точка Вейерштрасса

В математике точкой Вейерштрасса на неособой алгебраической кривой, определенной над комплексными числами, является точка, такая, что на существует больше функций , полюса которых ограничены только , чем предсказывает теорема Римана–Роха . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle С}$${\displaystyle С}$${\displaystyle P}$

Концепция названа в честь Карла Вейерштрасса .

Рассмотрим векторные пространства

${\displaystyle L(0),L(P),L(2P),L(3P),\dots }$

где — пространство мероморфных функций , порядок которых при не менее и не имеет других полюсов. Мы знаем три вещи: размерность не менее 1 из-за постоянных функций на ; она не убывает; и из теоремы Римана–Роха размерность в конечном итоге увеличивается ровно на 1 по мере нашего движения вправо. Фактически, если — род , размерность из -го члена, как известно, равна${\displaystyle L(кП)}$${\displaystyle С}$${\displaystyle P}$${\displaystyle -k}$${\displaystyle С}$${\displaystyle г}$${\displaystyle С}$${\displaystyle к}$

${\displaystyle l(kP)=k-g+1,}$для${\displaystyle k\geq 2g-1.}$

Поэтому наше знание последовательности

${\displaystyle 1,?,?,\точки,?,г,г+1,г+2,\точки.}$

Что мы знаем о записях ?, так это то, что они могут увеличиваться максимум на 1 каждый раз (это простой аргумент: имеет размерность, большую всего 1, потому что если и имеют одинаковый порядок полюса в , то будет иметь полюс более низкого порядка, если константа выбрана для отмены ведущего члена). Здесь есть вопросительные знаки, поэтому случаи или не нуждаются в дальнейшем обсуждении и не приводят к появлению точек Вейерштрасса.${\displaystyle L(nP)/L((n-1)P)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle г}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f+cg}$${\displaystyle с}$${\displaystyle 2g-2}$${\displaystyle г=0}$${\displaystyle 1}$

Предположим поэтому . Будут шаги вверх и шаги, где нет приращения. Не-Вейерштрассова точка возникает всякий раз, когда приращения находятся как можно дальше вправо: т.е. последовательность выглядит как${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle g-1}$${\displaystyle г}$${\displaystyle С}$

${\displaystyle 1,1,\точки,1,2,3,4,\точки,г-1,г,г+1,\точки.}$

Любой другой случай — точка Вейерштрасса . Разрыв Вейерштрасса для — это значение такое, что никакая функция на не имеет ровно -кратного полюса только при . Последовательность разрывов — это${\displaystyle P}$${\displaystyle к}$${\displaystyle С}$${\displaystyle к}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle 1,2,\точки ,г}$

для не-Вейерштрассовой точки. Для точки Вейерштрасса она содержит по крайней мере одно большее число. ( Теорема Вейерштрасса о зазоре или Люкензац — это утверждение о том, что должны быть зазоры.)${\displaystyle г}$

Для гиперэллиптических кривых , например, мы можем иметь функцию с двойным полюсом только при . Ее степени имеют полюсы порядка и т. д. Поэтому такой имеет последовательность зазоров${\displaystyle F}$${\displaystyle P}$${\displaystyle 4,6}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle 1,3,5,\точки ,2g-1.}$

В общем случае, если последовательность пробелов равна

${\displaystyle а,б,в,\точки}$

вес точки Вейерштрасса равен

${\displaystyle (a-1)+(b-2)+(c-3)+\точки.}$

Это вводится из-за теоремы подсчета: на римановой поверхности сумма весов точек Вейерштрасса равна${\displaystyle g(g^{2}-1).}$

Например, гиперэллиптическая точка Вейерштрасса, как указано выше, имеет вес Следовательно, их (максимум) . Точки ветвления разветвленного накрытия степени два от гиперэллиптической кривой до проективной прямой являются все гиперэллиптическими точками Вейерштрасса, и они исчерпывают все точки Вейерштрасса на гиперэллиптической кривой рода .${\displaystyle g(g-1)/2.}$${\displaystyle 2(g+1)}$${\displaystyle 2g+2}$${\displaystyle g}$

Дальнейшая информация о пробелах получается из применения теоремы Клиффорда . Умножение функций дает не-пробелам числовую структуру полугруппы , и старый вопрос Адольфа Гурвица требовал характеризации возникающих полугрупп. Новое необходимое условие было найдено Р.-О. Бухвейцем в 1980 году, и он привел пример подполугруппы неотрицательных целых чисел с 16 пробелами, которая не встречается как полугруппа не-пробелов в точке на кривой рода 16 (см. ^[1] ). Определение точки Вейерштрасса для неособой кривой над полем положительной характеристики было дано Ф. К. Шмидтом в 1939 году.

В более общем случае для невырожденной алгебраической кривой, определенной над алгебраически замкнутым полем характеристики , числа зазоров для всех точек, кроме конечного числа, являются фиксированной последовательностью Эти точки называются точками не-Вейерштрасса . Все точки, последовательность зазоров которых различна, называются точками Вейерштрасса .${\displaystyle C}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p\geq 0}$${\displaystyle \epsilon _{1},...,\epsilon _{g}.}$${\displaystyle C}$

Если то кривая называется классической кривой . В противном случае она называется неклассической . В нулевой характеристике все кривые являются классическими.${\displaystyle \epsilon _{1},...,\epsilon _{g}=1,...,g}$

Эрмитовы кривые являются примером неклассических кривых. Это проективные кривые, определяемые над конечным полем уравнением , где — степень простого числа.${\displaystyle GF(q^{2})}$${\displaystyle y^{q}+y=x^{q+1}}$${\displaystyle q}$

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Weierstrass point" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (September 2008) (Learn how and when to remove this message)

• P. Griffiths ; J. Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry . Wiley Classics Library. Wiley Interscience. стр. 273–277. ISBN 0-471-05059-8.
• Фаркаш; Кра (1980). Римановы поверхности . Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. С. 76–86. ISBN 0-387-90465-4.
• Эйзенбуд, Дэвид; Харрис, Джо (1987). «Существование, разложение и пределы некоторых точек Вейерштрасса». Invent. Math . 87 (3): 495–515. doi :10.1007/bf01389240. S2CID  122385166.
• Гарсия, Арнальдо; Виана, Пауло (1986). «Точки Вейерштрасса на некоторых неклассических кривых». Архив математики . 46 (4): 315–322. дои : 10.1007/BF01200462. S2CID  120983683.
• Воскресенский, В.Е. (2001) [1994], "Точка Вейерштрасса", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС