Воображаемая гиперэллиптическая кривая

Гиперэллиптическая кривая — это особый вид алгебраической кривой . Существуют гиперэллиптические кривые любого рода . Если род гиперэллиптической кривой равен 1, мы просто называем кривую эллиптической кривой . Следовательно, мы можем рассматривать гиперэллиптические кривые как обобщения эллиптических кривых. Существует хорошо известная групповая структура на множестве точек, лежащих на эллиптической кривой над некоторым полем , которую мы можем геометрически описать с помощью хорд и касательных. Обобщение этой групповой структуры на гиперэллиптический случай не является простым. Мы не можем определить тот же групповой закон на множестве точек, лежащих на гиперэллиптической кривой, вместо этого групповую структуру можно определить на так называемом якобиане гиперэллиптической кривой. Вычисления различаются в зависимости от количества точек на бесконечности. Мнимые гиперэллиптические кривые — это гиперэллиптические кривые, имеющие ровно одну точку на бесконечности: реальные гиперэллиптические кривые имеют две точки на бесконечности.${\displaystyle g\geq 1}$ ${\displaystyle К}$

Гиперэллиптические кривые могут быть определены над полями любой характеристики . Поэтому мы рассмотрим произвольное поле и его алгебраическое замыкание . (Мнимая) гиперэллиптическая кривая рода над задается уравнением вида , где — многочлен степени не больше , а — монический многочлен степени . Кроме того, мы требуем, чтобы кривая не имела особых точек . В нашей постановке это влечет за собой то, что ни одна точка не удовлетворяет как и уравнениям , так и . Это определение отличается от определения общей гиперэллиптической кривой тем, что может иметь степень в общем случае. С этого момента мы опускаем прилагательное мнимая и просто говорим о гиперэллиптических кривых, как это часто делается в литературе. Обратите внимание, что случай соответствует кубическому многочлену, что согласуется с определением эллиптической кривой. Если мы рассматриваем кривую как лежащую в проективной плоскости с координатами , мы видим, что на кривой лежит конкретная точка, а именно точка на бесконечности, обозначенная как . Итак, мы могли бы написать .${\displaystyle К}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$${\displaystyle г}$${\displaystyle К}$$${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)\in K[x,y]}$$${\displaystyle h(x)\in K[x]}$${\displaystyle г}$${\displaystyle f(x)\in K[x]}$${\displaystyle 2g+1}$${\displaystyle (x,y)\in {\overline {K}}\times {\overline {K}}}$${\displaystyle y^{2}+h(x)y=f(x)}$${\displaystyle 2y+h(x)=0}$${\displaystyle h'(x)y=f'(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 2g+2}$${\displaystyle г=1}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(K)}$${\displaystyle (X:Y:Z)}$ ${\displaystyle (0:1:0)}$${\displaystyle О}$${\displaystyle C=\{(x,y)\in K^{2}|y^{2}+h(x)y=f(x)\}\cup \{O\}}$

Предположим, что точка, не равная , лежит на кривой, и рассмотрим . Поскольку можно упростить до , мы видим, что также является точкой на кривой. называется противоположностью и называется точкой Вейерштрасса, если , т.е. . Более того, противоположность просто определяется как .${\displaystyle P=(a,b)}$${\displaystyle О}$${\displaystyle {\overline {P}}=(a,-bh(a))}$${\displaystyle (-bh(a))^{2}+h(a)(-bh(a))}$${\displaystyle b^{2}+h(a)b}$${\displaystyle {\overline {P}}}$${\displaystyle {\overline {P}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P={\overline {P}}}$${\displaystyle h(a)=-2b}$${\displaystyle О}$${\displaystyle {\overline {O}}=O}$

Определение гиперэллиптической кривой можно немного упростить, если потребовать, чтобы характеристика не была равна 2. Чтобы увидеть это, рассмотрим замену переменных и , что имеет смысл, если char . При этой замене переменных мы переписываем в , что, в свою очередь, можно переписать в . Как мы знаем, и , следовательно, является моническим многочленом степени . Это означает, что над полем с char каждая гиперэллиптическая кривая рода изоморфна кривой, заданной уравнением вида , где является моническим многочленом степени и кривая не имеет особых точек. Обратите внимание, что для кривых такого вида легко проверить, выполняется ли критерий неособости. Точка на кривой является особой тогда и только тогда, когда и . Так как и , должно быть так, что и , таким образом, является кратным корнем . Мы заключаем, что кривая не имеет особых точек тогда и только тогда, когда не имеет кратных корней. Несмотря на то, что определение гиперэллиптической кривой довольно просто, когда char , мы не должны забывать о полях характеристики 2, поскольку криптография на гиперэллиптических кривых широко использует такие поля.${\displaystyle К}$${\displaystyle x\rightarrow x}$${\displaystyle y\rightarrow y-{\frac {h(x)}{2}}}$${\displaystyle (К)\не =2}$${\displaystyle y^{2}+h(x)y=f(x)}$${\textstyle \left(y-{\frac {h(x)}{2}}\right)^{2}+h(x)\left(y-{\frac {h(x)}{2}}\right)=f(x)}$${\displaystyle y^{2}=f(x)+{\frac {h(x)^{2}}{4}}}$${\displaystyle \deg(h)\leq g}$${\displaystyle \deg(h^{2})\leq 2g}$${\displaystyle f(x)+{\frac {h(x)^{2}}{4}}}$${\displaystyle 2g+1}$${\displaystyle К}$${\displaystyle (К)\не =2}$${\displaystyle г}$${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 2g+1}$${\displaystyle P=(a,b)}$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle f'(a)=0}$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle b^{2}=f(a)}$${\displaystyle f(a)=0}$${\displaystyle а}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (К)\не =2}$

В качестве примера рассмотрим, где над . Так как имеет степень 5 и все корни различны, является кривой рода . Ее график изображен на рисунке 1.${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$${\displaystyle f(x)=x^{5}-2x^{4}-7x^{3}+8x^{2}+12x=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle С}$${\displaystyle g=2}$

Из этой картинки сразу видно, что мы не можем использовать метод хорд и касательных для определения группового закона на множестве точек гиперэллиптической кривой. Групповой закон на эллиптических кривых основан на том факте, что прямая, проходящая через две точки, лежащие на эллиптической кривой, имеет единственную третью точку пересечения с кривой. Обратите внимание, что это всегда верно, поскольку лежит на кривой. Из графика ясно, что это не обязательно выполняется для произвольной гиперэллиптической кривой. На самом деле, теорема Безу утверждает, что прямая и гиперэллиптическая кривая рода 2 пересекаются в 5 точках. Таким образом, прямая, проходящая через две точки, лежащие на , не имеет единственной третьей точки пересечения, у нее есть три другие точки пересечения.${\displaystyle О}$${\displaystyle С}$${\displaystyle С}$

Координатное кольцо C над K определяется как

${\displaystyle K[C]=K[x,y]/(y^{2}+h(x)yf(x)).}$

Многочлен неприводим над , поэтому​ ${\displaystyle r(x,y)=y^{2}+h(x)yf(x)}$${\displaystyle {\overline {K}}}$

${\displaystyle {\overline {K}}[C]={\overline {K}}[x,y]/(y^{2}+h(x)yf(x))}$

является целостной областью .

Обратите внимание, что любая полиномиальная функция может быть записана однозначно как${\displaystyle G(x,y)\in {\overline {K}}[C]}$

${\displaystyle G(x,y)=u(x)-v(x)y}$  с${\displaystyle u(x),v(x)\in {\overline {K}}[x]}$

Сопряженная функция полиномиальной функции G ( x , y ) = u ( x ) − v ( x ) y в определяется как${\displaystyle {\overline {K}}[C]}$

${\displaystyle {\overline {G}}(x,y)=u(x)+v(x)(h(x)+y).}$

Норма G — это полиномиальная функция . Обратите внимание, что N ( G ) = u ( x ) ² + u ( x ) v ( x ) h ( x ) − v ( x ) ² f ( x ) , поэтому N ( G ) — полином только от одной переменной .${\displaystyle N(G)=G{\overline {G}}}$

Если G ( x , y ) = u ( x ) − v ( x ) ⋅ y , то степень G определяется как

${\displaystyle \deg(G)=\max[2\deg(u),2g+1+2\deg(v)].}$

Характеристики:

