Критика нестандартного анализа

Нестандартный анализ и его ответвление, нестандартное исчисление , подверглись критике со стороны нескольких авторов, в частности Эррета Бишопа , Пола Халмоса и Алена Конна . Эти критические замечания анализируются ниже.

Оценка нестандартного анализа в литературе сильно различается. Пол Халмос описал его как техническую специальную разработку в математической логике. Теренс Тао подытожил преимущество гиперреальной структуры, отметив, что она

позволяет строго манипулировать такими вещами, как «множество всех малых чисел», или строго утверждать такие вещи, как «η ₁ меньше всего, что включает в себя η ₀ », при этом значительно уменьшая проблемы управления эпсилон, автоматически скрывая многие квантификаторы в аргументе.

—  Теренс Тао, «Структура и случайность» , Американское математическое общество (2008) ^[1]

Характер критики не связан напрямую с логическим статусом результатов, доказанных с использованием нестандартного анализа. С точки зрения общепринятых математических основ классической логики такие результаты вполне приемлемы, хотя обычно сильно зависят от выбора. Нестандартный анализ Абрахама Робинсона не нуждается ни в каких аксиомах, выходящих за рамки теории множеств Цермело–Френкеля ( ZFC ) (как явно показано сверхмощной конструкцией гиперреальных чисел Вильгельма Люксембурга ), в то время как его вариант Эдварда Нельсона , известный как внутренняя теория множеств , также является консервативным расширением ZFC . ^[2] Он дает уверенность в том, что новизна нестандартного анализа заключается исключительно в стратегии доказательства, а не в диапазоне результатов. Кроме того, модельно-теоретический нестандартный анализ, например, основанный на суперструктурах, который в настоящее время является общепринятым подходом, не нуждается ни в каких новых аксиомах теории множеств, выходящих за рамки ZFC. ^{[ сомнительно – обсудить ]}

Споры существуют по вопросам математической педагогики. Кроме того, нестандартный анализ в том виде, в котором он разработан, не является единственным кандидатом на выполнение целей теории бесконечно малых (см. Smooth infinitesimal analysis ). Филип Дж. Дэвис написал в рецензии на книгу Left Back: A Century of Failed School Reforms ^[3] Дианы Равич: ^[4]

Было движение нестандартного анализа для обучения элементарному исчислению. Его акции немного выросли, прежде чем движение рухнуло из-за внутренней сложности и скудной необходимости.

Нестандартное исчисление в классе было проанализировано в исследовании школ в районе Чикаго, проведенном К. Салливаном, как отражено в дополнительной литературе по Влиянию нестандартного анализа . Салливан показал, что студенты, изучающие курс нестандартного анализа, были способны лучше интерпретировать смысл математического формализма исчисления, чем контрольная группа, изучающая стандартную программу. Это также было отмечено Артигом (1994), стр. 172; Чихарой ​​(2007); и Добеном (1988). ^{[ необходима цитата ]}

По мнению Эррета Бишопа , классическая математика, включающая подход Робинсона к нестандартному анализу, была неконструктивной и, следовательно, не имела численного смысла (Feferman 2000). Бишоп был особенно обеспокоен использованием нестандартного анализа в обучении, как он обсуждал в своем эссе «Кризис в математике» (Bishop 1975). В частности, после обсуждения формалистской программы Гильберта он написал:

Более поздняя попытка математики с помощью формальной утонченности — нестандартный анализ. Я понимаю, что он имел определенный успех, за счет ли предоставления значительно менее значимых доказательств, я не знаю. Мой интерес к нестандартному анализу заключается в том, что предпринимаются попытки ввести его в курсы исчисления. Трудно поверить, что принижение смысла могло зайти так далеко.

Katz & Katz (2010) отмечают, что ряд критики был высказан участвующими математиками и историками после доклада Бишопа «Кризис» на семинаре Американской академии искусств и наук в 1974 году. Однако ни слова не было сказано участниками о принижении Бишопом теории Робинсона. Katz & Katz указывают, что недавно выяснилось, что Бишоп на самом деле не сказал ни слова о теории Робинсона на семинаре, а только добавил свое замечание о принижении на этапе корректуры публикации. Это помогает объяснить отсутствие критических реакций на семинаре. Katz & Katz приходят к выводу, что это поднимает вопросы о честности со стороны Бишопа, чей опубликованный текст не сообщает о том, что комментарий о «принижении» был добавлен на этапе гранок и, следовательно, не был услышан участниками семинара, создавая ложное впечатление, что они не были не согласны с комментариями.

