина–Хаксли может быть расширена для включения дополнительных ионных токов. Обычно они включают входящие токи Ca ²⁺ и Na ⁺ , а также несколько разновидностей исходящих токов K ⁺ , включая ток «утечки».

Результат может быть на малом конце 20 параметров, которые необходимо оценить или измерить для точной модели. В модели сложной системы нейронов численная интеграция уравнений является вычислительно дорогой . Поэтому необходимы осторожные упрощения модели Ходжкина–Хаксли.

Модель может быть сведена к двум измерениям благодаря динамическим связям, которые могут быть установлены между переменными управления. ^[13] Также возможно расширить ее, чтобы учесть эволюцию концентраций (считавшихся фиксированными в исходной модели). ^{[14] [15]}

Одной из самых ранних моделей нейрона является идеальная модель «интегрировать и срабатывать» (также называемая моделью «интегрировать и срабатывать без утечки»), впервые исследованная в 1907 году Луи Лапиком . ^[16] Нейрон представлен мембранным напряжением V , которое изменяется во времени во время стимуляции входным током I(t) в соответствии с

${\displaystyle I(t)=C{\frac {dV(t)}{dt}}}$

что является просто производной по времени закона емкости , Q = CV . При подаче входного тока мембранное напряжение увеличивается со временем, пока не достигнет постоянного порогового значения V _th , в этот момент происходит всплеск дельта-функции , и напряжение сбрасывается до своего остаточного потенциала, после чего модель продолжает работать. Таким образом, частота срабатывания модели увеличивается линейно без ограничений по мере увеличения входного тока.

Модель можно сделать более точной, введя рефрактерный период t _ref , который ограничивает частоту срабатывания нейрона, предотвращая его срабатывание в течение этого периода. Для постоянного входного сигнала I(t)=I пороговое напряжение достигается после времени интегрирования t _int =CV _thr /I после старта с нуля. После сброса рефрактерный период вводит мертвое время, так что общее время до следующего срабатывания равно t _ref + t _int . Частота срабатывания является обратной величиной общего интервала между спайками (включая мертвое время). Частота срабатывания как функция постоянного входного тока, таким образом,

${\displaystyle \,\!f(I)={\frac {I}{C_{\mathrm {} }V_{\mathrm {th} }+t_{\mathrm {ref} }I}}.}$

Недостатком этой модели является то, что она не описывает ни адаптацию, ни утечку. Если модель получает короткий импульс тока ниже порогового значения в какой-то момент, она сохранит это повышение напряжения навсегда — до тех пор, пока другой входной сигнал позже не заставит ее активироваться. Эта характеристика не соответствует наблюдаемому поведению нейронов. Следующие расширения делают модель интеграции и активации более правдоподобной с биологической точки зрения.

Текучая модель интеграции и возгорания, которая восходит к Луи Лапику , ^[16] содержит термин «утечка» в уравнении мембранного потенциала, который отражает диффузию ионов через мембрану, в отличие от нетекучей модели интеграции и возгорания. Уравнение модели выглядит как ^[1]

${\displaystyle C_{\mathrm {m} }{\frac {dV_{\mathrm {m} }(t)}{dt}}=I(t)-{\frac {V_{\mathrm {m} }(t)}{R_{\mathrm {m} }}}}$

где V _m — напряжение на клеточной мембране, а R _m — сопротивление мембраны. (Непротекающая модель «интегрируй и срабатывай» восстанавливается в пределе R _m до бесконечности, т. е. если мембрана является идеальным изолятором). Уравнение модели справедливо для произвольного зависящего от времени входа до тех пор, пока не будет достигнуто пороговое значение V _th ; после этого мембранный потенциал сбрасывается.

Для постоянного входа минимальный вход для достижения порога равен I _th = V _th / R _m . Предполагая сброс до нуля, частота срабатывания, таким образом, выглядит как

${\displaystyle f(I)={\begin{cases}0,&I\leq I_{\mathrm {th} }\\\left[t_{\mathrm {ref} }-R_{\mathrm {m} }C_{\mathrm {m} }\log \left(1-{\tfrac {V_{\mathrm {th} }}{IR_{\mathrm {m} }}}\right)\right]^{-1},&I>I_{\mathrm {th} }\end{cases}}}$

которая сходится для больших входных токов к предыдущей модели без утечек с рефрактерным периодом. ^[17] Модель также может быть использована для тормозных нейронов. ^{[18] [19]}

Самым существенным недостатком этой модели является то, что она не содержит нейронной адаптации, поэтому она не может описать экспериментально измеренную серию спайков в ответ на постоянный входной ток. ^[20] Этот недостаток устраняется в обобщенных моделях интеграции и активации, которые также содержат одну или несколько переменных адаптации и способны предсказывать время спайков корковых нейронов при подаче тока с высокой степенью точности. ^{[21] [22] [23]}

Нейрональная адаптация относится к тому факту, что даже при наличии постоянного тока инъекции в сому, интервалы между выходными спайками увеличиваются. Адаптивная модель нейрона интеграции и запуска объединяет утечку интеграции напряжения Vс одной или несколькими переменными адаптации w _k (см. главу 6.1. в учебнике «Нейронная динамика» ^[27] )

${\displaystyle \tau _{\mathrm {m} }{\frac {dV_{\mathrm {m} }(t)}{dt}}=RI(t)-[V_{\mathrm {m} }(t)-E_{\mathrm {m} }]-R\sum _{k}w_{k}}$

${\displaystyle \tau _{k}{\frac {dw_{k}(t)}{dt}}=-a_{k}[V_{\mathrm {m} }(t)-E_{\mathrm {m} }]-w_{k}+b_{k}\tau _{k}\sum _{f}\delta (t-t^{f})}$

где - постоянная времени мембраны, w _k - номер тока адаптации, с индексом k , - постоянная времени тока адаптации w _k , E _m - потенциал покоя, а t ^f - время срабатывания нейрона, а греческая дельта обозначает дельта-функцию Дирака. Всякий раз, когда напряжение достигает порога срабатывания, напряжение сбрасывается до значения V _r ниже порога срабатывания. Значение сброса является одним из важных параметров модели. Простейшая модель адаптации имеет только одну переменную адаптации w${\displaystyle \tau _{m}}$${\displaystyle \tau _{k}}$и сумма по k удаляется. ^[28]

Интеграционно-активные нейроны с одной или несколькими адаптационными переменными могут объяснять различные паттерны нейронной активации в ответ на постоянную стимуляцию, включая адаптацию, всплеск и начальный всплеск. ^{[24] [25] [26]} Более того, адаптивные интеграционно-активные нейроны с несколькими адаптационными переменными способны предсказывать время спайков корковых нейронов при зависящей от времени инъекции тока в сому. ^{[22] [23]}

Недавние достижения в вычислительном и теоретическом дробном исчислении привели к новой форме модели, называемой Fractional-order leaky integrated-and-fire. ^{[29] [30]} Преимущество этой модели в том, что она может фиксировать эффекты адаптации с помощью одной переменной. Модель имеет следующий вид ^[30]

${\displaystyle I(t)-{\frac {V_{\mathrm {m} }(t)}{R_{\mathrm {m} }}}=C_{\mathrm {m} }{\frac {d^{\alpha }V_{\mathrm {m} }(t)}{d^{\alpha }t}}}$

Как только напряжение достигает порогового значения, оно сбрасывается. Дробное интегрирование использовалось для учета нейронной адаптации в экспериментальных данных. ^[29]

В экспоненциальной модели «интегрируй и активируй» ^[33] генерация спайков происходит экспоненциально, следуя уравнению:

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}-{\frac {R}{\tau _{m}}}I(t)={\frac {1}{\tau _{m}}}\left[E_{m}-V+\Delta _{T}\exp \left({\frac {V-V_{T}}{\Delta _{T}}}\right)\right].}$

где — мембранный потенциал, — порог внутреннего мембранного потенциала, — постоянная времени мембраны, — потенциал покоя, — острота инициации потенциала действия, обычно около 1 мВ для пирамидальных нейронов коры. ^[31] Как только мембранный потенциал пересекает , он расходится до бесконечности за конечное время. ^[34] При численном моделировании интегрирование останавливается, если мембранный потенциал достигает произвольного порога (намного большего, чем ), при котором мембранный потенциал сбрасывается до значения V _r . Значение сброса напряжения V _r является одним из важных параметров модели. Важно, что правая часть приведенного выше уравнения содержит нелинейность, которая может быть напрямую извлечена из экспериментальных данных. ^[31] В этом смысле экспоненциальная нелинейность убедительно подтверждается экспериментальными доказательствами.${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{T}}$${\displaystyle \tau _{m}}$${\displaystyle E_{m}}$${\displaystyle \Delta _{T}}$${\displaystyle V_{T}}$${\displaystyle V_{T}}$

В адаптивном экспоненциальном интегрирующем и активизирующем нейроне ^[32] указанная выше экспоненциальная нелинейность уравнения напряжения объединяется с переменной адаптации w

${\displaystyle \tau _{m}{\frac {dV}{dt}}=RI(t)+\left[E_{m}-V+\Delta _{T}\exp \left({\frac {V-V_{T}}{\Delta _{T}}}\right)\right]-Rw}$

${\displaystyle \tau {\frac {dw(t)}{dt}}=-a[V_{\mathrm {m} }(t)-E_{\mathrm {m} }]-w+b\tau \delta (t-t^{f})}$

где жобозначает ток адаптации с временной шкалой . Важными параметрами модели являются значение сброса напряжения V _r , внутренний порог , постоянные времени и , а также параметры связи a${\displaystyle \tau }$${\displaystyle V_{T}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau _{m}}$и б. Адаптивная экспоненциальная модель «интегрировать и сработать» наследует экспериментально полученную нелинейность напряжения ^[31] экспоненциальной модели «интегрировать и сработать». Но, выходя за рамки этой модели, она также может учитывать различные паттерны нейронной активации в ответ на постоянную стимуляцию, включая адаптацию, всплеск и начальный всплеск. ^[26] Однако, поскольку адаптация имеет форму тока, может возникнуть аберрантная гиперполяризация. Эта проблема была решена путем выражения ее как проводимости. ^[35]

В этой модели функция, зависящая от времени, добавляется к фиксированному порогу, , после каждого скачка, вызывая адаптацию порога. Пороговый потенциал, , постепенно возвращается к своему стационарному значению в зависимости от постоянной времени адаптации порога . ^[36] Это один из самых простых методов достижения адаптации частоты скачков. ^[37] Выражение для адаптивного порога имеет вид:${\displaystyle \theta (t)}$${\displaystyle v_{th0}}$${\displaystyle v_{th}}$${\displaystyle \tau _{\theta }}$

${\displaystyle v_{th}(t)=v_{th0}+{\frac {\sum \theta (t-t_{f})}{f}}=v_{th0}+{\frac {\sum \theta _{0}\exp \left[-{\frac {(t-t_{f})}{\tau _{\theta }}}\right]}{f}}}$

где определяется как: ${\displaystyle \theta (t)}$${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\exp \left[-{\frac {t}{\tau _{\theta }}}\right]}$

Когда мембранный потенциал достигает порогового значения, он сбрасывается до :${\displaystyle u(t)}$${\displaystyle v_{rest}}$

${\displaystyle u(t)\geq v_{th}(t)\Rightarrow v(t)=v_{\text{rest}}}$

Более простая версия этого подхода с единственной постоянной времени в пороговом затухании с использованием нейрона LIF реализована в ^[38] для достижения LSTM-подобных рекуррентных импульсных нейронных сетей с целью достижения точности, близкой к ANN, в нескольких пространственно-временных задачах.

Модель нейрона DEXAT является разновидностью адаптивной модели нейрона, в которой пороговое напряжение затухает с двойной экспонентой, имеющей две временные константы. Двойной экспоненциальный затухание регулируется быстрым начальным затуханием, а затем более медленным затуханием в течение более длительного периода времени. ^{[39] [40]} Этот нейрон, используемый в SNN через суррогатный градиент, создает адаптивную скорость обучения, обеспечивающую более высокую точность и более быструю сходимость, а также гибкую долгосрочную кратковременную память по сравнению с существующими аналогами в литературе. Динамика мембранного потенциала описывается с помощью уравнений, а правило пороговой адаптации следующее:

${\displaystyle v_{th}(t)=b_{0}+\beta _{1}b_{1}(t)+\beta _{2}b_{2}(t)}$

Динамика и задается выражением${\displaystyle b_{1}(t)}$${\displaystyle b_{2}(t)}$

${\displaystyle b_{1}(t+\delta t)=p_{j1}b_{1}(t)+(1-p_{j1})z(t)\delta (t)}$,

${\displaystyle b_{2}(t+\delta t)=p_{j2}b_{2}(t)+(1-p_{j2})z(t)\delta (t)}$,

где и .${\displaystyle p_{j1}=\exp \left[-{\frac {\delta t}{\tau _{b1}}}\right]}$${\displaystyle p_{j2}=\exp \left[-{\frac {\delta t}{\tau _{b2}}}\right]}$

^{Далее, в [41]} показана многомасштабная адаптивная пороговая нейронная модель, демонстрирующая более сложную динамику.

Модели в этой категории являются обобщенными моделями «интегрируй и запускай», которые включают определенный уровень стохастичности. Кортикальные нейроны в экспериментах обнаруживают, что они надежно реагируют на зависящий от времени ввод, хотя и с небольшой степенью вариаций между одним испытанием и следующим, если один и тот же стимул повторяется. ^{[42] [43]} Стохастичность в нейронах имеет два важных источника. Во-первых, даже в очень контролируемом эксперименте, где входной ток вводится непосредственно в сому, ионные каналы открываются и закрываются стохастически ^[44] , и этот шум канала приводит к небольшой изменчивости точного значения мембранного потенциала и точного времени выходных скачков. Во-вторых, для нейрона, встроенного в кортикальную сеть, трудно контролировать точный ввод, потому что большинство вводов поступают от ненаблюдаемых нейронов где-то еще в мозге. ^[27]

Стохастичность была введена в модели нейронов со спайками в двух принципиально разных формах: либо (i) шумный входной ток добавляется к дифференциальному уравнению модели нейрона; ^[45] либо (ii) процесс генерации спайков является шумным. ^[46] В обоих случаях математическая теория может быть разработана для непрерывного времени, которое затем, при желании для использования в компьютерном моделировании, преобразуется в модель с дискретным временем.

Связь шума в нейронных моделях с изменчивостью последовательностей импульсов и нейронных кодов обсуждается в книге «Нейронное кодирование» и в главе 7 учебника «Нейронная динамика». ^[27]

Нейрон, встроенный в сеть, получает импульсный вход от других нейронов. Поскольку время прибытия импульса не контролируется экспериментатором, его можно считать стохастическим. Таким образом, (потенциально нелинейная) модель «интегрировать и запустить» с нелинейностью f(v) получает два входа: вход, контролируемый экспериментатором, и шумовой входной ток , описывающий неконтролируемый фоновый вход.${\displaystyle I(t)}$${\displaystyle I^{\rm {noise}}(t)}$

${\displaystyle \tau _{m}{\frac {dV}{dt}}=f(V)+RI(t)+RI^{\text{noise}}(t)}$

Модель Стайна ^[45] является частным случаем текуче-интегрирующего и срабатывающего нейрона и стационарного белого шума со средним нулевым и единичной дисперсией. В подпороговом режиме эти предположения приводят к уравнению процесса Орнштейна–Уленбека${\displaystyle I^{\rm {noise}}(t)=\xi (t)}$

${\displaystyle \tau _{m}{\frac {dV}{dt}}=[E_{m}-V]+RI(t)+R\xi (t)}$

Однако, в отличие от стандартного процесса Орнштейна-Уленбека, мембранное напряжение сбрасывается всякий раз, когда V достигает порога срабатывания V _th . ^[45] Расчет распределения интервалов модели Орнштейна-Уленбека для постоянного входа с порогом приводит к проблеме времени первого прохождения . ^{[45] [47]} Модель нейрона Штейна и ее варианты использовались для подгонки распределений интервалов между импульсами серий импульсов от реальных нейронов при постоянном входном токе. ^[47]

В математической литературе приведенное выше уравнение процесса Орнштейна–Уленбека записывается в виде

${\displaystyle dV=[E_{m}-V+RI(t)]{\frac {dt}{\tau _{m}}}+\sigma \,dW}$

где амплитуда входного шума, а dW — приращения винеровского процесса. Для дискретных реализаций с шагом времени dt обновления напряжения равны ^[27]${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \Delta V=[E_{m}-V+RI(t)]{\frac {\Delta t}{\tau _{m}}}+\sigma {\sqrt {\tau _{m}}}y}$

где y взято из гауссовского распределения с нулевой средней единичной дисперсией. Напряжение сбрасывается, когда достигает порога срабатывания V _th .

Модель шумного входа также может использоваться в обобщенных моделях «интегрировать и сработать». Например, экспоненциальная модель «интегрировать и сработать» с шумным входом читает

${\displaystyle \tau _{m}{\frac {dV}{dt}}=E_{m}-V+\Delta _{T}\exp \left({\frac {V-V_{T}}{\Delta _{T}}}\right)+RI(t)+R\xi (t)}$

Для постоянного детерминированного входа можно рассчитать среднюю частоту срабатывания как функцию . ^[48] Это важно, поскольку зависимость частоты от тока (кривая fI) часто используется экспериментаторами для характеристики нейрона.${\displaystyle I(t)=I_{0}}$${\displaystyle I_{0}}$

Утечка «интегрировать и активировать» с шумным входом широко использовалась при анализе сетей импульсных нейронов. ^[49] Шумной вход также называется «диффузным шумом», поскольку он приводит к диффузии подпорогового мембранного потенциала вокруг траектории без шума (Йоханнесма, ^[50] Теория импульсных нейронов с шумным входом рассматривается в главе 8.2 учебника «Нейронная динамика» . ^[27]

В детерминированных моделях «интегрируй и активируй» всплеск генерируется, если мембранный потенциал V (t)достигает порога . В шумных выходных моделях строгий порог заменяется шумным следующим образом. В каждый момент времени t, спайк генерируется стохастически с мгновенной стохастической интенсивностью или «скоростью выхода» ^[27]${\displaystyle V_{th}}$

${\displaystyle \rho (t)=f(V(t)-V_{th})}$

которая зависит от мгновенной разницы между напряжением мембраны V (t)и порог . ^[46] Обычный выбор для «скорости побега» (которая согласуется с биологическими данными ^[22] ) —${\displaystyle V_{th}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(V-V_{th})={\frac {1}{\tau _{0}}}\exp[\beta (V-V_{th})]}$

где — постоянная времени, описывающая, как быстро срабатывает спайк, как только мембранный потенциал достигает порога, и параметр резкости. Поскольку порог становится острым, а спайковая активация происходит детерминированно в тот момент, когда мембранный потенциал достигает порога снизу. Значение резкости, найденное в экспериментах ^[22] , равно , что означает, что нейронная активация становится существенной, как только мембранный потенциал становится на несколько мВ ниже формального порога активации.${\displaystyle \tau _{0}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta \to \infty }$${\displaystyle 1/\beta \approx 4mV}$

Процесс выхода из состояния с помощью мягкого порога рассматривается в главе 9 учебника « Нейронная динамика». ^[27]

Для моделей в дискретном времени всплеск генерируется с вероятностью

${\displaystyle P_{F}(t_{n})=F[V(t_{n})-V_{th}]}$

который зависит от мгновенной разницы между напряжением мембраны Vв момент времени и порог . ^[55] Функция F часто принимается как стандартная сигмоидальная с параметром крутизны , ^[46] аналогично динамике обновления в искусственных нейронных сетях. Но функциональная форма F также может быть получена из стохастической интенсивности в непрерывном времени, введенной выше, как где - пороговое расстояние. ^[46]${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle V_{th}}$${\displaystyle F(x)=0.5[1+\tanh(\gamma x)]}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle f}$${\displaystyle F(y_{n})\approx 1-\exp[y_{n}\Delta t]}$${\displaystyle y_{n}=V(t_{n})-V_{th}}$

Модели «интегрируй и активируй» с выходным шумом можно использовать для прогнозирования гистограммы перистимульного времени (PSTH) реальных нейронов при произвольном, зависящем от времени входе. ^[22] Для неадаптивных нейронов «интегрируй и активируй» распределение интервалов при постоянной стимуляции можно рассчитать с помощью теории стационарного обновления . ^[27]

основная статья : Модель реакции на спайк

Модель реакции на спайк (SRM) представляет собой обобщенную линейную модель для подпорогового мембранного напряжения в сочетании с нелинейным процессом выходного шума для генерации спайка. ^{[46] [58] [56]} Напряжение на мембране V (t)в момент времени t есть

${\displaystyle V(t)=\sum _{f}\eta (t-t^{f})+\int \limits _{0}^{\infty }\kappa (s)I(t-s)\,ds+V_{\mathrm {rest} }}$

где t ^f — время срабатывания спайка номер f нейрона, V _rest — напряжение покоя при отсутствии входа, I(ts)— входной ток в момент времени ts и представляет собой линейный фильтр (также называемый ядром), который описывает вклад импульса входного тока в момент времени ts в напряжение в момент времени t. Вклады в напряжение, вызванные скачком в момент времени, описываются рефрактерным ядром . В частности, описывает сброс после скачка и временной ход потенциала после скачка, следующего за скачком. Таким образом, он выражает последствия рефрактерности и адаптации. ^{[46] [23]} Напряжение V(t) можно интерпретировать как результат интеграции дифференциального уравнения модели с утечкой, интегрированной и активированной, связанной с произвольным числом переменных адаптации, запускаемых скачком. ^[24]${\displaystyle \kappa (s)}$${\displaystyle t^{f}}$${\displaystyle \eta (t-t^{f})}$${\displaystyle \eta (t-t^{f})}$

Спайковая активация является стохастической и происходит со стохастической интенсивностью, зависящей от времени (мгновенная скорость).

