Инъективная функция

Функция, сохраняющая индивидуальность

В математике инъективная функция ( также известная как инъекция или функция один к одному ^[1] ) — это функция $f$ , которая отображает различные элементы своей области определения в различные элементы; то есть, $x 1 \neq x 2$ влечет $f (x 1) \neq f (x 2)$ . (Эквивалентно, $f (x 1) = f (x 2)$ влечет $x 1 = x 2$ в эквивалентном контрапозитивном утверждении.) Другими словами, каждый элемент области определения функции является образом не более чем одного элемента ее области определения . ^[2] Термин функция один к одному не следует путать с соответствием один к одному , которое относится к биективным функциям , которые являются функциями, такими что каждый элемент в области определения является образом ровно одного элемента в области определения.

Гомоморфизм между алгебраическими структурами — это функция, совместимая с операциями структур. Для всех общих алгебраических структур, и, в частности, для векторных пространств , инъективный гомоморфизм также называется мономорфизмом . Однако в более общем контексте теории категорий определение мономорфизма отличается от определения инъективного гомоморфизма. ^[3] Таким образом, это теорема о том, что они эквивалентны для алгебраических структур; см. Гомоморфизм § Мономорфизм для более подробной информации.

Функция , которая не является инъективной, иногда называется функцией «многие к одному». ^[2] $f$

Определение

Инъективная функция, которая не является также сюръективной .

Пусть — функция, областью определения которой является множество. Функция называется инъективной , если для всех и в если то ; то есть подразумевает Эквивалентно, если то в контрапозитивном утверждении. $f$ $X.$ $f$ $a$ $b$ $X,$ $f(a)=f(b),$ $a=b$ $f(a)=f(b)$ $a=b.$ $a\neq b,$ $f(a)\neq f(b)$

Символически, что логически эквивалентно контрапозиции , ^[4] $\forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b,$ $\forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b).$

Примеры

Для просмотра наглядных примеров читатели могут обратиться к разделу галереи.

Для любого множества и любого подмножества отображение включения (которое отправляет любой элемент в себя) является инъективным. В частности, функция тождества всегда инъективна (и фактически биективна). $X$ $S\subseteq X,$ $S\to X$ $s\in S$ $X\to X$
Если областью определения функции является пустое множество , то функция является пустой функцией , которая является инъективной.
Если область определения функции имеет один элемент (то есть является одноэлементным множеством ), то функция всегда инъективна.
Функция , определяемая как инъективная. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f(x)=2x+1$
Функция, определенная с помощью , не является инъективной, поскольку (например) Однако, если она переопределена так, что ее областью определения являются неотрицательные действительные числа [0,+∞), то она инъективна. $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $g(x)=x^{2}$ $g(1)=1=g(-1).$ $g$ $g$
Экспоненциальная функция, определяемая формулой, является инъективной (но не сюръективной, поскольку никакое действительное значение не отображается в отрицательное число). $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\exp(x)=e^{x}$
Функция натурального логарифма, определяемая как, является инъективной. $\ln :(0,\infty )\to \mathbb {R}$ $x\mapsto \ln x$
Функция, определяемая с помощью , не является инъективной, поскольку, например, $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $g(x)=x^{n}-x$ $g(0)=g(1)=0.$

В более общем случае, когда и являются действительной прямой , то инъективная функция — это функция, график которой никогда не пересекается ни с одной горизонтальной прямой более одного раза. Этот принцип называется тестом горизонтальной прямой . ^[2] $X$ $Y$ $\mathbb {R} ,$ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

Инъекции можно отменить

Функции с левыми обратными всегда являются инъекциями. То есть, если задана функция такая , что для каждого , , то является инъекцией. В этом случае называется ретракцией Обратно , называется сечением $f:X\to Y,$ $g:Y\to X$ $x\in X$ $g(f(x))=x$ $f$ $g$ $f.$ $f$ $g.$

Наоборот, каждая инъекция с непустым доменом имеет левый обратный . Его можно определить, выбрав элемент в домене и установив его на уникальный элемент прообраза (если он непустой) или на (в противном случае). ^[5] $f$ $g$ $a$ $f$ $g(y)$ $f^{-1}[y]$ $a$

Левая обратная функция не обязательно является обратной функцией , поскольку композиция в другом порядке может отличаться от тождественной функции . Другими словами, инъективная функция может быть «обратена» левой обратной функцией, но не обязательно является обратимой , что требует, чтобы функция была биективной. $g$ $f,$ $f\circ g,$ $Y.$

Инъекции можно сделать обратимыми

Фактически, чтобы превратить инъективную функцию в биективную (следовательно, обратимую) функцию, достаточно заменить ее область значений ее фактическим образом То есть, пусть такой, что для всех ; тогда является биективным. Действительно, может быть разложен на множители как где есть функция включения из в $f:X\to Y$ $Y$ $J=f(X).$ $g:X\to J$ $g(x)=f(x)$ $x\in X$ $g$ $f$ $\operatorname {In} _{J,Y}\circ g,$ $\operatorname {In} _{J,Y}$ $J$ $Y.$

В более общем смысле инъективные частичные функции называются частичными биекциями .