Тот факт, что Бишоп рассматривал введение нестандартного анализа в классе как «принижение смысла», был отмечен Дж. Добеном. ^[5] Термин был разъяснен Бишопом (1985, стр. 1) в его тексте «Шизофрения в современной математике» (впервые распространенном в 1973 году) следующим образом:

Критика Брауэром классической математики была связана с тем, что я буду называть «принижением смысла».

Таким образом, Бишоп впервые применил термин «принижение смысла» к классической математике в целом, а затем применил его к бесконечно малым Робинсона в классе. В своих « Основах конструктивного анализа» (1967, стр. ix) Бишоп писал:

Наша программа проста: придать числовое значение как можно большему количеству классического абстрактного анализа. Наша мотивация — известный скандал, подробно раскрытый Брауэром (и другими), что классическая математика страдает дефицитом числового значения.

Замечания Бишопа подтверждаются дискуссией после его лекции: ^[6]

• Джордж Макки (Гарвард): «Я не хочу думать об этих вопросах. Я верю, что то, что я делаю, будет иметь какой-то смысл...»
• Гаррет Биркофф (Гарвард): «...Я думаю, именно к этому призывает Бишоп. Мы должны следить за нашими предположениями и сохранять открытость ума».
• Шрирам Абхьянкар : (Purdue): «Моя статья полностью разделяет позицию Бишопа».
• Дж. П. Кахане (Парижский университет): «...Я должен уважать работу Бишопа, но я нахожу ее скучной...»
• Бишоп (Калифорнийский университет в Сан-Диего): «Большинство математиков считают, что математика имеет смысл, но им скучно пытаться выяснить, в чем он заключается...»
• Кахане: «Я чувствую, что признательность Бишопа имеет большее значение, чем отсутствие признательности с моей стороны».

Бишоп рецензировал книгу Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach Говарда Джерома Кейслера , в которой представлено элементарное исчисление с использованием методов нестандартного анализа. Бишоп был выбран своим научным руководителем Полом Халмосом для рецензирования книги. Рецензия появилась в Bulletin of the American Mathematical Society в 1977 году. На эту статью ссылается Дэвид О. Толл (Tall 2001), обсуждая использование нестандартного анализа в образовании. Толл написал:

Однако использование аксиомы выбора в нестандартном подходе вызывает резкую критику со стороны таких ученых, как Бишоп (1977), которые настаивали на явном построении понятий в интуиционистской традиции.

В рецензии Бишопа было приведено несколько цитат из книги Кейслера, например:

В 1960 году Робинсон решил трехсотлетнюю проблему, дав точную трактовку бесконечно малых величин. Достижение Робинсона, вероятно, будет считаться одним из главных математических достижений двадцатого века.

и

При обсуждении реальной линии мы отметили, что у нас нет способа узнать, какова на самом деле линия в физическом пространстве. Она может быть похожа на гиперреальную линию, реальную линию или ни на то, ни на другое. Однако в приложениях исчисления полезно представлять линию в физическом пространстве как гиперреальную линию.

В обзоре критиковался текст Кейслера за отсутствие доказательств в поддержку этих утверждений и за принятие аксиоматического подхода, когда студентам не было ясно, существует ли какая-либо система, удовлетворяющая аксиомам (Tall 1980). Обзор заканчивался следующим образом:

Технические осложнения, привнесенные подходом Кейслера, не имеют большого значения. Настоящий ущерб заключается в запутывании [Кейслером] и лишении жизненной силы этих замечательных идей [стандартного исчисления]. Никакое обращение к Ньютону и Лейбницу не оправдает развитие исчисления с использованием аксиом V* и VI* — на том основании, что обычное определение предела слишком сложно!