${\displaystyle f(V-\vartheta (t))={\frac {1}{\tau _{0}}}\exp[\beta (V-\vartheta (t))]}$

с параметрами и и динамическим порогом, заданным как${\displaystyle \tau _{0}}$${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \vartheta (t)}$

${\displaystyle \vartheta (t)=\vartheta _{0}+\sum _{f}\theta _{1}(t-t^{f})}$

Здесь порог срабатывания неактивного нейрона и описывает увеличение порога после спайка в момент времени . ^{[22] [23]} В случае фиксированного порога задается . Для порогового процесса это детерминированный процесс. ^[27]${\displaystyle \vartheta _{0}}$${\displaystyle \theta _{1}(t-t^{f})}$${\displaystyle t^{f}}$${\displaystyle \theta _{1}(t-t^{f})=0}$${\displaystyle \beta \to \infty }$

Временной ход фильтров, характеризующих модель реакции на спайк, можно напрямую извлечь из экспериментальных данных. ^[23] С оптимизированными параметрами SRM описывает временной ход подпорогового мембранного напряжения для зависящего от времени входа с точностью 2 мВ и может предсказать время большинства выходных спайков с точностью 4 мс. ^{[22] [23]} SRM тесно связана с линейно-нелинейно-пуассоновскими каскадными моделями (также называемыми обобщенной линейной моделью). ^[54] Оценка параметров вероятностных нейронных моделей, таких как SRM, с использованием методов, разработанных для обобщенных линейных моделей ^[59], обсуждается в главе 10 учебника Neuronal Dynamics . ^[27]${\displaystyle \eta ,\kappa ,\theta _{1}}$

Название модели импульсного отклика возникло потому, что в сети входной ток для нейрона i генерируется импульсами других нейронов, так что в случае сети уравнение напряжения становится

${\displaystyle V_{i}(t)=\sum _{f}\eta _{i}(t-t_{i}^{f})+\sum _{j=1}^{N}w_{ij}\sum _{f'}\varepsilon _{ij}(t-t_{j}^{f'})+V_{\mathrm {rest} }}$

где - время срабатывания нейрона j (т. е. его последовательность спайков); описывает временной ход спайка и потенциал после спайка для нейрона i; и и описывает амплитуду и временной ход возбуждающего или тормозного постсинаптического потенциала (PSP), вызванного спайком пресинаптического нейрона j. Временной ход PSP является результатом свертки постсинаптического тока , вызванного прибытием пресинаптического спайка от нейрона j с мембранным фильтром . ^[27]${\displaystyle t_{j}^{f'}}$${\displaystyle \eta _{i}(t-t_{i}^{f})}$${\displaystyle w_{ij}}$${\displaystyle \varepsilon _{ij}(t-t_{j}^{f'})}$${\displaystyle t_{j}^{f'}}$${\displaystyle \varepsilon _{ij}(s)}$${\displaystyle I(t)}$${\displaystyle \kappa (s)}$

SRM 0 ^{[56] [60] [61] — это стохастическая нейронная модель} , связанная с зависящей от времени нелинейной теорией восстановления и упрощением модели реакции на спайк (SRM). Главное отличие от уравнения напряжения SRM, представленного выше, заключается в том, что в члене, содержащем рефрактерное ядро, нет знака суммирования по прошлым спайкам: имеет значение только самый последний спайк (обозначаемый как время ). Другое отличие заключается в том, что порог является постоянным. Модель SRM0 может быть сформулирована в дискретном или непрерывном времени. Например, в непрерывном времени уравнение одного нейрона имеет вид${\displaystyle \eta (s)}$${\displaystyle {\hat {t}}}$

${\displaystyle V(t)=\eta (t-{\hat {t}})+\int _{0}^{\infty }\kappa (s)I(t-s)\,ds+V_{\mathrm {rest} }}$

и уравнения сети SRM 0 ^[56 ]

${\displaystyle V_{i}(t\mid {\hat {t}}_{i})=\eta _{i}(t-{\hat {t}}_{i})+\sum _{j}w_{ij}\sum _{f}\varepsilon _{ij}(t-{\hat {t}}_{i},t-t^{f})+V_{\mathrm {rest} }}$

где - время последнего срабатывания нейрона i. Обратите внимание, что временной ход постсинаптического потенциала также может зависеть от времени с момента последнего спайка нейрона i, чтобы описать изменение проводимости мембраны во время рефрактерности. ^[60] Мгновенная скорость срабатывания (стохастическая интенсивность) равна${\displaystyle {\hat {t}}_{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$

${\displaystyle f(V-\vartheta )={\frac {1}{\tau _{0}}}\exp[\beta (V-V_{th})]}$

где - фиксированный порог срабатывания. Таким образом, срабатывание нейрона i зависит только от его входа и времени, прошедшего с момента последнего срабатывания нейрона i.${\displaystyle V_{th}}$

С помощью SRM 0 распределение интервалов между импульсами для постоянного входного сигнала может быть математически связано с формой рефрактерного ядра . ^{[46] [56]} Более того, стационарное отношение частоты к току может быть рассчитано из скорости выхода в сочетании с рефрактерным ядром . ^{[46] [56]} При соответствующем выборе ядер SRM 0 приближает динамику модели Ходжкина-Хаксли с высокой степенью точности. ^[60] Более того, можно предсказать реакцию PSTH на произвольный зависящий от времени входной сигнал. ^[56]${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta }$

Модель Гальвеса –Лёхербаха ^[62] является стохастической нейронной моделью, тесно связанной с моделью реакции спайка SRM 0 ^{[61] [56]} и моделью интеграции и срабатывания с утечкой. Она по своей сути стохастическая и, как и SRM 0 , связана с зависящей от времени нелинейной теорией восстановления . Учитывая спецификации модели, вероятность того, что данный нейрон срабатывает спайк в периоде, может быть описана как${\displaystyle i}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Prob} } (X_{t}(i)=1\mid {\mathcal {F}}_{t-1})=\varphi _{i}{\Biggl (}\sum _{j\in I}W_{j\rightarrow i}\sum _{s=L_{t}^{i}}^{t-1}g_{j}(t-s)X_{s}(j),~~~t-L_{t}^{i}{\Biggl )},}$

где - синаптический вес , описывающий влияние нейрона на нейрон , выражает утечку и обеспечивает историю спайков нейрона до этого , согласно${\displaystyle W_{j\rightarrow i}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle g_{j}}$${\displaystyle L_{t}^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle L_{t}^{i}=\sup\{s<t:X_{s}(i)=1\}.}$

Важно отметить, что вероятность скачка нейрона зависит только от его входного скачка (отфильтрованного с помощью ядра и взвешенного с помощью коэффициента ) и времени его последнего выходного скачка (обобщенного с помощью ).${\displaystyle i}$${\displaystyle g_{j}}$${\displaystyle W_{j\to i}}$${\displaystyle t-L_{t}^{i}}$

Модели в этой категории являются сильно упрощенными игрушечными моделями, которые качественно описывают мембранное напряжение как функцию входа. Они в основном используются в дидактических целях при обучении, но не считаются действительными моделями нейронов для крупномасштабных симуляций или подгонки данных.

