Гипергеометрическая идентичность

Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Гипергеометрическая идентичность» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2024 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике гипергеометрические тождества — это равенства, включающие суммы по гипергеометрическим членам, т. е. коэффициентам, встречающимся в гипергеометрических рядах . Эти тождества часто встречаются в решениях комбинаторных задач, а также при анализе алгоритмов .

Эти тождества традиционно находились «вручную». Сейчас существует несколько алгоритмов, которые могут найти и доказать все гипергеометрические тождества.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \выберите i}^{2}={2n \выберите n}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k{n \choose k}=n2^{n-1}}$

${\displaystyle \sum _{i=n}^{N}i{i \выбрать n}=(n+1){N+2 \выбрать n+2}-{N+1 \выбрать n+1}}$

Существует два определения гипергеометрических терминов, оба используются в разных случаях, как поясняется ниже. См. также гипергеометрические ряды .

Термин t _k является гипергеометрическим термином, если

${\displaystyle {\frac {t_{k+1}}{t_{k}}}}$

является рациональной функцией от k .

Термин F(n,k) является гипергеометрическим термином, если

${\displaystyle {\frac {F(n,k+1)}{F(n,k)}}}$

является рациональной функцией от k .

Существуют два типа сумм по гипергеометрическим термам: определенные и неопределенные суммы. Определенная сумма имеет вид

${\displaystyle \sum _{k}t_{k}.}$

Неопределенная сумма имеет вид

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}F(n,k).}$

Хотя в прошлом были найдены доказательства для многих конкретных тождеств, существует несколько общих алгоритмов для поиска и доказательства тождеств. Эти алгоритмы сначала находят простое выражение для суммы по гипергеометрическим термам, а затем предоставляют сертификат, который любой может использовать для проверки и доказательства правильности тождества.

Для каждого из типов гипергеометрических сумм существует один или несколько методов нахождения простого выражения . Эти методы также предоставляют сертификат для проверки доказательства идентичности:

• Определенные суммы : Метод сестры Селин , Алгоритм Зейльбергера
• Неопределенные суммы : алгоритм Госпера

В книге «A = B» Марко Петковшека , Герберта Вилфа и Дорона Зейлбергера описываются три основных подхода, упомянутых выше.

• Таблица рядов Ньютона

• Книгу «А = Б» можно бесплатно скачать в Интернете.
• Примеры специальных функций на exampleproblems.com