и

Хотя это кажется бесполезным, я всегда говорю своим студентам по исчислению, что математика не эзотерична: это здравый смысл. (Даже пресловутое (ε, δ)-определение предела является здравым смыслом, и, более того, оно является центральным для важных практических проблем приближения и оценки.) Они мне не верят. На самом деле эта идея заставляет их чувствовать себя неуютно, потому что она противоречит их предыдущему опыту. Теперь у нас есть текст по исчислению, который можно использовать для подтверждения их опыта математики как эзотерического и бессмысленного упражнения в технике.

В своем ответе в The Notices Кейслер (1977, стр. 269) спросил:

почему Пол Халмос , редактор рецензий на книги журнала Bulletin , выбрал в качестве рецензента конструктивиста ?

Сравнивая применение закона исключенного третьего (отвергаемого конструктивистами) с вином, Кейслер сравнил выбор Халмоша с «выбором трезвенника для дегустации вина».

Рецензия на книгу Бишопа впоследствии подверглась критике в том же журнале Мартина Дэвиса , который написал на стр. 1008 книги Дэвиса (1977):

Книга Кейслера представляет собой попытку вернуть интуитивно-предполагаемые методы Лейбница, которые до недавнего времени доминировали в преподавании исчисления и которые никогда не отбрасывались в некоторых областях прикладной математики. Читатель обзора Эрретта Бишопа на книгу Кейслера вряд ли подумает, что именно это пытался сделать Кейслер, поскольку обзор не обсуждает ни цели Кейслера, ни то, в какой степени его книга их реализует.

Дэвис добавил (стр. 1008), что Бишоп высказал свои возражения

не информируя своих читателей о конструктивистском контексте, в котором предположительно следует понимать это возражение.

Физик Вадим Комков (1977, стр. 270) писал:

Бишоп — один из ведущих исследователей, выступающих за конструктивный подход к математическому анализу. Конструктивисту трудно симпатизировать теориям, заменяющим действительные числа гипердействительными .

Комков усмотрел в этом основополагающую обеспокоенность Бишопа: можно ли провести конструктивный нестандартный анализ или нет.

Философ математики Джеффри Хеллман (1993, стр. 222) писал:

Некоторые замечания Бишопа (1967) предполагают, что его позиция принадлежит к категории [радикальных конструктивистов]…

Историк математики Джозеф Добен проанализировал критику Бишопа в (1988, стр. 192). После упоминания «успеха» нестандартного анализа

на самом элементарном уровне, на котором его можно ввести, а именно, на котором исчисление преподается впервые,

Добен заявил:

существует также более глубокий уровень смысла, на котором работает нестандартный анализ.

Добен упомянул «впечатляющие» приложения в

физике, особенно квантовой теории и термодинамике , а также в экономике , где изучение экономики обмена особенно поддается нестандартной интерпретации.

На этом «более глубоком» уровне смысла Добен пришел к выводу:

Взгляды Бишопа можно подвергнуть сомнению и показать, что они столь же необоснованны, как и его возражения против нестандартного анализа с педагогической точки зрения.

Ряд авторов прокомментировали тон рецензии на книгу Бишопа. Артиг (1992) описал ее как ядовитую , Добен (1996) — как язвительную , Дэвис и Хаузер (1978) — как враждебную , Толл (2001) — как экстремальную .

Ян Стюарт (1986) сравнил просьбу Халмоша к Бишопу рецензировать книгу Кейслера с приглашением Маргарет Тэтчер рецензировать «Капитал» .

Кац и Кац (2010) отмечают, что

Бишоп критикует яблоки за то, что они не апельсины: критик (Бишоп) и критикуемый (нестандартный анализ Робинсона) не имеют общей фундаментальной основы.

Они далее отмечают, что

Озабоченность Бишопа искоренением закона исключенного третьего привела его к критике классической математики в целом столь же резкой, как и его критике нестандартного анализа.

Г. Штольценберг ответил на критику обзора Бишопа в The Notices в письме, также опубликованном в The Notices. ^[7] Штольценберг утверждает, что критика обзора Бишопа на книгу Кейслера по исчислению основана на ложном предположении, что они были сделаны в конструктивистском мышлении, тогда как Штольценберг считает, что Бишоп прочитал ее так, как ее и следовало читать: в классическом мышлении.

