Гиперкуб

В геометрии гиперкуб — ​​это n -мерный аналог квадрата ( n = 2 ) и куба ( n = 3 ); частный случай для n = 4 известен как тессеракт . Это замкнутая , компактная , выпуклая фигура, 1- скелет которой состоит из групп противоположных параллельных отрезков, выровненных в каждом из измерений пространства , перпендикулярных друг другу и имеющих одинаковую длину. Самая длинная диагональ единичного гиперкуба в n измерениях равна .${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

n -мерный гиперкуб чаще называют n -кубом или иногда n -мерным кубом . ^{[1] [2]} Термин мерный многогранник (первоначально от Элте, 1912) ^[3] также используется, особенно в работе HSM Coxeter, который также называет гиперкубы γ n -многогранниками. ^[4]

Гиперкуб является частным случаем гиперпрямоугольника ( также называемого n-ортотопом ).

Единичный гиперкуб — ​​это гиперкуб, сторона которого имеет длину одну единицу . Часто гиперкуб, углы (или вершины ) которого являются 2 ⁿ точками в R ⁿ с каждой координатой, равной 0 или 1, называют единичным гиперкубом.

Гиперкуб можно определить, увеличив число измерений фигуры:

0 – Точка представляет собой гиперкуб размерности ноль.

1 – Если переместить эту точку на одну единицу длины, она очертит отрезок прямой, который является единичным гиперкубом размерности один.

2 – Если переместить этот отрезок прямой на его длину в перпендикулярном направлении от себя, то получится двумерный квадрат.

3 – Если переместить квадрат на одну единицу длины в направлении, перпендикулярном плоскости, на которой он лежит, получится трехмерный куб.

4 – Если переместить куб на одну единицу длины в четвертое измерение, получится 4-мерный единичный гиперкуб (единичный тессеракт ).

Это можно обобщить на любое количество измерений. Этот процесс выметания объемов можно формализовать математически как сумму Минковского : d -мерный гиперкуб является суммой Минковского d взаимно перпендикулярных отрезков единичной длины и, следовательно, является примером зонотопа .

1- скелет гиперкуба представляет собой граф гиперкуба .

Единичный гиперкуб размерности — это выпуклая оболочка всех точек , декартовы координаты которых равны либо , либо . Эти точки являются его вершинами . Гиперкуб с этими координатами также является декартовым произведением копий единичного интервала . Другой единичный гиперкуб, центрированный в начале координат окружающего пространства, может быть получен из этого путем переноса . Это выпуклая оболочка точек, векторы декартовых координат которых равны${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]^{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle 2^{n}}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\cdots ,\pm {\frac {1}{2}}\right)\!\!.}$

Здесь символ означает, что каждая координата либо равна, либо . Этот единичный гиперкуб также является декартовым произведением . Любой единичный гиперкуб имеет длину ребра и -мерный объем .${\displaystyle \pm}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle -1/2}$${\displaystyle [-1/2,1/2]^{n}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1}$

-мерный гиперкуб, полученный как выпуклая оболочка точек с координатами или, что то же самое, как декартово произведение, также часто рассматривается из-за более простой формы координат его вершин. Длина его ребра равна , а -мерный объем равен .${\displaystyle n}$${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)}$${\displaystyle [-1,1]^{n}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$

Каждый гиперкуб допускает в качестве своих граней гиперкубы меньшей размерности, содержащиеся в его границе. Гиперкуб размерности допускает грани или грани размерности : ( -мерный) отрезок прямой имеет конечные точки; ( -мерный) квадрат имеет стороны или ребра; ( -мерный) куб имеет квадратные грани; ( -мерный) тессеракт имеет трехмерные кубы в качестве своих граней. Число вершин гиперкуба размерности равно ( например , обычный, -мерный куб имеет вершины). ^[5]${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 8}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2^{3}=8}$

Число -мерных гиперкубов (далее просто -кубов), содержащихся в границах -куба, равно${\displaystyle м}$${\displaystyle м}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle E_{m,n}=2^{nm}{n \выберите m}}$, ^[6]     где и обозначает факториал числа .${\displaystyle {n \выберите m}={\frac {n!}{m!\,(нм)!}}}$${\displaystyle н!}$${\displaystyle n}$

Например, граница -куба ( ) содержит кубы ( -кубы), квадраты ( -кубы), отрезки прямых ( -кубы) и вершины ( -кубы). Это тождество можно доказать простым комбинаторным аргументом: для каждой вершины гиперкуба существуют способы выбрать набор ребер, инцидентных этой вершине. Каждый из этих наборов определяет одну из -мерных граней, инцидентных рассматриваемой вершине. Делая это для всех вершин гиперкуба, каждая из -мерных граней гиперкуба подсчитывается раз, поскольку она имеет столько вершин, и нам нужно разделить на это число.${\displaystyle 4}$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle 8}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 24}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 32}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 16}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$${\displaystyle м}$${\displaystyle м}$${\displaystyle м}$${\displaystyle 2^{м}}$${\displaystyle 2^{n}{\tbinom {n}{m}}}$

Число граней гиперкуба можно использовать для вычисления -мерного объема его границы: этот объем в раз больше объема -мерного гиперкуба; то есть, где — длина ребер гиперкуба.${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle 2ns^{n-1}}$${\displaystyle с}$

Эти числа также можно получить с помощью линейного рекуррентного соотношения .