${\displaystyle \deg(G)=\deg _{x}(N(G))}$

${\displaystyle \deg(GH)=\deg(G)+\deg(H)}$

${\displaystyle \deg(G)=\deg({\overline {G}})}$

Поле функций K(C) для C над K является полем дробей K [C] , а поле функций C над является полем дробей . Элементы из называются рациональными функциями на C . Для R такой рациональной функции, а P конечной точки на C , говорят, что R определена в P , если существуют полиномиальные функции G, H такие, что R = G/H и H(P) ≠ 0 , и тогда значение R в P равно${\displaystyle {\overline {K}}(C)}$${\displaystyle {\overline {K}}}$${\displaystyle {\overline {K}}[C]}$${\displaystyle {\overline {K}}(C)}$

${\displaystyle R(P)=G(P)/H(P).}$

Для точки P на C , которая не является конечной, т.е. P = , мы определяем R(P) как:${\displaystyle O}$

Если тогда , то есть R имеет ноль в точке O .${\displaystyle \deg(G)<\deg(H)}$ ${\displaystyle R(O)=0}$

Если то не определено, т.е. R имеет полюс в точке O.${\displaystyle \deg(G)>\deg(H)}$ ${\displaystyle R(O)}$ 

Если , то — отношение старших коэффициентов G и H.${\displaystyle \deg(G)=\deg(H)}$ ${\displaystyle R(O)}$ 

Для и , ${\displaystyle R\in {\overline {K}}(C)^{*}}$${\displaystyle P\in C}$

Если тогда говорят, что R имеет ноль в точке P ,${\displaystyle R(P)=0}$

Если R не определен в точке P , то говорят, что R имеет полюс в точке P , и мы пишем .${\displaystyle R(P)=\infty }$

Для и порядок G в P определяется как:${\displaystyle G=u(x)-v(x)\cdot y\in {\overline {K}}[C]^{2}}$${\displaystyle P\in C}$

${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(G)=r+s}$если P = ( a , b ) — конечная точка, которая не является точкой Вейерштрасса. Здесь r — наивысшая степень ( x − a ) , которая делит как u ( x ) , так и v ( x ) . Запишем G ( x , y ) = ( x − a ) ^r ( u ₀ (x) − v ₀ ( x ) y ) и если u ₀ ( a ) − v ₀ ( a ) b = 0 , то s — наивысшая степень ( x − a ) , которая делит N ( u ₀ ( x ) − v ₀ ( x ) y ) = u ₀ ² + u ₀ v ₀ h − v ₀ ² f , в противном случае s = 0 .

${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(G)=2r+s}$если P = ( a , b ) — конечная точка Вейерштрасса, где r и s такие же, как и выше.

${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(G)=-\deg(G)}$если Р = О.​

Чтобы определить якобиан, нам сначала понадобится понятие дивизора. Рассмотрим гиперэллиптическую кривую над некоторым полем . Затем мы определяем дивизор как формальную сумму точек в , т. е. где и, кроме того, является конечным множеством. Это означает, что дивизор является конечной формальной суммой скалярных кратных точек. Обратите внимание, что нет упрощения заданного одной точкой (как можно было бы ожидать из аналогии с эллиптическими кривыми). Кроме того, мы определяем степень как . Множество всех делителей кривой образует абелеву группу , где сложение определяется поточечно следующим образом . Легко видеть, что действует как единичный элемент и что обратный элемент равен . Множество всех делителей степени 0 можно легко проверить, чтобы быть подгруппой . Доказательство . Рассмотрим отображение, определенное как , заметим, что образует группу относительно обычного сложения. Тогда и , следовательно, является гомоморфизмом групп . Теперь — ядро ​​этого гомоморфизма, и, таким образом, оно является подгруппой .${\displaystyle C}$${\displaystyle K}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\textstyle D=\sum _{P\in C}{c_{P}[P]}}$${\displaystyle c_{P}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{c_{P}\mid c_{P}\neq 0\}}$${\displaystyle c_{P}[P]}$${\displaystyle D}$${\textstyle \deg(D)=\sum _{P\in C}{c_{P}}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathrm {Div} (C)}$${\displaystyle C}$${\textstyle \sum _{P\in C}{c_{P}[P]}+\sum _{P\in C}{d_{P}[P]}=\sum _{P\in C}{(c_{P}+d_{P})[P]}}$${\textstyle 0=\sum _{P\in C}{0[P]}}$${\textstyle \sum _{P\in C}{c_{P}[P]}}$${\textstyle \sum _{P\in C}{-c_{P}[P]}}$${\displaystyle \mathrm {Div} ^{0}(C)=\{D\in \mathrm {Div} (C)\mid \deg(D)=0\}}$${\displaystyle \mathrm {Div} (C)}$
${\displaystyle \varphi :\mathrm {Div} (C)\rightarrow \mathbb {Z} }$${\displaystyle \varphi (D)=\deg(D)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\textstyle \varphi (\sum _{P\in C}{c_{P}[P]}+\sum _{P\in C}{d_{P}[P]})=\varphi (\sum _{P\in C}{(c_{P}+d_{P})[P]})=\sum _{P\in C}{c_{P}+d_{P}}=\sum _{P\in C}{c_{p}}+\sum _{P\in C}{d_{p}}=\varphi (\sum _{P\in C}{c_{P}[P]})+\varphi (\sum _{P\in C}{d_{P}[P]})}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mathrm {Div} ^{0}(C)}$${\displaystyle \mathrm {Div} (C)}$

