Действительная гиперэллиптическая кривая

В математике существует два типа гиперэллиптических кривых , класс алгебраических кривых : действительные гиперэллиптические кривые и мнимые гиперэллиптические кривые , которые различаются числом точек на бесконечности. Гиперэллиптические кривые существуют для каждого рода . Общая формула гиперэллиптической кривой над конечным полем задается как где удовлетворяют определенным условиям. На этой странице мы расскажем больше о действительных гиперэллиптических кривых, это кривые, имеющие две точки на бесконечности, в то время как мнимые гиперэллиптические кривые имеют одну точку на бесконечности .${\displaystyle g\geq 1}$${\displaystyle К}$$${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)\in K[x,y]}$$${\displaystyle h(x),f(x)\in K}$

Действительная гиперэллиптическая кривая рода g над K определяется уравнением вида , где имеет степень не больше g +1 , в то время как должна иметь степень 2 g +1 или 2 g +2. Эта кривая является неособой кривой, где ни одна точка в алгебраическом замыкании не удовлетворяет уравнению кривой и обоим уравнениям частных производных : и . Множество (конечных) -рациональных точек на C задается как , где - множество точек на бесконечности. Для действительных гиперэллиптических кривых существуют две точки на бесконечности, и . Для любой точки противоположная точка задается как ; это другая точка с x -координатой a, которая также лежит на кривой.${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)}$${\displaystyle h(x)\in K}$${\displaystyle f(x)\in K}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle К}$${\displaystyle y^{2}+h(x)y=f(x)}$${\displaystyle 2y+h(x)=0}$${\displaystyle h'(x)y=f'(x)}$${\displaystyle К}$$${\displaystyle C(K)=\left\{(a,b)\in K^{2}\mid b^{2}+h(a)b=f(a)\right\}\cup S}$$${\displaystyle S}$${\displaystyle \infty _{1}}$${\displaystyle \infty _{2}}$${\displaystyle P(a,b)\in C(K)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\overline {P}}=(a,-bh)}$

Пусть , где над . Так как и имеет степень 6, то является кривой рода g = 2.${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$$${\displaystyle f(x)=x^{6}+3x^{5}-5x^{4}-15x^{3}+4x^{2}+12x=x(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)(x+3)}$$${\displaystyle R}$${\displaystyle \deg f(x)=2g+2}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle C}$

Однородная версия уравнения кривой задается формулой Она имеет одну точку на бесконечности, заданную формулой (0:1:0), но эта точка является сингулярной. Раздутие имеет 2 различные точки на бесконечности, которые мы обозначаем и . Следовательно, эта кривая является примером действительной гиперэллиптической кривой.$${\displaystyle Y^{2}Z^{4}=X^{6}+3X^{5}Z-5X^{4}Z^{2}-15X^{3}Z^{3}+4X^{2}Z^{4}+12XZ^{5}.}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle \infty _{1}}$${\displaystyle \infty _{2}}$

В общем случае, каждая кривая, заданная уравнением, где f имеет четную степень, имеет две точки на бесконечности и является действительной гиперэллиптической кривой, в то время как те, где f имеет нечетную степень, имеют только одну точку в раздутии над (0:1:0) и, таким образом, являются мнимыми гиперэллиптическими кривыми . В обоих случаях это предполагает, что аффинная часть кривой невырождена (см. условия на производные выше)

В вещественной гиперэллиптической кривой сложение больше не определяется по точкам, как в эллиптических кривых, а по дивизорам и якобиану . Пусть — гиперэллиптическая кривая рода g над конечным полем K . Дивизор на — это формальная конечная сумма точек на . Запишем , где и для почти всех .${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$$${\displaystyle D=\sum _{P\in C}{n_{P}P}}$$${\displaystyle n_{P}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle n_{p}=0}$${\displaystyle P}$

Степень определяется как называется определенной над , если для всех автоморфизмов σ над . Множество делителей определено над образует аддитивную абелеву группу по правилу сложения ${\textstyle D=\sum _{P\in C}{n_{P}P}}$$${\displaystyle \deg(D)=\sum _{P\in C}{n_{P}}.}$$${\displaystyle D}$${\displaystyle K}$${\textstyle D^{\sigma }=\sum _{P\in C}n_{P}P^{\sigma }=D}$${\displaystyle {\overline {K}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle Div(K)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle \sum a_{P}P+\sum b_{P}P=\sum {(a_{P}+b_{P})P}.}$$