${\displaystyle E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}\!}$, с , и когда , , или .${\displaystyle E_{0,0}=1}$${\displaystyle E_{м,н}=0}$${\displaystyle n<м}$${\displaystyle n<0}$${\displaystyle м<0}$

Например, расширение квадрата через его 4 вершины добавляет один дополнительный сегмент линии (ребро) на вершину. Добавление противоположного квадрата для формирования куба дает сегменты линии. ${\displaystyle E_{1,3}=12}$

Расширенный f-вектор для n -куба также можно вычислить путем расширения (кратко, (2,1) ⁿ ), и считывания коэффициентов полученного полинома . Например, элементы тессеракта - (2,1) ⁴ = (4,4,1) ² = (16,32,24,8,1).${\displaystyle (2x+1)^{n}}$

Число -мерных граней -мерного гиперкуба (последовательность A038207 в OEIS )${\displaystyle E_{м,н}}$${\displaystyle м}$${\displaystyle n}$

			м	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
н	n- куб	Имена	Шлефли Коксетер	Вершина 0-грань	Край 1-гранный	Лицо 2-лицо	Клетка 3-х гранная	4-х сторонний	5-гранный	6-гранный	7-гранный	8-гранный	9-гранный	10-гранный
0	0-куб	Точка Монон	( )	1
1	1-куб	Отрезок прямой Дион [7]	{}	2	1
2	2-кубовый	Квадратный Тетрагон	{4}	4	4	1
3	3-кубовый	Куб- шестигранник	{4,3}	8	12	6	1
4	4-кубовый	Тессеракт Октахорон	{4,3,3}	16	32	24	8	1
5	5-кубовый	Пентеракт Дека-5-топ	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	6-кубовый	Гексеракт Додека-6-топ	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	7-кубовый	Гептеракт Тетрадека-7-топ	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	8-кубовый	Октеракт Гексадека-8-топ	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	9-кубовый	Enneract Octadeca-9-tope	{4,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	10-кубовый	Dekeract Icosa-10-топ	{4,3,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Куб размером n может быть спроецирован внутрь правильного 2 n -угольного многоугольника с помощью косой ортогональной проекции , показанной здесь из отрезка прямой на 16-куб.

Ортогональные проекции полигона Петри

Сегмент линии	Квадрат	Куб	Тессеракт
5-кубовый	6-кубовый	7-кубовый	8-кубовый
9-кубовый	10-кубовый	11-куб	12-кубовый
13-куб	14-кубовый	15-кубовый

Гиперкубы являются одним из немногих семейств правильных многогранников , которые представлены в любом количестве измерений. ^[8]

Семейство гиперкубов (смещенных) является одним из трех семейств правильных многогранников , обозначенных Коксетером как γ _n . Два других — это двойственное семейство гиперкуба, кросс-политопы , обозначенные как β _{n ,} и симплексы , обозначенные как α _n . Четвертое семейство, бесконечные мозаики гиперкубов , обозначены как δ _n .

Другое родственное семейство полуправильных и однородных многогранников — это полугиперкубы , которые построены из гиперкубов с удаленными чередующимися вершинами и добавленными в зазоры симплексными гранями, обозначенными как hγ _n .

n -кубы можно объединить с их двойственными ( кросс-политопами ) для образования составных многогранников:

• В двух измерениях мы получаем восьмиугольную звездную фигуру {8/2},
• В трех измерениях мы получаем соединение куба и октаэдра ,
• В четырех измерениях получаем соединение тессеракта и 16-ячейки.

Граф ребер n -гиперкуба изоморфен диаграмме Хассе решетки граней ( n −1 ) -симплекса . Это можно увидеть, ориентируя n -гиперкуб так, чтобы две противоположные вершины лежали вертикально, соответствуя самому ( n −1)-симплексу и нулевому многограннику соответственно. Каждая вершина, соединенная с верхней вершиной, затем однозначно отображается в одну из граней ( n −1)-симплекса ( n −2 граней), а каждая вершина, соединенная с этими вершинами, отображается в одну из n −3 граней симплекса и так далее, а вершины, соединенные с нижней вершиной, отображаются в вершины симплекса.

Это соотношение можно использовать для эффективного построения решетки граней ( n −1)-симплекса, поскольку алгоритмы перечисления решетки граней, применимые к общим многогранникам, требуют больших вычислительных затрат.

Правильные комплексные многогранники могут быть определены в комплексном гильбертовом пространстве, называемом обобщенными гиперкубами , γ^п
_н= _п {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ , или... Действительные решения существуют при p = 2, т.е. γ²
_н= γ _n = ₂ {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ = {4,3,..,3}. Для p > 2 они существуют в . Грани являются обобщенным ( n −1)-кубом, а вершинные фигуры являются правильными симплексами .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Периметр правильного многоугольника, видимый в этих ортогональных проекциях, называется многоугольником Петри . Обобщенные квадраты ( n = 2) показаны с краями, очерченными красными и синими чередующимися p -ребрами, в то время как более высокие n -кубы нарисованы с черными p -ребрами.