Рассмотрим функцию , тогда мы можем посмотреть на формальную сумму div . Здесь обозначает порядок в . Мы имеем, что ord , если имеет полюс порядка в , если определено и не равно нулю в и если имеет нуль порядка в . ^[1] Можно показать, что имеет только конечное число нулей и полюсов, ^[2] и, таким образом, только конечное число ord не равно нулю. Это означает, что div является делителем. Более того, как , ^[2] это тот случай, когда является делителем степени 0. Такие делители, т. е. делители, происходящие от некоторой рациональной функции , называются главными делителями, а множество всех главных делителей является подгруппой . Доказательство . Элемент единицы происходит от постоянной функции, которая не равна нулю. Предположим, что являются двумя главными делителями, происходящими от и соответственно. Тогда происходит от функции , и, таким образом, также является главным делителем. Мы заключаем, что замкнуто относительно сложения и обратных, что делает его подгруппой.${\displaystyle f\in {\overline {K}}(C)^{*}}$${\textstyle (f)=\sum _{P\in C}{\mathrm {ord} _{P}(f)[P]}}$${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle P}$${\displaystyle _{P}(f)<0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle -\mathrm {ord} _{P}(f)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(f)=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(f)>0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(f)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f}$${\displaystyle _{P}(f)}$${\displaystyle (f)}$${\textstyle \sum _{P\in C}{\mathrm {ord} _{P}(f)}=0}$${\displaystyle \operatorname {div} (f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathrm {Princ} (C)}$${\displaystyle \mathrm {Div} ^{0}(C)}$
${\textstyle 0=\sum _{P\in C}{0[P]}}$${\textstyle D_{1}=\sum _{P\in C}{\mathrm {ord} _{P}(f)[P]},D_{2}=\sum _{P\in C}{\mathrm {ord} _{P}(g)[P]}\in \mathrm {Princ} (C)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\textstyle D_{1}-D_{2}=\sum _{P\in C}{(\mathrm {ord} _{P}(f)-\mathrm {ord} _{P}(g))[P]}}$${\displaystyle f/g}$${\displaystyle D_{1}-D_{2}}$${\displaystyle \mathrm {Princ} (C)}$

Теперь мы можем определить факторгруппу , которая называется якобианом или группой Пикара для . Два дивизора называются эквивалентными, если они принадлежат одному и тому же элементу , это имеет место тогда и только тогда, когда — главный дивизор. Рассмотрим, например, гиперэллиптическую кривую над полем и точку на . Для рациональной функции есть нуль порядка в обоих и , и есть полюс порядка в . Следовательно, мы находим и можем упростить это до , если — точка Вейерштрасса.${\displaystyle J(C):=\mathrm {Div} ^{0}(C)/\mathrm {Princ} (C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D_{1},D_{2}\in \mathrm {Div} ^{0}(C)}$${\displaystyle J(C)}$${\displaystyle D_{1}-D_{2}}$${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P=(a,b)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{>0}}$${\displaystyle f(x)=(x-a)^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\overline {P}}}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle O}$${\displaystyle \operatorname {div} (f)=nP+n{\overline {P}}-2nO}$${\displaystyle \operatorname {div} (f)=2nP-2nO}$${\displaystyle P}$