Радикальные упрощения уравнения Ходжкина-Хаксли были введены Фицхью и Нагумо в 1961 и 1962 годах. Стремясь описать «регенеративное самовозбуждение» с помощью нелинейного мембранного напряжения с положительной обратной связью и восстановление с помощью линейного затворного напряжения с отрицательной обратной связью, они разработали модель, описанную ^[63]

${\displaystyle {\begin{aligned}{rcl}{\dfrac {dV}{dt}}&=V-V^{3}/3-w+I_{\mathrm {ext} }\\\tau {\dfrac {dw}{dt}}&=V-a-bw\end{aligned}}}$

где мы снова имеем мембраноподобное напряжение и входной ток с более медленным общим напряжением затвора w и экспериментально определенными параметрами a = -0,7, b = 0,8, τ = 1/0,08 . Хотя модель не выводится из биологии, она допускает упрощенную, немедленно доступную динамику, не будучи тривиальным упрощением. ^[64] Экспериментальная поддержка слаба, но модель полезна как дидактический инструмент для введения динамики генерации спайков посредством анализа фазовой плоскости . См. Главу 7 в учебнике Методы нейронного моделирования . ^[65]

В 1981 году Моррис и Лекар объединили модели Ходжкина-Хаксли и Фицхью-Нагумо в модель потенциалзависимого кальциевого канала с калиевым каналом с задержкой выпрямления, представленным

${\displaystyle {\begin{aligned}C{\frac {dV}{dt}}&=-I_{\mathrm {ion} }(V,w)+I\\{\frac {dw}{dt}}&=\varphi \cdot {\frac {w_{\infty }-w}{\tau _{w}}}\end{aligned}}}$

где . ^[17] Экспериментальная поддержка модели слаба, но модель полезна как дидактический инструмент для введения динамики генерации спайков через фазовый анализ плоскости. См. Главу 7 ^[66] в учебнике Методы нейронного моделирования . ^[65]${\displaystyle I_{\mathrm {ion} }(V,w)={\bar {g}}_{\mathrm {Ca} }m_{\infty }\cdot (V-V_{\mathrm {Ca} })+{\bar {g}}_{\mathrm {K} }w\cdot (V-V_{\mathrm {K} })+{\bar {g}}_{\mathrm {L} }\cdot (V-V_{\mathrm {L} })}$

Двумерная модель нейрона, очень похожая на модель Морриса-Лекара, может быть выведена шаг за шагом, начиная с модели Ходжкина-Хаксли. См. главу 4.2 в учебнике Neuronal Dynamics. ^[27]

Основываясь на модели Фицхью–Нагумо, Хиндмарш и Роуз предложили в 1984 году ^[67] модель нейронной активности, описываемую тремя связанными дифференциальными уравнениями первого порядка:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y+3x^{2}-x^{3}-z+I\\{\frac {dy}{dt}}&=1-5x^{2}-y\\{\frac {dz}{dt}}&=r\cdot (4(x+{\tfrac {8}{5}})-z)\end{aligned}}}$

с r ² = x ² + y ² + z ² , и r ≈ 10 ⁻² , так что переменная z изменяется очень медленно. Эта дополнительная математическая сложность допускает большое разнообразие динамического поведения для мембранного потенциала, описываемого переменной x модели, которая включает хаотическую динамику. Это делает модель нейрона Хиндмарша–Роуза очень полезной, поскольку она по-прежнему проста, позволяет качественно описывать множество различных моделей активации потенциала действия, в частности, взрывного характера, наблюдаемого в экспериментах. Тем не менее, она остается игрушечной моделью и не была подогнана под экспериментальные данные. Она широко используется в качестве эталонной модели для динамики взрывного характера. ^[67]

Модель тета , или каноническая модель Эрментраута-Копеля типа I, математически эквивалентна квадратичной модели интеграции и срабатывания, которая в свою очередь является приближением к экспоненциальной модели интеграции и срабатывания и модели Ходжкина-Хаксли. Она называется канонической моделью, поскольку является одной из общих моделей для постоянного ввода вблизи точки бифуркации, что означает близость к переходу от молчаливого к повторяющемуся срабатыванию. ^{[68] [69]}

Стандартная формулировка тета-модели: ^{[27] [68] [69]}

${\displaystyle {\frac {d\theta (t)}{dt}}=(I-I_{0})[1+\cos(\theta )]+[1-\cos(\theta )]}$

Уравнение для квадратичной модели «интегрировать и сработать» имеет вид (см. главу 5.3 в учебнике «Нейронная динамика» ^[27] ):

${\displaystyle \tau _{\mathrm {m} }{\frac {dV_{\mathrm {m} }(t)}{dt}}=(I-I_{0})R+[V_{\mathrm {m} }(t)-E_{\mathrm {m} }][V_{\mathrm {m} }(t)-V_{\mathrm {T} }]}$

Эквивалентность модели тета и квадратичного интегрирования и активации рассматривается, например, в главе 4.1.2.2 моделей импульсных нейронов. ^[1]

Для входных данных , которые со временем меняются или находятся далеко от точки бифуркации, предпочтительнее работать с экспоненциальной моделью интеграции и срабатывания (если вы хотите оставаться в классе одномерных моделей нейронов), поскольку реальные нейроны демонстрируют нелинейность экспоненциальной модели интеграции и срабатывания. ^[31]${\displaystyle I(t)}$

Модели в этой категории были получены в результате экспериментов, включающих естественную стимуляцию, такую ​​как свет, звук, прикосновение или запах. В этих экспериментах паттерн спайков, возникающий в результате каждого предъявления стимула, варьируется от испытания к испытанию, но усредненный ответ от нескольких испытаний часто сходится к четкому паттерну. Следовательно, модели в этой категории генерируют вероятностную связь между входным стимулом и возникновением спайков. Важно, что зарегистрированные нейроны часто располагаются на несколько этапов обработки после сенсорных нейронов, так что эти модели суммируют эффекты последовательности этапов обработки в компактной форме

Зиберт ^{[70] [71]} смоделировал паттерн нейронной импульсации, используя модель неоднородного процесса Пуассона , следуя экспериментам с участием слуховой системы. ^{[70] [71]} По мнению Зиберта, вероятность импульсного события в интервале времени пропорциональна неотрицательной функции , где — исходный стимул.:${\displaystyle [t,t+\Delta _{t}]}$${\displaystyle g[s(t)]}$${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle P_{\text{spike}}(t\in [t',t'+\Delta _{t}])=\Delta _{t}\cdot g[s(t)]}$

Зиберт рассматривал несколько функций , в том числе для низких интенсивностей стимула.${\displaystyle g[s(t)]}$${\displaystyle g[s(t)]\propto s^{2}(t)}$

Главное преимущество модели Зиберта — ее простота. Недостатком модели является ее неспособность адекватно отражать следующие явления:

• Кратковременное усиление активности нейронов в ответ на ступенчатый стимул.
• Насыщение темпа стрельбы.
• Значения межспайкового интервала - гистограмма при значениях коротких интервалов (близких к нулю).

