Дифференциал первого рода

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив ссылки на дополнительные источники . Найти источники:  «Дифференциал первого рода» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2022 г. )

В математике дифференциал первого рода — традиционный термин , используемый в теориях римановых поверхностей (в более общем смысле, комплексных многообразий ) и алгебраических кривых (в более общем смысле, алгебраических многообразий ) для всюду регулярных дифференциальных 1-форм . Для комплексного многообразия M дифференциал первого рода ω — это то же самое, что и 1-форма, которая всюду голоморфна ; на алгебраическом многообразии V, которое не является особым, это было бы глобальным сечением когерентного пучка Ω ¹ кэлеровых дифференциалов . В любом случае определение берет свое начало в теории абелевых интегралов .

Размерность пространства дифференциалов первого рода, посредством этого отождествления, есть число Ходжа

ч ^1,0 .

Дифференциалы первого рода при интегрировании по траекториям приводят к интегралам, которые обобщают эллиптические интегралы на все кривые над комплексными числами . К ним относятся, например, гиперэллиптические интегралы типа

${\displaystyle \int {\frac {x^{k}\,dx}{\sqrt {Q(x)}}}}$

где Q — бесквадратный многочлен любой заданной степени > 4. Допустимая степень k должна быть определена путем анализа возможного полюса в точке на бесконечности на соответствующей гиперэллиптической кривой . Когда это сделано, обнаруживается, что условие имеет вид

к ≤ г − 1,

или, другими словами, k не более 1 для степени Q 5 или 6, не более 2 для степени 7 или 8 и т. д. (так как g = [(1+ deg Q )/2]).

В общем случае, как показывает этот пример, для компактной римановой поверхности или алгебраической кривой число Ходжа равно роду g . Для случая алгебраических поверхностей это величина, известная в классическом смысле как нерегулярность q . Это также, в общем случае, размерность многообразия Альбанезе , которое занимает место многообразия Якоби .

Традиционная терминология также включала дифференциалы второго рода и третьего рода . Идея, стоящая за этим, была поддержана современными теориями алгебраических дифференциальных форм, как со стороны теории Ходжа , так и посредством использования морфизмов в коммутативные алгебраические группы .

Дзета-функция Вейерштрасса была названа интегралом второго рода в теории эллиптических функций ; это логарифмическая производная тета -функции , и поэтому имеет простые полюса с целыми вычетами. Разложение ( мероморфной ) эллиптической функции на части «трех видов» параллельно представлению в виде (i) константы, плюс (ii) линейной комбинации трансляций дзета-функции Вейерштрасса, плюс (iii) функции с произвольными полюсами, но без вычетов в них.

Тот же тип разложения существует в общем случае, mutatis mutandis , хотя терминология не полностью согласована. В теории алгебраических групп ( обобщенный якобиан ) три вида — это абелевы многообразия , алгебраические торы и аффинные пространства , а разложение осуществляется в терминах композиционного ряда .

С другой стороны, мероморфный абелев дифференциал второго рода традиционно был дифференциалом с вычетами на всех полюсах, равными нулю. Дифференциал третьего рода — это дифференциал, в котором все полюса простые. Существует более многомерный аналог, использующий вычет Пуанкаре .

• Логарифмическая форма

• «Абелев дифференциал», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]