Для эллиптических кривых якобиан оказывается просто изоморфным обычной группе на множестве точек на этой кривой, это по сути следствие теоремы Абеля-Якоби . Чтобы увидеть это, рассмотрим эллиптическую кривую над полем . Первым шагом является связывание дивизора с каждой точкой на кривой. Точке на мы связываем дивизор , в частности , в , связанный с единичным элементом . Теперь мы можем напрямую связать элемент с каждой точкой , связав его с классом , обозначенным как . Тогда отображение из группы точек на в якобиан , определяемый как , является групповым гомоморфизмом. Это можно показать, рассмотрев три точки на сложении до , т. е. мы берем с или . Теперь мы связываем закон сложения на якобиане с геометрическим групповым законом на эллиптических кривых. Сложение и геометрически означает проведение прямой линии через и , эта линия пересекает кривую в одной другой точке. Затем мы определяем как противоположную этой точке. Следовательно, в случае, если эти три точки коллинеарны, то существует некоторая линейная, такая что , и удовлетворяет . Теперь, что является единичным элементом , поскольку является делителем на рациональной функции, и, таким образом, является главным делителем. Мы заключаем, что .${\displaystyle E}$${\displaystyle K}$${\displaystyle D}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle E}$${\displaystyle D_{P}=1[P]-1[O]}$${\displaystyle O}$${\displaystyle O-O=0}$${\displaystyle J(E)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D_{P}}$${\displaystyle [D_{P}]}$${\displaystyle \varphi :E\to J(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \varphi (P)=[D_{P}]}$${\displaystyle E}$${\displaystyle O}$${\displaystyle P,Q,R\in E}$${\displaystyle P+Q+R=O}$${\displaystyle P+Q=-R}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P+Q}$${\displaystyle P+Q+R=O}$${\displaystyle f\in K[x,y]}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f(x,y)=0}$${\displaystyle \varphi (P)+\varphi (Q)+\varphi (R)=[D_{P}]+[D_{Q}]+[D_{R}]=[[P]+[Q]+[R]-3[O]]}$${\displaystyle J(E)}$${\displaystyle [P]+[Q]+[R]-3[O]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi (P)+\varphi (Q)+\varphi (R)=\varphi (O)=\varphi (P+Q+R)}$

Теорема Абеля-Якоби утверждает, что дивизор является главным тогда и только тогда, когда имеет степень 0 и подчиняется обычному закону сложения для точек на кубических кривых. Поскольку два дивизора эквивалентны тогда и только тогда, когда является главным, мы заключаем, что и эквивалентны тогда и только тогда, когда . Теперь каждый нетривиальный делитель степени 0 эквивалентен дивизору вида , это означает, что мы нашли способ приписать точку на каждому классу . А именно, мы приписываем точку . Это отображение продолжается до нейтрального элемента 0, который отображается в . Таким образом, отображение, определяемое как , является обратным к . Так что на самом деле является изоморфизмом групп , доказывающим, что и изоморфны.${\textstyle D=\sum _{P\in E}{c_{P}[P]}}$${\displaystyle D}$${\textstyle \sum _{P\in E}{c_{P}P}=O}$${\displaystyle D_{1},D_{2}\in \mathrm {Div} ^{0}(E)}$${\displaystyle D_{1}-D_{2}}$${\textstyle D_{1}=\sum _{P\in E}{c_{P}[P]}}$${\textstyle D_{2}=\sum _{P\in E}{d_{P}[P]}}$${\textstyle \sum _{P\in E}{c_{P}P}=\sum _{P\in E}{d_{P}P}}$${\displaystyle [P]-[O]}$${\displaystyle E}$${\displaystyle [D_{P}]}$${\displaystyle [D_{P}]=[1[P]-1[O]]}$${\displaystyle (P-O)+O=P}$${\displaystyle 0+O=O}$${\displaystyle \psi :J(E)\rightarrow E}$${\displaystyle \psi ([D_{P}])=P}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle E}$${\displaystyle J(E)}$