Число m -гранных элементов в p -обобщенном n- кубе равно: . Это p ⁿ вершин и pn граней. ^[9]${\displaystyle p^{nm}{n \выберите m}}$

Обобщенные гиперкубы

	р =2		р =3	р =4	р =5	р =6	р =7	р =8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$	γ2 2= {4} = 4 вершины	${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$	γ3 2= 9 вершин	γ4 2= 16 вершин	γ5 2= 25 вершин	γ6 2= 36 вершин	γ7 2= 49 вершин	γ8 2= 64 вершины
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	γ2 3= {4,3} = 8 вершин	${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	γ3 3= 27 вершин	γ4 3= 64 вершины	γ5 3= 125 вершин	γ6 3= 216 вершин	γ7 3= 343 вершины	γ8 3= 512 вершин
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	γ2 4= {4,3,3} = 16 вершин	${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	γ3 4= 81 вершина	γ4 4= 256 вершин	γ5 4= 625 вершин	γ6 4= 1296 вершин	γ7 4= 2401 вершина	γ8 4= 4096 вершин
${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$	γ2 5= {4,3,3,3} = 32 вершины	${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$	γ3 5= 243 вершины	γ4 5= 1024 вершины	γ5 5= 3125 вершин	γ6 5= 7776 вершин	γ7 5= 16,807 вершин	γ8 5= 32,768 вершин
${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$	γ2 6= {4,3,3,3,3} = 64 вершины	${\displaystyle \mathbb {C} ^{6}}$	γ3 6= 729 вершин	γ4 6= 4096 вершин	γ5 6= 15,625 вершин	γ6 6= 46,656 вершин	γ7 6= 117,649 вершин	γ8 6= 262,144 вершины
${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$	γ2 7= {4,3,3,3,3,3} = 128 вершин	${\displaystyle \mathbb {C} ^{7}}$	γ3 7= 2187 вершин	γ4 7= 16,384 вершин	γ5 7= 78,125 вершин	γ6 7= 279,936 вершин	γ7 7= 823,543 вершины	γ8 7= 2,097,152 вершины
${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$	γ2 8= {4,3,3,3,3,3,3} = 256 вершин	${\displaystyle \mathbb {C} ^{8}}$	γ3 8= 6561 вершина	γ4 8= 65,536 вершин	γ5 8= 390,625 вершин	γ6 8= 1,679,616 вершин	γ7 8= 5,764,801 вершин	γ8 8= 16,777,216 вершин

Любое положительное целое число, возведенное в другую положительную целую степень, даст третье целое число, причем это третье целое число будет определенным типом фигурного числа, соответствующего n -кубу с числом измерений, соответствующим экспоненте. Например, показатель 2 даст квадратное число или «совершенный квадрат», который может быть организован в квадратную форму с длиной стороны, соответствующей длине основания. Аналогично показатель 3 даст совершенный куб , целое число, которое может быть организовано в форму куба с длиной стороны основания. В результате, действие по возведению числа в степень 2 или 3 чаще называют « возведением в квадрат » и «возведением в куб» соответственно. Однако названия гиперкубов более высокого порядка, по-видимому, не являются общепринятыми для более высоких степеней.

• Гиперкубическая сеть взаимосвязей компьютерной архитектуры
• Гипероктаэдрическая группа , группа симметрии гиперкуба
• Гиперсфера
• Симплекс
• Параллелотоп
• Распятие (Corpus Hypercubus) (знаменитое произведение искусства)

• Bowen, JP (апрель 1982 г.). "Гиперкуб". Practical Computing . 5 (4): 97–99. Архивировано из оригинала 2008-06-30 . Получено 30 июня 2008 г.
• Coxeter, HSM (1973). "§7.2. см. иллюстрацию Рис. 7-2c". Регулярные многогранники (3-е изд.). Dover . стр. 122-123. ISBN 0-486-61480-8.стр. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n измерениях ( n  ≥ 5)
• Хилл, Фредерик Дж.; Джеральд Р. Петерсон (1974). Введение в теорию коммутации и логическое проектирование: Второе издание . Нью-Йорк: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-39882-9.См. главу 7.1 «Кубическое представление булевых функций», в которой вводится понятие «гиперкуба» как средства демонстрации кода расстояния 1 ( кода Грея ) как вершин гиперкуба, а затем гиперкуб с его вершинами, помеченными таким образом, сжимается в два измерения, образуя либо диаграмму Вейтча , либо карту Карно .

На Викискладе есть медиафайлы по теме Гиперкубы .

• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперкуб». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Графы гиперкуба". MathWorld .
• Вращение гиперкуба , автор Энрике Зелени, проект Wolfram Demonstrations .
• Загрузки Hypercube Руди Ракера и Фариде Дормишян
• A001787 Количество ребер в n-мерном гиперкубе. в OEIS