Комплексная дифференциальная форма

В математике комплексная дифференциальная форма — это дифференциальная форма на многообразии (обычно комплексном многообразии ), которой разрешено иметь комплексные коэффициенты.

Комплексные формы имеют широкое применение в дифференциальной геометрии . На комплексных многообразиях они являются фундаментальными и служат основой для большей части алгебраической геометрии , кэлеровой геометрии и теории Ходжа . На некомплексных многообразиях они также играют роль в изучении почти комплексных структур , теории спиноров и CR-структур .

Обычно комплексные формы рассматриваются из-за некоторого желательного разложения, которое формы допускают. На комплексном многообразии, например, любая комплексная k -форма может быть разложена единственным образом в сумму так называемых ( p ,  q )-форм : грубо говоря, клиньев из p дифференциалов голоморфных координат с q дифференциалами их комплексно сопряженных. Ансамбль ( p ,  q )-форм становится примитивным объектом изучения и определяет более тонкую геометрическую структуру на многообразии, чем k -формы. Даже более тонкие структуры существуют, например, в случаях, когда применяется теория Ходжа .

Предположим, что M — комплексное многообразие комплексной размерности n . Тогда имеется локальная система координат, состоящая из n комплекснозначных функций z ¹ , ..., z ^{n ,} такая, что координатные переходы от одного участка к другому являются голоморфными функциями этих переменных. Пространство комплексных форм несет богатую структуру, зависящую в основном от того факта, что эти функции перехода являются голоморфными, а не просто гладкими .

Начнем со случая 1-форм. Сначала разложим комплексные координаты на их действительную и мнимую части: z ^j = x ^j + iy ^j для каждого j . Положим

${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},}$

видно, что любая дифференциальная форма с комплексными коэффициентами может быть записана однозначно в виде суммы

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).}$

Пусть Ω ^1,0 — пространство комплексных дифференциальных форм, содержащих только 's, а Ω ^0,1 — пространство форм, содержащих только 's. Можно показать с помощью уравнений Коши–Римана , что пространства Ω ^1,0 и Ω ^0,1 устойчивы относительно голоморфных замен координат. Другими словами, если сделать другой выбор w _i голоморфной системы координат, то элементы Ω ^1,0 преобразуются тензорно , как и элементы Ω ^0,1 . Таким образом, пространства Ω ^0,1 и Ω ^1,0 определяют комплексные векторные расслоения на комплексном многообразии.${\displaystyle dz}$${\displaystyle d{\bar {z}}}$

Произведение клина комплексных дифференциальных форм определяется так же, как и с вещественными формами. Пусть p и q — пара неотрицательных целых чисел ≤ n . Пространство Ω ^p,q ( p ,  q )-форм определяется путем взятия линейных комбинаций произведений клина p элементов из Ω ^1,0 и q элементов из Ω ^0,1 . Символически,

${\displaystyle \Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}} _{p{\text{ раз}}}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} _{q{\text{ раз}}}}$

где есть p факторов Ω ^1,0 и q факторов Ω ^0,1 . Так же, как и два пространства 1-форм, они устойчивы относительно голоморфных изменений координат и, таким образом, определяют векторные расслоения.

Если E ^k — пространство всех комплексных дифференциальных форм полной степени k , то каждый элемент E ^k может быть выражен единственным образом как линейная комбинация элементов из пространств Ω ^p,q с p + q = k . Более кратко, существует разложение в прямую сумму

${\displaystyle E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.}$

Поскольку это разложение прямой суммы устойчиво при голоморфных изменениях координат, оно также определяет разложение векторного расслоения.

В частности, для каждого k и каждого p и q с p + q = k существует каноническая проекция векторных расслоений

${\displaystyle \pi ^{p,q}:E^{k} \rightarrow \Omega ^{p,q}.}$

Обычная внешняя производная определяет отображение сечений через${\displaystyle d:\Omega ^{r}\to \Omega ^{r+1}}$

${\displaystyle d(\Omega ^{p,q})\subseteq \bigoplus _{r+s=p+q+1}\Omega ^{r,s}}$

Внешняя производная сама по себе не отражает более жесткую сложную структуру коллектора.

Используя d и проекции, определенные в предыдущем подразделе, можно определить операторы Дольбо :

${\displaystyle \partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial }}=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}}$

Чтобы описать эти операторы в локальных координатах, пусть

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}}$

где I и J — мультииндексы . Тогда

${\displaystyle \partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.}$

Видно, что выполняются следующие свойства:

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$

${\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.}$

Эти операторы и их свойства составляют основу когомологий Дольбо и многих аспектов теории Ходжа .

На звездообразной области комплексного многообразия операторы Дольбо имеют двойственные гомотопические операторы ^[1] , которые получаются в результате расщепления гомотопического оператора для . ^[1] Это содержание леммы Пуанкаре о комплексном многообразии.${\displaystyle d}$

Лемма Пуанкаре для и может быть улучшена далее до локальной -леммы , которая показывает, что каждая -точная комплексная дифференциальная форма на самом деле является -точной. На компактных кэлеровых многообразиях справедлива глобальная форма локальной -леммы, известная как -лемма . Она является следствием теории Ходжа и утверждает, что комплексная дифференциальная форма, которая является глобально -точной (другими словами, класс которой в когомологиях де Рама равен нулю), является глобально -точной.${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Для каждого p голоморфная p -форма является голоморфным сечением расслоения Ω ^p , ⁰ . Тогда в локальных координатах голоморфная p -форма может быть записана в виде

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}}$

где являются голоморфными функциями. Эквивалентно и в силу независимости комплексного сопряжения ( p , 0)-форма α голоморфна тогда и только тогда, когда${\displaystyle f_{I}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0.}$

Пучок голоморфных p -форм часто записывается как Ω p ^, хотя иногда это может приводить к путанице, поэтому многие авторы склонны принимать альтернативную запись.

• комплекс Дольбо
• Спектральная последовательность Фрёлихера
• Дифференциал первого рода

• P. Griffiths ; J. Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry . Wiley Classics Library. Wiley Interscience. стр.  23–25 . ISBN 0-471-05059-8.
• Уэллс, РО (1973). Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.
• Voisin, Claire (2008). Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия I. Cambridge University Press. ISBN 978-0521718011.