Общий гиперэллиптический случай немного сложнее. Рассмотрим гиперэллиптическую кривую рода над полем . Делитель называется приведенным, если он имеет вид , где , для всех и для . Обратите внимание, что приведенный делитель всегда имеет степень 0, также возможно, что если , но только если не является точкой Вейерштрасса. Можно доказать, что для каждого дивизора существует единственный приведенный делитель такой, что эквивалентно . ^[3] Следовательно, каждый класс фактор-группы имеет ровно один приведенный делитель. Вместо того чтобы смотреть на , мы можем, таким образом, посмотреть на множество всех приведенных делителей.${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle K}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\textstyle D=\sum _{i=1}^{k}{[P_{i}]}-k[O]}$${\displaystyle k\leq g}$${\displaystyle P_{i}\not =O}$${\displaystyle i=1,\dots ,k}$${\displaystyle P_{i}\not ={\overline {P_{j}}}}$${\displaystyle i\not =j}$${\displaystyle P_{i}=P_{j}}$${\displaystyle i\not =j}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle D\in \mathrm {Div} ^{0}(C)}$${\displaystyle D'}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D'}$${\displaystyle J(C)}$${\displaystyle J(C)}$

Удобный способ взглянуть на приведенные делители — через их представление Мамфорда. Делитель в этом представлении состоит из пары многочленов, таких что является моническим, и . Каждый нетривиальный приведенный делитель может быть представлен уникальной парой таких многочленов. Это можно увидеть, разложив на множители , которые можно сделать такими, что является моническим. Последнее условие на и затем подразумевает, что точка лежит на для каждого . Таким образом, является делителем, и на самом деле можно показать, что он является приведенным делителем. Например, условие гарантирует, что . Это дает соответствие 1-1 между приведенными делителями и делителями в представлении Мамфорда. В качестве примера, является уникальным приведенным делителем, принадлежащим единичному элементу . Его представление Мамфорда есть и . Переход между приведенными делителями и их представлением Мамфорда теперь является простой задачей. Например, рассмотрим гиперэллиптическую кривую рода 2 над действительными числами. Мы можем найти следующие точки на кривой , и . Тогда мы можем определить приведенные делители и . Представление Мамфорда состоит из многочленов и с и мы знаем, что первые координаты и , то есть 1 и 3, должны быть нулями . Следовательно, мы имеем . Так как и должно быть так, что и и, таким образом, имеет степень 1. Существует ровно один многочлен степени 1 с этими свойствами, а именно . Таким образом, представление Мамфорда равно и . Аналогичным образом мы можем найти представление Мамфорда , мы имеем и . Если появляется точка с кратностью n , многочлен v должен удовлетворять для .${\displaystyle u,v\in K[x]}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \deg(v)<\deg(u)\leq g}$${\displaystyle u|v^{2}+vh-f}$${\textstyle u(x)=\prod _{i=1}^{k}{(x-x_{i})}}$${\displaystyle {\overline {K}}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle P_{i}=(x_{i},v(x_{i}))}$${\displaystyle C}$${\displaystyle i=1,...,k}$${\textstyle D=\sum _{i=1}^{k}{[P_{i}]}-k[O]}$${\displaystyle \deg(u)\leq g}$${\displaystyle k\leq g}$${\textstyle 0=\sum _{P\in C}{0[P]}}$${\displaystyle J(C)}$${\displaystyle u(x)=1}$${\displaystyle v(x)=0}$${\displaystyle C:y^{2}=x^{5}-4x^{4}-14x^{3}+36x^{2}+45x=x(x+1)(x-3)(x+3)(x-5)}$${\displaystyle P=(1,8)}$${\displaystyle Q=(3,0)}$${\displaystyle R=(5,0)}$${\displaystyle D=[P]+[Q]-2[O]}$${\displaystyle D'=[P]+[R]-2[O]}$${\displaystyle D}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \deg(v)<\deg(u)\leq g=2}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u(x)=(x-1)(x-3)=x^{2}-4x+3}$${\displaystyle P=(1,v(1))}$${\displaystyle Q=(3,v(3))}$${\displaystyle v(1)=8}$${\displaystyle v(3)=0}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v(x)=-4x+12}$${\displaystyle D}$${\displaystyle u(x)=x^{2}-4x+3}$${\displaystyle v(x)=-4x+12}$${\displaystyle (u',v')}$${\displaystyle D'}$${\displaystyle u'(x)=(x-1)(x-5)=x^{2}-6x+5}$${\displaystyle v(x)=-2x+10}$${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i})}$${\textstyle \left.\left({\frac {d}{dx}}\right)^{j}\left[v(x)^{2}+v(x)h(x)-f(x)\right]\right|_{x=x_{i}}=0}$${\displaystyle 0\leq j\leq n_{i}-1}$