В «Brisure de symétrie spontanée et géométrie du point de vue Spectra», Journal of Geometry and Physics 23 (1997), 206–234, Ален Конн писал:

«Ответ, который дает нестандартный анализ, а именно нестандартное действительное число, столь же разочаровывает: каждое нестандартное действительное число канонически определяет (Лебегово) неизмеримое подмножество интервала [0, 1], так что невозможно (Stern, 1985) продемонстрировать единственное [нестандартное действительное число]. Предлагаемый нами формализм даст существенный и вычислимый ответ на этот вопрос».

В своей статье 1995 года "Некоммутативная геометрия и реальность" Коннес разрабатывает исчисление бесконечно малых, основанное на операторах в гильбертовом пространстве. Он продолжает "объяснять, почему формализм нестандартного анализа неадекватен" для его целей. Коннес указывает на следующие три аспекта гиперреальных чисел Робинсона:

(1) нестандартное гиперреальное «не может быть выставлено» (причиной тому является его связь с неизмеримыми множествами);

(2) «практическое использование такого понятия ограничивается вычислениями, в которых конечный результат не зависит от точного значения указанной выше бесконечно малой величины. Именно так используются нестандартный анализ и ультрапроизведения [...]».

(3) гиперреальные числа коммутативны.

Кац и Кац анализируют критику Конна нестандартного анализа и оспаривают конкретные утверждения (1) и (2). ^[8] Что касается (1), собственные бесконечно малые Конна также опираются на неконструктивный фундаментальный материал, такой как существование следа Диксмье . Что касается (2), Конн представляет независимость выбора бесконечно малых как особенность своей собственной теории.

Кановей и др. (2012) анализируют утверждение Конна о том, что нестандартные числа являются «химерическими». Они отмечают, что содержание его критики заключается в том, что ультрафильтры являются «химерическими», и указывают на то, что Конн использовал ультрафильтры существенным образом в своей более ранней работе по функциональному анализу. Они анализируют утверждение Конна о том, что гиперреальная теория является просто «виртуальной». Ссылки Конна на работу Роберта Соловея предполагают, что Конн имеет в виду критику гиперреальных чисел за то, что они якобы не поддаются определению. Если это так, то утверждение Конна относительно гиперреальных чисел явно неверно, учитывая существование определяемой модели гиперреальных чисел, построенной Владимиром Кановеем и Сахароном Шелахом (2004). Кановей и др. (2012) также приводят хронологическую таблицу все более язвительных эпитетов, использованных Конном для очернения нестандартного анализа в период с 1995 по 2007 год, начиная с «неадекватный» и «разочаровывающий» и заканчивая «концом пути к „явности“».

Кац и Лейхтнам (2013) отмечают, что «две трети критики Коннесом подхода Робинсона к бесконечно малым можно назвать непоследовательными, в том конкретном смысле, что они не соответствуют тому, что Коннес пишет (одобрительно) о своем собственном подходе к бесконечно малым».

Пол Халмос пишет в статье «Инвариантные подпространства» журнала American Mathematical Monthly 85 (1978) 182–183 следующее:

«расширение до полиномиально компактных операторов было получено Бернштейном и Робинсоном (1966). Они представили свой результат на метаматематическом языке, называемом нестандартным анализом, но, как вскоре стало ясно, это было вопросом личных предпочтений, а не необходимости».

Халмос пишет в (Halmos 1985) следующее (стр. 204):

Доказательство Бернштейна–Робинсона [ гипотезы Халмоша об инвариантном подпространстве ] использует нестандартные модели языков предикатов высшего порядка, и когда [Робинсон] прислал мне свой оттиск, мне пришлось изрядно попотеть, чтобы точно определить и перевести его математическую суть.

Комментируя «роль нестандартного анализа в математике», Халмош пишет (стр. 204):

Для некоторых других[...математиков], которые выступают против этого (например, Эрретта Бишопа ), это не менее эмоциональный вопрос...