Эти недостатки устраняются с помощью модели точечного процесса, зависящего от возраста, и двухуровневой модели Маркова. ^{[72] [73] [74]}

Берри и Мейстер ^[75] изучали нейронную рефрактерность, используя стохастическую модель, которая предсказывает спайки как произведение двух членов: функции f(s(t)), которая зависит от зависящего от времени стимула s(t), и функции восстановления, которая зависит от времени, прошедшего с момента последнего спайка.${\displaystyle w(t-{\hat {t}})}$

${\displaystyle \rho (t)=f(s(t))w(t-{\hat {t}})}$

Модель также называется неоднородным интервальным процессом Маркова (IMI) . ^[76] Подобные модели использовались в течение многих лет в слуховой нейронауке. ^{[77] [78] [79]} Поскольку модель сохраняет память о времени последнего спайка, она не является пуассоновской и относится к классу моделей восстановления, зависящих от времени. ^[27] Она тесно связана с моделью SRM0 с экспоненциальной скоростью ухода. ^[27] Важно, что можно подогнать параметры модели точечного процесса, зависящего от возраста, таким образом, чтобы описать не только реакцию PSTH, но и статистику интервалов между спайками. ^{[76] [77] [79]}

Линейно -нелинейно-пуассоновская каскадная модель представляет собой каскад линейного процесса фильтрации, за которым следует нелинейный этап генерации спайков. ^[80] В случае, когда выходные спайки возвращаются обратно через линейный процесс фильтрации, мы приходим к модели, известной в нейронауках как обобщенная линейная модель (GLM). ^{[54] [59]} GLM математически эквивалентна модели реакции спайков (SRM) с шумом выхода; но тогда как в SRM внутренние переменные интерпретируются как мембранный потенциал и порог срабатывания, в GLM внутренние переменные являются абстрактными величинами, которые суммируют чистый эффект ввода (и недавних выходных спайков) до того, как спайки будут сгенерированы на последнем этапе. ^{[27] [54]}

Модель нейрона спайка Носсенсона и Мессера ^{[72] [73] [74]} выдает вероятность того, что нейрон выдаст спайк, как функцию внешнего или фармакологического стимула. ^{[72] [73] [74]} Модель состоит из каскада модели рецепторного слоя и модели нейрона спайка, как показано на рис. 4. Связь между внешним стимулом и вероятностью спайка устанавливается в два этапа: сначала модель рецепторной клетки преобразует необработанный внешний стимул в концентрацию нейротрансмиттера, а затем модель нейрона спайка связывает концентрацию нейротрансмиттера со скоростью срабатывания (вероятность спайка). Таким образом, модель нейрона спайка сама по себе зависит от концентрации нейротрансмиттера на входном этапе. ^{[72] [73] [74]}

Важной особенностью этой модели является прогнозирование паттерна частоты срабатывания нейронов, который фиксирует, используя небольшое количество свободных параметров, характерный подчеркнутый краем ответ нейронов на стимулирующий импульс, как показано на рис. 5. Частота срабатывания определяется как нормализованная вероятность для срабатывания нейронного спайка и как величина, пропорциональная току нейротрансмиттеров, выделяемых клеткой. Выражение для частоты срабатывания принимает следующий вид:

${\displaystyle R_{\text{fire}}(t)={\frac {P_{\text{spike}}(t;\Delta _{t})}{\Delta _{t}}}=[y(t)+R_{0}]\cdot P_{0}(t)}$

где,

• P0 — вероятность того, что нейрон «вооружен» и готов к выстрелу. Она определяется следующим дифференциальным уравнением:

${\displaystyle {\dot {P}}_{0}=-[y(t)+R_{0}+R_{1}]\cdot P_{0}(t)+R_{1}}$

P0 обычно можно вычислить рекурсивно с использованием метода Эйлера, но в случае импульса стимула это дает простое выражение в замкнутой форме. ^{[72] [81]}

• y ( t ) является входом модели и интерпретируется как концентрация нейротрансмиттера в окружающей клетке (в большинстве случаев глутамата). Для внешнего стимула ее можно оценить с помощью модели рецепторного слоя:

${\displaystyle y(t)\simeq g_{\text{gain}}\cdot \langle s^{2}(t)\rangle ,}$

где представляет собой кратковременное среднее значение мощности стимула (выраженное в ваттах или другой энергии за единицу времени).${\displaystyle \langle s^{2}(t)\rangle }$

• R ₀ соответствует собственной частоте спонтанной активации нейрона.
• R ₁ — скорость восстановления нейрона из рефрактерного состояния.

Другие прогнозы этой модели включают:

1) Усредненный вызванный ответный потенциал (ERP), обусловленный популяцией множества нейронов в нефильтрованных измерениях, напоминает частоту срабатывания. ^[74]

2) Изменение напряжения активности, вызванное множественной нейронной активностью, напоминает частоту импульсации (также известную как мощность многоэлементной активности или MUA). ^{[73] [74]}

3) Распределение вероятностей между интервалами импульсов принимает форму функции, подобной гамма-распределению. ^{[72] [81]}

Модели этой категории позволяют делать прогнозы для экспериментов с фармакологической стимуляцией.

Согласно модели Коха и Сегева ^[17], реакция нейрона на отдельные нейротрансмиттеры может быть смоделирована как расширение классической модели Ходжкина-Хаксли как со стандартными, так и нестандартными кинетическими токами. Четыре нейротрансмиттера в первую очередь влияют на ЦНС. Рецепторы AMPA/каинат являются быстрыми возбуждающими медиаторами, в то время как рецепторы NMDA опосредуют значительно более медленные токи. Быстрые тормозные токи проходят через рецепторы GABA _A , в то время как рецепторы GABA _B опосредуются вторичными калиевыми каналами, активируемыми G -белком. Этот диапазон опосредования создает следующую динамику тока:

• ${\displaystyle I_{\mathrm {AMPA} }(t,V)={\bar {g}}_{\mathrm {AMPA} }\cdot [O]\cdot (V(t)-E_{\mathrm {AMPA} })}$
• ${\displaystyle I_{\mathrm {NMDA} }(t,V)={\bar {g}}_{\mathrm {NMDA} }\cdot B(V)\cdot [O]\cdot (V(t)-E_{\mathrm {NMDA} })}$
• ${\displaystyle I_{\mathrm {GABA_{A}} }(t,V)={\bar {g}}_{\mathrm {GABA_{A}} }\cdot ([O_{1}]+[O_{2}])\cdot (V(t)-E_{\mathrm {Cl} })}$
• ${\displaystyle I_{\mathrm {GABA_{B}} }(t,V)={\bar {g}}_{\mathrm {GABA_{B}} }\cdot {\tfrac {[G]^{n}}{[G]^{n}+K_{\mathrm {d} }}}\cdot (V(t)-E_{\mathrm {K} })}$

где ḡ — максимальная ^{[8] [17]} проводимость (около 1 S ), а E — равновесный потенциал данного иона или трансмиттера (AMDA, NMDA, Cl или K ), тогда как [ O ] описывает долю открытых рецепторов. Для NMDA существует значительный эффект магниевого блока , который зависит сигмоидально от концентрации внутриклеточного магния по B ( V ) . Для GABA B _[ G ] — концентрация G -белка, а K _d описывает диссоциацию G при связывании с калиевыми воротами.

Динамика этой более сложной модели хорошо изучена экспериментально и дает важные результаты с точки зрения очень быстрой синаптической потенциации и депрессии , то есть быстрого краткосрочного обучения.

Стохастическая модель Носсенсона и Мессера переводит концентрацию нейротрансмиттера на входном этапе в вероятность высвобождения нейротрансмиттера на выходном этапе. ^{[72] [73] [74]} Более подробное описание этой модели см. выше в разделе «Двухуровневая марковская модель».

Модель нейрона HTM была разработана Джеффом Хокинсом и исследователями из Numenta и основана на теории под названием «Иерархическая временная память» , первоначально описанной в книге «Об интеллекте» . Она основана на нейронауке , физиологии и взаимодействии пирамидальных нейронов в неокортексе человеческого мозга.