Множество всех делителей нуля степени группы , определенных над , является подгруппой группы .${\displaystyle Div^{0}(K)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle K}$${\displaystyle Div(K)}$

Возьмем пример:

Пусть и . Если мы их сложим, то . Степень равна , а степень равна . Тогда,${\displaystyle D_{1}=6P_{1}+4P_{2}}$${\displaystyle D_{2}=1P_{1}+5P_{2}}$${\displaystyle D_{1}+D_{2}=7P_{1}+9P_{2}}$${\displaystyle D_{1}}$${\displaystyle \deg(D_{1})=6+4=10}$${\displaystyle D_{2}}$${\displaystyle \deg(D_{2})=1+5=6}$${\displaystyle \deg(D_{1}+D_{2})=\deg(D_{1})+\deg(D_{2})=16.}$

Для многочленов делитель определяется как Если функция имеет полюс в точке , то имеет порядок стремления к нулю при . Предположим, что являются многочленами от ; делитель рациональной функции называется главным делителем и определяется как . Обозначим группу главных делителей как , т.е. . Якобиан над определяется как . Фактор-группа также называется группой классов делителей . Элементы, которые определены над , образуют группу . Обозначим через класс в .${\displaystyle G\in K[C]}$${\displaystyle G}$$${\displaystyle \mathrm {div} (G)=\sum _{P\in C}{\mathrm {ord} }_{P}(G)P.}$$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle -{\mathrm {ord} }_{P}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G,H}$${\displaystyle K[C]}$${\displaystyle F=G/H}$${\displaystyle \mathrm {div} (F)=\mathrm {div} (G)-\mathrm {div} (H)}$${\displaystyle P(K)}$${\displaystyle P(K)=\{\mathrm {div} (F)\mid F\in K(C)\}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle K}$${\displaystyle J=Div^{0}/P}$${\displaystyle J}$${\displaystyle C}$${\displaystyle K}$${\displaystyle J(K)}$${\displaystyle {\overline {D}}\in J(K)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle Div^{0}(K)/P(K)}$

Существует два канонических способа представления классов дивизоров для вещественных гиперэллиптических кривых , имеющих две точки бесконечности . Первый способ заключается в представлении делителя нулевой степени с помощью , где , , и если Представитель называется полуредуцированным. Если удовлетворяет дополнительному условию , то представитель называется редуцированным. ^[1] Обратите внимание, что допускается для некоторого i . Из этого следует, что каждый класс делителей нулевой степени содержит уникального представителя с , где — делитель , который является взаимно простым как с , так и с , и .${\displaystyle C}$${\displaystyle S=\{\infty _{1},\infty _{2}\}}$${\displaystyle {\bar {D}}}$${\textstyle D=\sum _{i=1}^{r}P_{i}-r\infty _{2}}$${\displaystyle P_{i}\in C({\bar {\mathbb {F} }}_{q})}$${\displaystyle P_{i}\not =\infty _{2}}$${\displaystyle P_{i}\not ={\bar {P_{j}}}}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\bar {D}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle r\leq g}$${\displaystyle D}$${\displaystyle P_{i}=\infty _{1}}$${\displaystyle {\bar {D}}}$$${\displaystyle D=D_{x}-\deg(D_{x})\infty _{2}+v_{1}(D)(\infty _{1}-\infty _{2}),}$$${\displaystyle D_{x}}$${\displaystyle \infty _{1}}$${\displaystyle \infty _{2}}$${\displaystyle 0\leq \deg(D_{x})+v_{1}(D)\leq g}$

Другое представление сбалансировано на бесконечности. Пусть , заметим, что этот делитель является -рациональным, даже если точки и не являются таковыми независимо. Запишем представителя класса как , где называется аффинной частью и не содержит и , и пусть . Если четно, то${\displaystyle D_{\infty }=\infty _{1}+\infty _{2}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \infty _{1}}$${\displaystyle \infty _{2}}$${\displaystyle {\bar {D}}}$${\displaystyle D=D_{1}+D_{\infty }}$${\displaystyle D_{1}}$${\displaystyle \infty _{1}}$${\displaystyle \infty _{2}}$${\displaystyle d=\deg(D_{1})}$${\displaystyle d}$$${\displaystyle D_{\infty }={\frac {d}{2}}(\infty _{1}+\infty _{2}).}$$