Другие свойства

Если и оба инъективны, то инъективно. $f$ $g$ $f\circ g$
Если инъективно, то инъективно (но не обязательно). $g\circ f$ $f$ $g$
$f:X\to Y$ является инъективным тогда и только тогда, когда для любых функций всякий раз, когда то Другими словами, инъективные функции — это в точности мономорфизмы в категории Множество множеств. $g,$ $h:W\to X$ $f\circ g=f\circ h,$ $g=h.$
Если является инъективным и является подмножеством , то, таким образом, может быть восстановлен из его образа $f:X\to Y$ $A$ $X,$ $f^{-1}(f(A))=A.$ $A$ $f(A).$
Если инъективно и и являются подмножествами, то $f:X\to Y$ $A$ $B$ $X,$ $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).$
Каждая функция может быть разложена как для подходящей инъекции и сюръекции. Это разложение уникально с точностью до изоморфизма и может рассматриваться как функция включения диапазона как подмножества области значений $h:W\to Y$ $h=f\circ g$ $f$ $g.$ $f$ $h(W)$ $h$ $Y$ $h.$
Если — инъективная функция, то имеет по крайней мере столько же элементов, сколько в смысле кардинальных чисел . В частности, если, кроме того, существует инъекция из в , то и имеют то же кардинальное число. (Это известно как теорема Кантора–Бернштейна–Шредера .) $f:X\to Y$ $Y$ $X,$ $Y$ $X,$ $X$ $Y$
Если оба отображения и конечны с одинаковым числом элементов, то они инъективны тогда и только тогда, когда они сюръективны (в этом случае они биективны). $X$ $Y$ $f:X\to Y$ $f$ $f$
Инъективная функция, являющаяся гомоморфизмом между двумя алгебраическими структурами, является вложением .
В отличие от сюръективности, которая является отношением между графиком функции и ее областью значений, инъективность является свойством только графика функции; то есть, является ли функция инъективной, можно определить, рассматривая только график (а не область значений) функции. $f$ $f.$

Доказательство того, что функции инъективны

Доказательство того, что функция инъективна, зависит от того, как функция представлена и какие свойства она имеет. Для функций, заданных некоторой формулой, есть основная идея. Мы используем определение инъективности, а именно, что если то ^[6] $f$ $f(x)=f(y),$ $x=y.$

Вот пример: $f(x)=2x+3$

Доказательство: Предположим , что Итак , следует , что влечет Следовательно, из определения следует, что является инъективным. $f:X\to Y.$ $f(x)=f(y).$ $2x+3=2y+3$ $2x=2y,$ $x=y.$ $f$

Существует множество других методов доказательства того, что функция инъективна. Например, в исчислении, если — дифференцируемая функция, определенная на некотором интервале, то достаточно показать, что производная всегда положительна или всегда отрицательна на этом интервале. В линейной алгебре, если — линейное преобразование, то достаточно показать, что ядро содержит только нулевой вектор. Если — функция с конечной областью определения, то достаточно просмотреть список изображений каждого элемента области определения и проверить, что ни одно изображение не встречается в списке дважды. $f$ $f$ $f$ $f$

Графическим подходом для действительной функции действительной переменной является тест горизонтальной линии . Если каждая горизонтальная линия пересекает кривую не более чем в одной точке, то она инъективна или является взаимно однозначной. $f$ $x$ $f(x)$ $f$

Галерея

Инъективная несюръективная функция (инъекция, а не биекция )
Инъективная сюръективная функция ( биекция)
Неинъективная сюръективная функция (сюръекция, а не биекция)
Неинъективная несюръективная функция (также не биекция)