Модели нейронных спайков используются в различных приложениях, где требуется кодирование или декодирование последовательностей нейронных спайков в контексте нейропротезов и интерфейсов мозг-компьютер, таких как протез сетчатки : ^{[12] [99] [100] [101]} или управление искусственными конечностями и ощущениями. ^{[102] [103] [104]} Приложения не являются частью этой статьи; для получения дополнительной информации по этой теме обратитесь к основной статье.

Самая базовая модель нейрона состоит из входа с некоторым вектором синаптического веса и функцией активации или передаточной функцией внутри нейрона, определяющей выход. Это базовая структура, используемая для искусственных нейронов, которая в нейронной сети часто выглядит как

${\displaystyle y_{i}=\varphi \left(\sum _{j}w_{ij}x_{j}\right)}$

где y _i — выход i- го нейрона, x _j — входной сигнал j- го нейрона, w _ij — синаптический вес (или сила связи) между нейронами i и j , а φ — функция активации . Хотя эта модель показала себя успешной в приложениях машинного обучения, она является плохой моделью для реальных (биологических) нейронов, поскольку в ней отсутствует зависимость от времени на входе и выходе.

Когда вход включается в момент времени t и затем поддерживается постоянным, биологические нейроны испускают серию спайков. Важно отметить, что эта серия спайков не является регулярной, а демонстрирует временную структуру, характеризующуюся адаптацией, всплеском или начальным всплеском, за которым следует регулярный спайк. Обобщенные модели интеграции и активации, такие как адаптивная экспоненциальная модель интеграции и активации, модель реакции на спайк или (линейная) адаптивная модель интеграции и активации, могут улавливать эти паттерны нейронной активации. ^{[24] [25] [26]}

Более того, нейронный вход в мозг зависит от времени. Зависящий от времени вход преобразуется сложными линейными и нелинейными фильтрами в серию спайков на выходе. Опять же, модель реакции на спайки или адаптивная модель интеграции и активации позволяет предсказывать серию спайков на выходе для произвольного зависящего от времени входа, ^{[22] [23],} тогда как искусственный нейрон или простая утечка интеграции и активации не позволяют.

Если взять модель Ходжкина-Хаксли в качестве отправной точки, то обобщенные модели «интегрировать и запустить» могут быть выведены систематически в пошаговой процедуре упрощения. Это было явно показано для экспоненциальной модели «интегрировать и запустить» ^[33] и модели спайкового ответа . ^[60]

В случае моделирования биологического нейрона вместо абстракций, таких как «вес» и «передаточная функция», используются физические аналоги. Нейрон заполнен и окружен ионами, содержащими воду, которые несут электрический заряд. Нейрон связан изолирующей клеточной мембраной и может поддерживать концентрацию заряженных ионов с обеих сторон, которая определяет емкость C _m . Возбуждение нейрона включает перемещение ионов в клетку, что происходит, когда нейротрансмиттеры заставляют ионные каналы на клеточной мембране открываться. Мы описываем это физическим током, зависящим от времени I ( t ) . С этим происходит изменение напряжения или разности электрической потенциальной энергии между клеткой и ее окружением, что, как иногда наблюдается, приводит к скачку напряжения, называемому потенциалом действия , который проходит по всей длине клетки и вызывает высвобождение дополнительных нейротрансмиттеров. Напряжение, таким образом, является величиной, представляющей интерес, и задается как V _m ( t ) . ^[19]

Если входной ток постоянен, большинство нейронов испускают после некоторого времени адаптации или первоначального залпа регулярную серию спайков. Частота регулярной активации в ответ на постоянный ток I описывается соотношением частота-ток, которое соответствует передаточной функции искусственных нейронных сетей. Аналогично, для всех моделей спайковых нейронов передаточная функция может быть рассчитана численно (или аналитически).${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

Все вышеперечисленные детерминированные модели являются моделями точечных нейронов, поскольку они не учитывают пространственную структуру нейрона. Однако дендрит вносит вклад в преобразование входа в выход. ^{[105] [65]} Модели точечных нейронов являются допустимым описанием в трех случаях. (i) Если входной ток напрямую вводится в сому. (ii) Если синаптический вход поступает преимущественно в сому или близко к ней (близость определяется шкалой длины, введенной ниже. (iii) Если синапс поступает в любое место дендрита, но дендрит полностью линейный. В последнем случае кабель действует как линейный фильтр; эти свойства линейного фильтра могут быть включены в формулировку обобщенных моделей интеграции и активации, таких как модель реакции спайка .${\displaystyle \lambda }$

Свойства фильтра можно рассчитать с помощью уравнения кабеля .

Рассмотрим клеточную мембрану в виде цилиндрического кабеля. Положение на кабеле обозначается как x, а напряжение на клеточной мембране как V. Кабель характеризуется продольным сопротивлением на единицу длины и мембранным сопротивлением . Если все линейно, то напряжение изменяется как функция времени${\displaystyle r_{l}}$${\displaystyle r_{m}}$

${\displaystyle {\frac {r_{m}}{r_{l}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=c_{m}r_{m}{\frac {\partial V}{\partial t}}+V}$

19

Вводим масштаб длины на левой стороне и постоянную времени на правой стороне. Теперь уравнение кабеля можно записать в его, возможно, наиболее известной форме:${\displaystyle \lambda ^{2}={r_{m}}/{r_{l}}}$${\displaystyle \tau =c_{m}r_{m}}$

${\displaystyle \lambda ^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=\tau {\frac {\partial V}{\partial t}}+V}$

20

Приведенное выше уравнение кабеля справедливо для одного цилиндрического кабеля.

Теория линейного кабеля описывает дендритное дерево нейрона как цилиндрическую структуру, подвергающуюся регулярному паттерну бифуркации , подобно ветвям дерева. Для одного цилиндра или целого дерева статическая входная проводимость у основания (где дерево встречается с телом клетки или любой такой границей) определяется как

${\displaystyle G_{in}={\frac {G_{\infty }\tanh(L)+G_{L}}{1+(G_{L}/G_{\infty })\tanh(L)}}}$,

где L — электротоническая длина цилиндра, которая зависит от его длины, диаметра и сопротивления. Простой рекурсивный алгоритм масштабируется линейно с числом ветвей и может быть использован для расчета эффективной проводимости дерева. Это определяется как

${\displaystyle \,\!G_{D}=G_{m}A_{D}\tanh(L_{D})/L_{D}}$

где A _D = πld — общая площадь поверхности дерева общей длины l , а L _D — его общая электротоническая длина. Для целого нейрона, в котором проводимость тела клетки равна G _S , а проводимость мембраны на единицу площади равна G _md = G _m / A , мы находим общую проводимость нейрона G _N для n деревьев дендритов, суммируя все проводимости дерева и сомы, определяемые как

${\displaystyle G_{N}=G_{S}+\sum _{j=1}^{n}A_{D_{j}}F_{dga_{j}},}$

где мы можем найти общий поправочный коэффициент F _dga экспериментально, заметив G _D = G _md A _D F _dga .

Линейная кабельная модель делает несколько упрощений, чтобы дать замкнутые аналитические результаты, а именно, что дендритная древовидная структура должна разветвляться в уменьшающихся парах в фиксированном шаблоне и что дендриты являются линейными. Компартментальная модель ^[65] допускает любую желаемую топологию дерева с произвольными ветвями и длинами, а также произвольными нелинейностями. По сути, это дискретизированная вычислительная реализация нелинейных дендритов.