Если нечетно, то Например, пусть аффинные части двух делителей заданы формулой${\displaystyle d}$$${\displaystyle D_{\infty }={\frac {d+1}{2}}\infty _{1}+{\frac {d-1}{2}}\infty _{2}.}$$

${\displaystyle D_{1}=6P_{1}+4P_{2}}$и${\displaystyle D_{2}=1P_{1}+5P_{2}}$

тогда сбалансированные делители

${\displaystyle D_{1}=6P_{1}+4P_{2}-5D_{\infty _{1}}-5D_{\infty _{2}}}$и${\displaystyle D_{2}=1P_{1}+5P_{2}-3D_{\infty _{1}}-3D_{\infty _{2}}}$

Пусть будет действительной квадратичной кривой над полем . Если существует разветвленный простой делитель степени 1 в , то мы можем выполнить бирациональное преобразование в мнимую квадратичную кривую. (Конечная или бесконечная) точка называется разветвленной, если она равна своей противоположности. Это означает, что , т.е. что . Если разветвлено, то является разветвленным простым делителем. ^[2]${\displaystyle C}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P=(a,b)={\overline {P}}=(a,-b-h(a))}$${\displaystyle h(a)+2b=0}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D=P-\infty _{1}}$

Действительная гиперэллиптическая кривая рода с разветвленной -рациональной конечной точкой бирационально эквивалентна мнимой модели рода , т.е. и поля функций равны . ^[3] Здесь:${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P=(a,b)}$${\displaystyle C':y'^{2}+{\bar {h}}(x')y'={\bar {f}}(x')}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \deg({\bar {f}})=2g+1}$${\displaystyle K(C)=K(C')}$

${\displaystyle x'={\frac {1}{x-a}}}$и${\displaystyle y'={\frac {y+b}{(x-a)^{g+1}}}}$

я

В нашем примере , где , h ( x ) равно 0. Для любой точки равно 0 и поэтому требование к разветвленности P становится . Подставляя и , получаем , где , т.е. .${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$${\displaystyle f(x)=x^{6}+3x^{5}-5x^{4}-15x^{3}+4x^{2}+12x}$${\displaystyle P=(a,b)}$${\displaystyle h(a)}$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle h(a)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f(a)=0}$${\displaystyle f(a)=a(a-1)(a-2)(a+1)(a+2)(a+3)}$${\displaystyle a\in \{0,1,2,-1,-2,-3\}}$

Из ( i ) получаем и . При g = 2 имеем .${\textstyle x={\frac {ax'+1}{x'}}}$${\textstyle y={\frac {y'}{x'^{g+1}}}}$${\textstyle y={\frac {y'}{x'^{3}}}}$

Например, пусть тогда и , получаем ${\displaystyle a=1}$${\textstyle x={\frac {x'+1}{x'}}}$${\textstyle y={\frac {y'}{x'^{3}}}}$$${\displaystyle \left({\frac {y'}{x'^{3}}}\right)^{2}={\frac {x'+1}{x'}}\left({\frac {x'+1}{x'}}+1\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}+2\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}+3\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}-1\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}-2\right).}$$

Для устранения знаменателей это выражение умножается на , затем: давая кривую , где${\displaystyle x^{6}}$$${\displaystyle y'^{2}=(x'+1)(2x'+1)(3x'+1)(4x'+1)(1)(1-x')}$$$${\displaystyle C':y'^{2}={\bar {f}}(x')}$$$${\displaystyle {\bar {f}}(x')=(x'+1)(2x'+1)(3x'+1)(4x'+1)(1)(1-x')=-24x'^{5}-26x'^{4}+15x'^{3}+25x'^{2}+9x'+1.}$$

${\displaystyle C'}$является воображаемой квадратичной кривой, поскольку имеет степень .${\displaystyle {\bar {f}}(x')}$${\displaystyle 2g+1}$