Существует алгоритм , который берет два приведенных делителя и в их представлении Мамфорда и производит единственный приведенный делитель , снова в его представлении Мамфорда, такой, что эквивалентно . ^[4] Поскольку каждый элемент якобиана может быть представлен одним приведенным делителем, который он содержит, алгоритм позволяет выполнять групповую операцию над этими приведенными делителями, заданными в их представлении Мамфорда. Первоначально алгоритм был разработан Дэвидом Г. Кантором (не путать с Георгом Кантором ), что объясняет название алгоритма. Кантор рассмотрел только случай , общий случай принадлежит Коблицу . Входными данными являются два приведенных делителя и в их представлении Мамфорда гиперэллиптической кривой рода над полем . Алгоритм работает следующим образом${\displaystyle D_{1}}$${\displaystyle D_{2}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D_{1}+D_{2}}$${\displaystyle h(x)=0}$${\displaystyle D_{1}=(u_{1},v_{1})}$${\displaystyle D_{2}=(u_{2},v_{2})}$${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle K}$

1. Используя расширенный алгоритм Евклида, вычислите полиномы такие, что и .${\displaystyle d_{1},e_{1},e_{2}\in K[x]}$${\displaystyle d_{1}=\gcd(u_{1},u_{2})}$${\displaystyle d_{1}=e_{1}u_{1}+e_{2}u_{2}}$
2. Снова с использованием расширенного алгоритма Евклида вычислим многочлены с и .${\displaystyle d,c_{1},c_{2}\in K[x]}$${\displaystyle d=\gcd(d_{1},v_{1}+v_{2}+h)}$${\displaystyle d=c_{1}d_{1}+c_{2}(v_{1}+v_{2}+h)}$
3. Положим , и , что даёт .${\displaystyle s_{1}=c_{1}e_{1}}$${\displaystyle s_{2}=c_{1}e_{2}}$${\displaystyle s_{3}=c_{2}}$${\displaystyle d=s_{1}u_{1}+s_{2}u_{2}+s_{3}(v_{1}+v_{2}+h)}$
4. Установите и .${\displaystyle u={\frac {u_{1}u_{2}}{d^{2}}}}$${\displaystyle v={\frac {s_{1}u_{1}v_{2}+s_{2}u_{2}v_{1}+s_{3}(v_{1}v_{2}+f)}{d}}\mod u}$
5. Установите и .${\displaystyle u'={\frac {f-vh-v^{2}}{u}}}$${\displaystyle v'=-h-v\mod u'}$
6. Если , то установите и и повторяйте шаг 5 до тех пор, пока .${\displaystyle \deg(u')>g}$${\displaystyle u=u'}$${\displaystyle v=v'}$${\displaystyle \deg(u')\leq g}$
7. Сделайте моник, разделив его на старший коэффициент.${\displaystyle u'}$
8. Выход .${\displaystyle D=(u',v')}$

Доказательство правильности алгоритма можно найти в ^{[5] .}

В качестве примера рассмотрим кривую

${\displaystyle C:y^{2}=x^{5}-4x^{4}-14x^{3}+36x^{2}+45x=x(x+1)(x-3)(x+3)(x-5)}$

рода 2 над действительными числами. Для точек

${\displaystyle P=(1,8)}$, и${\displaystyle Q=(3,0)}$${\displaystyle R=(5,0)}$

и сокращенные делители

${\displaystyle D_{1}=[P]+[Q]-2[O]}$и${\displaystyle D_{2}=[P]+[R]-2[O]}$

мы знаем, что

${\displaystyle (u_{1}=x^{2}-4x+3,v_{1}=-4x+12)}$, и

${\displaystyle (u_{2}=x^{2}-6x+5,v_{2}=-2x+10)}$

являются представлениями Мамфорда и соответственно.${\displaystyle D_{1}}$${\displaystyle D_{2}}$

Мы можем вычислить их сумму, используя алгоритм Кантора. Начнем с вычисления

${\displaystyle d_{1}=\gcd(u_{1},u_{2})=x-1}$, и

${\displaystyle d_{1}=e_{1}u_{1}+e_{2}u_{2}}$

для , и .${\displaystyle e_{1}={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle e_{2}=-{\frac {1}{2}}}$

На втором этапе мы находим

${\displaystyle d=\gcd(d_{1},v_{1}+v_{2}+h)=\gcd(x-1,-6x+22)=1}$и

${\displaystyle 1=c_{1}d_{1}+c_{2}(v_{1}+v_{2}+h)}$

для и .${\displaystyle c_{1}={\frac {3}{8}}}$${\displaystyle c_{2}={\frac {1}{16}}}$

Теперь мы можем вычислить

${\displaystyle s_{1}=c_{1}e_{1}={\frac {3}{16}}}$,

${\displaystyle s_{2}=c_{1}e_{2}=-{\frac {3}{16}}}$и

${\displaystyle s_{3}=c_{2}={\frac {1}{16}}}$.

