Влияние нестандартного анализа

Теория нестандартного анализа Абрахама Робинсона нашла применение во многих областях.

Теория вероятностей

«Радикально элементарная теория вероятностей» Эдварда Нельсона объединяет дискретную и непрерывную теории посредством подхода бесконечно малых величин. ^{[ требуется ссылка ]}^[1] Модельно -теоретический подход нестандартного анализа вместе с теорией меры Лёба позволяет определить броуновское движение как гиперконечное случайное блуждание, устраняя необходимость в громоздких разработках теории меры . ^{[ требуется ссылка ]}^[2] Джером Кейслер использовал этот классический подход нестандартного анализа для характеристики общих стохастических процессов как гиперконечных. ^{[ требуется ссылка ]}^[3]

Экономика

Экономисты использовали нестандартный анализ для моделирования рынков с большим количеством агентов (см. Роберт М. Андерсон (экономист) ).

Образование

Статья Мишель Артиг ^[4] посвящена преподаванию анализа. Артиг посвящает раздел «Нестандартный анализ и его слабое влияние на образование» на странице 172 нестандартному анализу. Она пишет:

Возрождение нестандартного анализа и его слабое влияние на образование. Публикация в 1966 году книги Робинсона NSA в некотором смысле представляла собой реабилитацию бесконечно малых величин, которые приобрели дурную славу [...] [Предложение Робинсона] было встречено с подозрением, даже враждебностью, многими математиками [...] Тем не менее, несмотря на неясность этой первой работы, NSA быстро развивалась [...] Попытки упрощения часто предпринимались с целью создания элементарного способа обучения NSA. Так было с работой Кейслера и Генле-Клейнберга [...]

Артиг продолжает, ссылаясь конкретно на учебник по исчислению:

[Работа Кейслера] послужила справочным текстом для педагогического эксперимента на первом году обучения в университете в районе Чикаго в 1973-74 годах. Салливан использовал 2 анкеты для оценки эффектов курса, одну для учителей, другую для студентов. 11 участвовавших в исследовании преподавателей дали очень положительное мнение об этом опыте. Анкета для студентов не выявила существенной разницы в технической успеваемости [...], но показала, что те, кто следовал курсу NSA, были способны лучше интерпретировать смысл математического формализма исчисления [...] Появление 2-й книги Кейслера вызвало яростную критику со стороны Бишопа, обвинившего Кейслера в стремлении [...] убедить студентов в том, что математика — это всего лишь «эзотерическое и бессмысленное упражнение в технике», оторванное от какой-либо реальности. Эта критика противоречила заявлениям сторонников NSA, которые с большой страстью утверждали ее простоту и интуитивный характер. [...] Однако необходимо подчеркнуть слабое влияние NSA на современное образование. Небольшое количество зарегистрированных случаев такого подхода часто сопровождается страстной пропагандой, но она редко выходит за рамки личных убеждений.

Авторы книг о гиперреальностях

Смотрите также

Критика нестандартного анализа

Примечания

^ Нельсон, Эдвард (2016-03-02). Радикально элементарная теория вероятностей. (AM-117), том 117. Princeton University Press. doi :10.1515/9781400882144. ISBN 978-1-4008-8214-4.
^ Андерсон, Роберт М. (1976). «Нестандартное представление для броуновского движения и интегрирования Ито». Israel Journal of Mathematics . 25 ( 1– 2): 15– 46. doi : 10.1007/BF02756559 . ISSN 0021-2172.
^ Кейслер, Х. Джером (1984). Бесконечно малый подход к стохастическому анализу. Провиденс, Род-Айленд, США. ISBN 978-1-4704-0707-0. OCLC 884584431.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Артиг, Мишель (2002), «Анализ», в Толл, Дэвид (ред.), Продвинутое математическое мышление , Библиотека математического образования, т. 11, Springer-Verlag, стр. 172, doi :10.1007/0-306-47203-1_11, ISBN 0-7923-2812-4

Библиография

Здзислав Павляк : Грубый подход к поддержке принятия решений на основе знаний. Европейский журнал операционных исследований, том 99, выпуск 1, 16 мая 1997 г., страницы 48–57.
Мелвин Фитинг : Логика первого порядка и автоматическое доказательство теорем. Springer, 1996.
Daniel Lehmann, Menachem Magidor : Что подразумевает условная база знаний? Журнал искусственного интеллекта, т. 55, № 1 (май 1992 г.) стр. 1–60. Исправление в т. 68 (1994 г.) стр. 411.

[1] Нельсон, Эдвард (2016-03-02). Радикально элементарная теория вероятностей. (AM-117), том 117. Princeton University Press. doi :10.1515/9781400882144. ISBN 978-1-4008-8214-4.

[2] Андерсон, Роберт М. (1976). «Нестандартное представление для броуновского движения и интегрирования Ито». Israel Journal of Mathematics . 25 ( 1– 2): 15– 46. doi : 10.1007/BF02756559 . ISSN 0021-2172.

[3] Кейслер, Х. Джером (1984). Бесконечно малый подход к стохастическому анализу. Провиденс, Род-Айленд, США. ISBN 978-1-4704-0707-0. OCLC 884584431.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[4] Артиг, Мишель (2002), «Анализ», в Толл, Дэвид (ред.), Продвинутое математическое мышление , Библиотека математического образования, т. 11, Springer-Verlag, стр. 172, doi :10.1007/0-306-47203-1_11, ISBN 0-7923-2812-4