Каждая часть или отсек дендрита моделируется прямым цилиндром произвольной длины l и диаметра d , который соединяется с фиксированным сопротивлением с любым количеством разветвляющихся цилиндров. Мы определяем отношение проводимости i- го цилиндра как B _i = G _i / G _∞ , где и R _i — сопротивление между текущим отсеком и следующим. Мы получаем ряд уравнений для отношений проводимости в отсеке и из него, внося поправки в нормальную динамику B _{out, i} = B _{in, i+1} , как${\displaystyle G_{\infty }={\tfrac {\pi d^{3/2}}{2{\sqrt {R_{i}R_{m}}}}}}$

• ${\displaystyle B_{\mathrm {out} ,i}={\frac {B_{\mathrm {in} ,i+1}(d_{i+1}/d_{i})^{3/2}}{\sqrt {R_{\mathrm {m} ,i+1}/R_{\mathrm {m} ,i}}}}}$
• ${\displaystyle B_{\mathrm {in} ,i}={\frac {B_{\mathrm {out} ,i}+\tanh X_{i}}{1+B_{\mathrm {out} ,i}\tanh X_{i}}}}$
• ${\displaystyle B_{\mathrm {out,par} }={\frac {B_{\mathrm {in,dau1} }(d_{\mathrm {dau1} }/d_{\mathrm {par} })^{3/2}}{\sqrt {R_{\mathrm {m,dau1} }/R_{\mathrm {m,par} }}}}+{\frac {B_{\mathrm {in,dau2} }(d_{\mathrm {dau2} }/d_{\mathrm {par} })^{3/2}}{\sqrt {R_{\mathrm {m,dau2} }/R_{\mathrm {m,par} }}}}+\ldots }$

где последнее уравнение имеет дело с родителями и дочерними клетками в ветвях, и . Мы можем итерировать эти уравнения по дереву, пока не получим точку, где дендриты соединяются с телом клетки (сомой), где отношение проводимости равно B _in,stem . Тогда наша общая проводимость нейрона для статического входа определяется как${\displaystyle X_{i}={\tfrac {l_{i}{\sqrt {4R_{i}}}}{\sqrt {d_{i}R_{m}}}}}$

${\displaystyle G_{N}={\frac {A_{\mathrm {soma} }}{R_{\mathrm {m,soma} }}}+\sum _{j}B_{\mathrm {in,stem} ,j}G_{\infty ,j}.}$

Важно, что статический вход — это очень особый случай. В биологии входы зависят от времени. Более того, дендриты не всегда линейны.

Компартментальные модели позволяют включать нелинейности через ионные каналы, расположенные в произвольных местах вдоль дендритов. ^{[105] [106]} Для статических входов иногда можно уменьшить количество компартментов (увеличить скорость вычислений) и при этом сохранить основные электрические характеристики. ^[107]

Схема обнаружения энергии на основе нейротрансмиттеров ^{[74] [81]} предполагает, что нервная ткань химически выполняет процедуру обнаружения, подобную радару.

Как показано на рис. 6, ключевая идея гипотезы заключается в том, чтобы учитывать концентрацию нейротрансмиттера, генерацию нейротрансмиттера и скорости удаления нейротрансмиттера как важные величины при выполнении задачи обнаружения, при этом ссылаясь на измеренные электрические потенциалы как на побочный эффект, который только в определенных условиях совпадает с функциональным назначением каждого шага. Схема обнаружения похожа на радарное «обнаружение энергии», поскольку включает в себя возведение сигнала в квадрат, временное суммирование и механизм порогового переключения, как и детектор энергии, но также включает в себя блок, который подчеркивает края стимула и переменную длину памяти (переменную память). Согласно этой гипотезе, физиологическим эквивалентом статистики энергетического теста является концентрация нейротрансмиттера, а скорость срабатывания соответствует току нейротрансмиттера. Преимущество этой интерпретации в том, что она приводит к объяснению, согласованному с единицей, которое позволяет навести мосты между электрофизиологическими измерениями, биохимическими измерениями и психофизическими результатами.

Доказательства, рассмотренные в ^{[74] [81],} предполагают следующую связь между функциональностью и гистологической классификацией:

1. Квадратурирование стимула, скорее всего, осуществляется рецепторными клетками.
2. Выделение границ стимула и передача сигнала осуществляются нейронами.
3. Временное накопление нейротрансмиттеров осуществляется глиальными клетками. Кратковременное накопление нейротрансмиттеров, вероятно, происходит также в некоторых типах нейронов.
4. Логическое переключение осуществляется глиальными клетками и происходит в результате превышения порогового уровня концентрации нейротрансмиттера. Преодоление этого порога также сопровождается изменением скорости утечки нейротрансмиттера.
5. Физическое переключение по принципу «все или ничего» происходит благодаря мышечным клеткам и является результатом превышения определенного порога концентрации нейромедиатора в мышечной среде.

Обратите внимание, что хотя электрофизиологические сигналы на рис.6 часто похожи на функциональный сигнал (мощность сигнала/концентрация нейротрансмиттера/мышечная сила), есть некоторые этапы, на которых электрическое наблюдение отличается от функциональной цели соответствующего шага. В частности, Носсенсон и др. предположили, что пересечение порога глии имеет совершенно иную функциональную операцию по сравнению с излучаемым электрофизиологическим сигналом и что последний может быть лишь побочным эффектом разрыва глии.

• Модели выше все еще являются идеализациями. Необходимо внести поправки на увеличенную площадь поверхности мембраны, обусловленную многочисленными дендритными шипами, температуры, значительно более высокие, чем экспериментальные данные при комнатной температуре, и неоднородность внутренней структуры клетки. ^[17] Некоторые наблюдаемые эффекты не вписываются в некоторые из этих моделей. Например, температурный цикл (с минимальным чистым повышением температуры) клеточной мембраны во время распространения потенциала действия несовместим с моделями, которые полагаются на моделирование мембраны как сопротивления, которое должно рассеивать энергию, когда через нее протекает ток. Кратковременное утолщение клеточной мембраны во время распространения потенциала действия также не предсказывается этими моделями, равно как и изменение емкости и скачок напряжения, возникающие в результате этого утолщения, не включены в эти модели. Действие некоторых анестетиков, таких как инертные газы, также проблематично для этих моделей. Новые модели, такие как солитонная модель, пытаются объяснить эти явления, но они менее развиты, чем старые модели, и еще не получили широкого применения.
• Современные взгляды на роль научной модели предполагают, что «Все модели неверны, но некоторые полезны» (Бокс и Дрейпер, 1987, Гриббин, 2009; Панински и др., 2009).
• Недавняя гипотеза предполагает, что каждый нейрон может функционировать как совокупность независимых пороговых единиц. Предполагается, что нейрон может быть анизотропно активирован после происхождения его прибывающих сигналов к мембране через его дендритные деревья. Также предполагалось, что форма волны спайка зависит от происхождения стимула. ^[108]

• Нейронная динамика: от отдельных нейронов к сетям и моделям познания (В. Герстнер, В. Кистлер, Р. Нод, Л. Панински, Cambridge University Press, 2014) . ^[27] В частности, главы 6–10, html онлайн-версия.
• Модели импульсных нейронов ^[1] (В. Герстнер и В. Кистлер, Cambridge University Press, 2002)

• Связывающий нейрон
• Байесовский подход к функционированию мозга
• Интерфейсы мозг-компьютер
• Принцип свободной энергии
• Модели нейронных вычислений
• Нейронное кодирование
• Нейронные колебания
• Количественные модели потенциала действия
• Шипящая нейронная сеть