Так

${\displaystyle u={\frac {u_{1}u_{2}}{d^{2}}}=u_{1}u_{2}=x^{4}-10x^{3}+32x^{2}-38x+15}$и

${\displaystyle {\begin{aligned}v&={\frac {s_{1}u_{1}v_{2}+s_{2}u_{2}v_{1}+s_{3}(v_{1}v_{2}+f)}{d}}\mod u\\&={\frac {1}{16}}(x^{5}-4x^{4}-8x^{3}-10x^{2}+119x+30)\mod u\\&={\frac {1}{4}}(5x^{3}-41x^{2}+83x-15).\end{aligned}}}$

Наконец мы находим

${\displaystyle u'={\frac {f-v^{2}}{u}}={\frac {1}{16}}(-25x^{2}+176x-15)}$и

${\displaystyle v'=-v\mod u'=-{\frac {72}{125}}(17x-5)}$.

После создания моника мы приходим к выводу, что ${\displaystyle u'}$

${\displaystyle D=(-25x^{2}+176x-15,-{\frac {72}{125}}(17x-5))}$

эквивалентно .${\displaystyle D_{1}+D_{2}}$

Алгоритм Кантора, представленный здесь, имеет общую форму, он справедлив для гиперэллиптических кривых любого рода и над любым полем. Однако алгоритм не очень эффективен. Например, он требует использования расширенного алгоритма Евклида. Если мы зафиксируем род кривой или характеристику поля (или и то, и другое), мы можем сделать алгоритм более эффективным. Для некоторых особых случаев мы даже получаем явные формулы сложения и удвоения, которые очень быстры. Например, существуют явные формулы для гиперэллиптических кривых рода 2 ^{[6] [7]} и рода 3.

Для гиперэллиптических кривых также довольно легко визуализировать сложение двух приведенных делителей. Предположим, что у нас есть гиперэллиптическая кривая рода 2 над действительными числами вида

${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$

и два сокращенных делителя

${\displaystyle D_{1}=[P]+[Q]-2[O]}$и

${\displaystyle D_{2}=[R]+[S]-2[O]}$.

Предположим, что

${\displaystyle P,Q\not ={\overline {R}},{\overline {S}}}$,

этот случай нужно рассматривать отдельно. Существует ровно 1 кубический многочлен

${\displaystyle a(x)=a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}}$

прохождение через четыре точки

${\displaystyle P,Q,R,S}$.

Обратите внимание, что возможно, например , что , поэтому мы должны учитывать кратности . Подставляя, мы находим, что ${\displaystyle P=Q}$${\displaystyle y=a(x)}$

${\displaystyle y^{2}=f(x)=a^{2}(x)}$

и, следовательно,

${\displaystyle f(x)-a^{2}(x)=0}$.

Так как — многочлен степени 6, то имеем , имеющий шесть нулей и, следовательно, имеющий помимо двух точек пересечения с , назовем их и , причем . Теперь, — точки пересечения с алгебраической кривой. Таким образом, мы знаем, что делитель ${\displaystyle f(x)-a^{2}(x)}$${\displaystyle f(x)-a^{2}(x)}$${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle P,Q,R,S}$${\displaystyle C}$${\displaystyle T}$${\displaystyle U}$${\displaystyle T\not ={\overline {U}}}$${\displaystyle P,Q,R,S,T,U}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle D=[P]+[Q]+[R]+[S]+[T]+[U]-6[O]}$

является главным, что подразумевает, что делитель

${\displaystyle [P]+[Q]+[R]+[S]-4[O]}$

эквивалентно делителю

${\displaystyle -([T]+[U]-2[O])}$.

Кроме того, делитель

${\displaystyle [P]+[{\overline {P}}]-2[O]}$