Халмош завершает свое обсуждение нестандартного анализа следующим образом (стр. 204):

Это особый инструмент, слишком особый, и другие инструменты могут делать все, что он делает. Это все дело вкуса.

Кац и Кац (2010) отмечают, что

Тревожность Халмоша по поводу оценки теории Робинсона могла быть связана с конфликтом интересов [...] Халмош вложил значительную эмоциональную энергию (и пот , как он памятно выразился в своей автобиографии) в свой перевод результата Бернштейна-Робинсона [...] [Е]го резкие нелестные комментарии, по-видимому, задним числом оправдывают его попытку как переводчика отклонить влияние одного из первых эффектных применений теории Робинсона.

Историк Лейбница Хенк Бос (1974) признал, что гиперреальности Робинсона обеспечивают

[а] предварительное объяснение того, почему исчисление могло развиваться на ненадежной основе принятия бесконечно малых и бесконечно больших величин.

Ф. Медведев (1998) далее указывает, что

[н]естандартный анализ позволяет ответить на деликатный вопрос, связанный с более ранними подходами к истории классического анализа. Если бесконечно малые и бесконечно большие величины рассматриваются как несовместимые понятия, как они могли [быть] основой для построения столь [великолепного] здания одной из важнейших математических дисциплин?

• Конструктивный нестандартный анализ
• Влияние нестандартного анализа

• Альбеверио, С.; Гвидо, Д.; Поносов, А.; Скарлатти, С. (1996). «Сингулярные следы и компактные операторы». J. Funct. Anal . 137 (2): 281– 302. doi : 10.1006/jfan.1996.0047 . S2CID  55846784.
• Артиг, Мишель (1994), Анализ , Продвинутое математическое мышление (под ред. Дэвида О. Талла ), Springer-Verlag, стр. 172, ИСБН 0-7923-2812-4
• Бишоп, Эрретт (1975), «Кризис современной математики», Historia Math. , 2 (4): 507– 517, doi :10.1016/0315-0860(75)90113-5
• Бишоп, Эрретт (1977), «Обзор: H. Jerome Keisler, Elementary calculus», Bull. Amer. Math. Soc. , 83 : 205–208 , doi : 10.1090/s0002-9904-1977-14264-x
• Бишоп, Э. (1983). «Шизофрения в современной математике». Написано в Сан-Диего, Калифорния. Эрретт Бишоп: размышления о нем и его исследованиях . Contemp. Math. Vol. 39. Провиденс, Род-Айленд: Amer. Math. Soc. (опубликовано в 1985). стр.  1–32 .
• Bos, Henk JM (1974), «Дифференциалы, дифференциалы высшего порядка и производная в исчислении Лейбница», Архив истории точных наук , 14 : 1– 90, doi : 10.1007/BF00327456, S2CID  120779114
• Чихара, К. (2007). «Критика номиналистических реконструкций Берджесса–Розена». Philos. Math . 15 (1): 54–78 . doi :10.1093/philmat/nkl023.
• Конн, А. (1997). «Спонтанная симметрия и геометрия спектральной точки зрения» (PDF) . Журнал геометрии и физики . 23 ( 3–4 ): 206–234 . Бибкод : 1997JGP....23..206C. дои : 10.1016/s0393-0440(97)80001-0.
• Коннес, А. (1995). «Некоммутативная геометрия и реальность» (PDF) . J. Math. Phys . 36 (11): 6194– 6231. Bibcode : 1995JMP....36.6194C. doi : 10.1063/1.531241.
• Добен, Дж. (1988). «Авраам Робинсон и нестандартный анализ: история, философия и основы математики» (PDF) . В Aspray, Уильям; Китчер, Филип (ред.). История и философия современной математики . Minnesota Stud. Philos. Sci. Vol. XI. Миннеаполис, MN: Univ. Minnesota Press. стр.  177–200 .
• Даубен, Дж. (1992). Написано в Эссене. «Аргументы, логика и доказательство: математика, логика и бесконечное. История математики и образования: идеи и опыт». Stud. Wiss. Soz. Bildungsgesch. Math . 11. Göttingen.: Vandenhoeck & Ruprecht (опубликовано в 1996 г.): 113–148 .
