Таблица рядов Ньютона

В математике ряд Ньютона , названный в честь Исаака Ньютона , представляет собой сумму последовательности , записанную в форме${\displaystyle а_{н}}$

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-s)_{n}}{n!}}a_{n}}$

где

${\displaystyle {s \выберите n}}$

— биномиальный коэффициент , — падающий факториал . Ряды Ньютона часто появляются в соотношениях формы, наблюдаемой в теневом исчислении .${\displaystyle (s)_{n}}$

Обобщенная биномиальная теорема дает

${\displaystyle (1+z)^{s}=\sum _{n=0}^{\infty }{s \выбрать n}z^{n}=1+{s \выбрать 1}z+{s \выбрать 2}z^{2}+\cdots .}$

Доказательство этого тождества можно получить, показав, что оно удовлетворяет дифференциальному уравнению

${\displaystyle (1+z){\frac {d(1+z)^{s}}{dz}}=s(1+z)^{s}.}$

Дигамма -функция :

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}{s \выберите n}.}$

Числа Стирлинга второго рода определяются конечной суммой

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{kj}{k \choose j}j^{n}.}$

Эта формула является частным случаем k-й прямой разности монома x ^{n ,} вычисленной при  x  = 0:

${\displaystyle \Delta ^{k}x^{n}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{kj}{k \choose j}(x+j)^{n}.}$

Связанное тождество образует основу интеграла Нёрлунда–Райса :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {(-1)^{nk}}{sk}}={\frac {n!}{s(s-1)(s-2)\cdots (sn)}}={\frac {\Gamma (n+1)\Gamma (sn)}{\Gamma (s+1)}}=B(n+1,sn),s\notin \{0,\ldots ,n\}}$

где — гамма-функция , — бета-функция .${\displaystyle \Гамма (x)}$${\displaystyle B(x,y)}$

Тригонометрические функции имеют следующие тождества:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose 2n}=2^{s/2}\cos {\frac {\pi s}{4}}}$

и

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose 2n+1}=2^{s/2}\sin {\frac {\pi s}{4}}}$

Теневая природа этих тождеств становится немного яснее, если записать их в терминах падающего факториала . Первые несколько членов ряда sin являются${\displaystyle (s)_{n}}$

${\displaystyle s-{\frac {(s)_{3}}{3!}}+{\frac {(s)_{5}}{5!}}-{\frac {(s)_{7}}{7!}}+\cdots }$

который можно распознать как ряд Тейлора для sin  x , где ( s ) _n стоит вместо  x ⁿ .

В аналитической теории чисел представляет интерес суммирование

${\displaystyle \!\sum _{k=0}B_{k}z^{k},}$

где B — числа Бернулли . Используя производящую функцию, ее борелевскую сумму можно оценить как

${\displaystyle \sum _{k=0}B_{k}z^{k}=\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\frac {tz}{e^{tz}-1}}\,dt=\sum _{k=1}{\frac {z}{(kz+1)^{2}}}.}$

Общее соотношение дает ряд Ньютона

${\displaystyle \sum _{k=0}{\frac {B_{k}(x)}{z^{k}}}{\frac {1-s \choose k}{s-1}}=z^{s-1}\zeta (s,x+z),}$^{[ необходима ссылка ]}

где — дзета-функция Гурвица и полином Бернулли . Ряд не сходится, формально тождество выполняется.${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle B_{k}(x)}$

Другое тождество — это которое сходится при . Это следует из общей формы ряда Ньютона для равноотстоящих узлов (когда он существует, т.е. сходится)${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{x-a \choose k}\sum _{j=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-j}}{\Gamma (a+j)}}{k \choose j},}$${\displaystyle x>a}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{{\frac {x-a}{h}} \choose k}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}f(a+jh).}$

• Биномиальное преобразование
• Список тем по факториалу и биному
• Интеграл Нёрлунда–Райса
• Теорема Карлсона

• Филипп Флажоле и Роберт Седжвик, «Преобразования Меллина и асимптотика: конечные разности и интегралы Райса ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} », Теоретическая информатика 144 (1995) стр. 101–124.