Не является инъективной функцией. Здесь и являются подмножествами и являются подмножествами : для двух областей, где функция не является инъективной, поскольку более одного элемента домена могут отображаться в один элемент диапазона. То есть, возможно, что более одного элемента в могут отображаться в один и тот же элемент в $X_{1}$ $X_{2}$ $X,Y_{1}$ $Y_{2}$ $Y$ $x$ $X$ $y$ $Y.$
Делаем функции инъективными. Предыдущую функцию можно свести к одной или нескольким инъективным функциям (скажем) и показать сплошными кривыми (длинные штриховые части исходной кривой больше не отображаются). Обратите внимание, что правило не изменилось — только домен и диапазон. и являются подмножествами и являются подмножествами : для двух областей, где исходная функция может быть сделана инъективной, так что один элемент домена может отображаться на один элемент диапазона. То есть, только один в отображается на один в $f:X\to Y$ $f:X_{1}\to Y_{1}$ $f:X_{2}\to Y_{2},$ $f$ $X_{1}$ $X_{2}$ $X,Y_{1}$ $Y_{2}$ $Y$ $x$ $X$ $y$ $Y.$
Инъективные функции. Диаграммная интерпретация в декартовой плоскости , определяемая отображением, где область определения функции , область определения функции и обозначает изображение Каждый из отображается ровно в одну уникальную в Обведенные кружками части осей представляют области определения и области определения — в соответствии со стандартными диаграммами выше $f:X\to Y,$ $y=f(x),$ $X=$ $Y=$ $\operatorname {im} (f)$ $f.$ $x$ $X$ $y$ $Y.$

Смотрите также

Биекция, инъекция и сюръекция – Свойства математических функций
Инъективное метрическое пространство – Тип метрического пространства
Монотонная функция – Математическая функция, сохраняющая порядок
Однозначная функция – Математическая концепция

Примечания

^ Иногда функция один-один , в индийском математическом образовании. "Глава 1: Отношения и функции" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 26 декабря 2023 г. – через NCERT.
^ abc "Инъективный, сюръективный и биективный". Математика — это весело . Получено 2019-12-07 .
^ "Раздел 7.3 (00V5): Инъективные и сюръективные отображения предпучков". Проект Stacks . Получено 2019-12-07 .
^ Farlow, SJ "Section 4.2 Injections, Surjections, and Bijections" (PDF) . Математика и статистика - Университет штата Мэн . Архивировано из оригинала (PDF) 7 декабря 2019 г. . Получено 2019-12-06 .
^ В отличие от соответствующего утверждения, что каждая сюръективная функция имеет правую обратную, это не требует аксиомы выбора , поскольку существование подразумевается непустотой области. Однако это утверждение может не сработать в менее традиционной математике, такой как конструктивная математика . В конструктивной математике включение двухэлементного множества в вещественные числа не может иметь левую обратную, поскольку это нарушило бы неразложимость , давая ретракцию вещественной прямой к множеству {0,1}. $a$ $\{0,1\}\to \mathbb {R}$
^ Уильямс, Питер (21 августа 1996 г.). «Доказательство функций один к одному». Страница справочных заметок кафедры математики CSU San Bernardino . Архивировано из оригинала 4 июня 2017 г.

Ссылки

Бартл, Роберт Г. (1976), Элементы реального анализа (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05464-1, стр. 17 и далее .
Халмос, Пол Р. (1974), Наивная теория множеств , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-90092-6, стр. 38 и далее .

Внешние ссылки

Самые ранние случаи использования некоторых слов из математики: статья об инъекции, сюръекции и биекции содержит историю инъекции и связанных с ней терминов.
Khan Academy – Сюръективные (на) и инъективные (один к одному) функции: Введение в сюръективные и инъективные функции

[1] Иногда функция один-один , в индийском математическом образовании. "Глава 1: Отношения и функции" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 26 декабря 2023 г. – через NCERT.

[:0-2] "Инъективный, сюръективный и биективный". Математика — это весело . Получено 2019-12-07 .

[3] "Раздел 7.3 (00V5): Инъективные и сюръективные отображения предпучков". Проект Stacks . Получено 2019-12-07 .

[4] Farlow, SJ "Section 4.2 Injections, Surjections, and Bijections" (PDF) . Математика и статистика - Университет штата Мэн . Архивировано из оригинала (PDF) 7 декабря 2019 г. . Получено 2019-12-06 .

[5] В отличие от соответствующего утверждения, что каждая сюръективная функция имеет правую обратную, это не требует аксиомы выбора , поскольку существование подразумевается непустотой области. Однако это утверждение может не сработать в менее традиционной математике, такой как конструктивная математика . В конструктивной математике включение двухэлементного множества в вещественные числа не может иметь левую обратную, поскольку это нарушило бы неразложимость , давая ретракцию вещественной прямой к множеству {0,1}. $a$ $\{0,1\}\to \mathbb {R}$

[6] Уильямс, Питер (21 августа 1996 г.). «Доказательство функций один к одному». Страница справочных заметок кафедры математики CSU San Bernardino . Архивировано из оригинала 4 июня 2017 г.