• Дэвис, Мартин (1977), «Обзор: Дж. Дональд Монк, Математическая логика», Bull. Amer. Math. Soc. , 83 : 1007–1011 , doi : 10.1090/S0002-9904-1977-14357-7
• Дэвис, М.; Хауснер, М. (1978). «Обзор книги. Радость бесконечно малых. Элементарное исчисление Дж. Кейслера». Mathematical Intelligencer . 1 : 168– 170. doi :10.1007/BF03023265. S2CID  121679411.
• Феферман, Соломон (2000), «Связи между конструктивными, предикативными и классическими системами анализа», Synthese Library , 125 (292), Kluwer Academic Publishers Group: 317– 332, doi :10.1023/A:1005223128130, S2CID  46283088; онлайн PDF.
• Гордон, Э.И.; Кусраев, А.Г. (2002). Кутателадзе С. С. Инфинитезимальный анализ . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-4020-0738-5..
• Халмош, Пол Р. (1985). Я хочу быть математиком: Автоматография . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96078-3.
• Хеллман, Джеффри (1993). «Конструктивная математика и квантовая механика: неограниченные операторы и спектральная теорема». Журнал философской логики . 12 (3): 221– 248. doi :10.1007/BF01049303. S2CID  8676552.
• Кановей, Владимир ; Кац, Михаил Г.; Морманн, Томас (2012), «Инструменты, объекты и химеры: Конн о роли гиперреальных чисел в математике», Foundations of Science , 18 (2): 259–296 , arXiv : 1211.0244 , Bibcode : 2012arXiv1211.0244K, doi : 10.1007/s10699-012-9316-5, S2CID  7631073
• Кановей, Владимир; Шелах, Сахарон (2004). «Определимая нестандартная модель действительных чисел». Журнал символической логики . 69 (1): 159– 164. arXiv : math/0311165 . doi : 10.2178/jsl/1080938834. S2CID  15104702.
• Katz, Karin; Katz, Michael (2010). «Когда .999... меньше 1?». The Montana Mathematics Enthusiast . 7 (1): 3– 30. doi : 10.54870/1551-3440.1381 . S2CID  11544878. Архивировано из оригинала 20 июля 2011 г.
• Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Г. (2011), «Значение в классической математике: противоречит ли оно интуиционизму?», Intellectica , 56 (2): 223–302 , arXiv : 1110.5456 , Bibcode : 2011arXiv1110.5456U
• Кац, Михаил Г.; Лейхтнам , Эрик (2013), «Коммутирующие и некоммутирующие бесконечно малые», American Mathematical Monthly , 120 (7): 631– 641, arXiv : 1304.0583 , Bibcode : 2013arXiv1304.0583K, doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.07.631, S2CID  35391617
• Кейслер, Х. Джером (1977). «Письмо редактору». Notices Amer. Math. Soc . 24 : 269.
• Комков, Вадим (1977). «Письмо в редакцию». Notices Amer. Math. Soc . 24 (5): 269– 271.
• Медведев, ФА (1998). «Нестандартный анализ и история классического анализа. Перевод Эйба Шенитцера». Amer. Math. Monthly . 105 (7): 659– 664. doi :10.2307/2589253. JSTOR  2589253.
• Штольценберг, Габриэль (1978). "Письма в редакцию" (PDF) . Notices Amer. Math. Soc . 25 (4): 242.
• Стюарт, Ян (1986). «Возвращение лягушки и мыши». Mathematical Intelligencer : 78–82 .
• Салливан, Кэтлин (1976), «Обучение элементарному исчислению с использованием нестандартного подхода к анализу», The American Mathematical Monthly , 83 (5): 370–375 , doi :10.2307/2318657, JSTOR  2318657
• Толл, Дэвид (1980), Интуитивные бесконечно малые в исчислении (постер) (PDF) , Четвертый Международный конгресс по математическому образованию, Беркли
• Толл, Дэвид (2001), «Естественные и формальные бесконечности», Образовательные исследования в области математики , 48 ( 2–3 ), Springer Netherlands

• Онлайн-версия Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach
• С. Кутателадзе "Обучение исчислению"