Теорема Гильберта 90

В абстрактной алгебре теорема Гильберта 90 (или Satz 90 ) является важным результатом о циклических расширениях полей (или к одному из ее обобщений), который приводит к теории Куммера . В своей самой базовой форме она утверждает, что если L / K является расширением полей с циклической группой Галуа G  = Gal( L / K ), порожденной элементом , и если является элементом L относительной нормы 1, то есть ${\displaystyle \сигма,}$${\displaystyle а}$

${\displaystyle N(a):=a\,\сигма (a)\,\сигма ^{2}(a)\cdots \сигма ^{n-1}(a)=1,}$

то существует в L такое, что${\displaystyle б}$

${\displaystyle a=b/\сигма (b).}$

Теорема получила свое название от того факта, что это 90-я теорема в «Зальберихте» Давида Гильберта ( Hilbert 1897, 1998), хотя первоначально она была сформулирована Куммером  (1855, стр. 213, 1861).

 Часто так называют более общую теорему, принадлежащую Эмми Нётер (1933), которая гласит, что если L / K — конечное расширение Галуа полей с произвольной группой Галуа G  = Gal( L / K ), то первая группа когомологий G с коэффициентами в мультипликативной группе L тривиальна:

${\displaystyle H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.}$

Пусть — квадратичное расширение . Группа Галуа циклическая порядка 2, ее генератор действует посредством сопряжения:${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q} }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma :c+di\mapsto c-di.}$

Элемент в имеет норму . Элемент нормы один, таким образом, соответствует рациональному решению уравнения или, другими словами, точке с рациональными координатами на единичной окружности . Теорема Гильберта 90 затем утверждает, что каждый такой элемент a нормы один может быть записан как${\displaystyle a=x+yi}$${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$${\displaystyle a\sigma (a)=x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle a={\frac {c-di}{c+di}}={\frac {c^{2}-d^{2}}{c^{2}+d^{2}}}-{\frac {2cd}{c^{2}+d^{2}}}i,}$

где есть как в заключении теоремы, а c и d — оба целые числа. Это можно рассматривать как рациональную параметризацию рациональных точек на единичной окружности. Рациональные точки на единичной окружности соответствуют пифагорейским тройкам , т.е. тройкам целых чисел, удовлетворяющих .${\displaystyle b=c+di}$${\displaystyle (x,y)=(p/r,q/r)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle (p,q,r)}$${\displaystyle p^{2}+q^{2}=r^{2}}$

Теорему можно сформулировать в терминах групповых когомологий : если L ^× — мультипликативная группа любого (не обязательно конечного) расширения Галуа L поля K с соответствующей группой Галуа G , то

${\displaystyle H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.}$

В частности, когомологии групп — это когомологии комплекса , чьи i- коцепи являются произвольными функциями от i -кортежей элементов группы до мультипликативной группы коэффициентов , с дифференциалами, определяемыми в размерностях следующим образом:${\displaystyle C^{i}(G,L^{\times })=\{\phi :G^{i}\to L^{\times }\}}$${\displaystyle d^{i}:C^{i}\to C^{i+1}}$${\displaystyle i=0,1}$

${\displaystyle (d^{0}(b))(\sigma )=b/b^{\sigma },\quad {\text{ and }}\quad (d^{1}(\phi ))(\sigma ,\tau )\,=\,\phi (\sigma )\phi (\tau )^{\sigma }/\phi (\sigma \tau ),}$

где обозначает образ элемента -модуля под действием элемента группы . Обратите внимание, что в первом из них мы идентифицировали 0- коцепь с ее уникальным значением образа . Тривиальность первой группы когомологий тогда эквивалентна тому, что 1-коциклы равны 1-кограницам , а именно:${\displaystyle x^{g}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma _{b}:G^{0}=id_{G}\to L^{\times }}$${\displaystyle b\in L^{\times }}$${\displaystyle Z^{1}}$${\displaystyle B^{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}Z^{1}&=&\ker d^{1}&=&\{\phi \in C^{1}{\text{ satisfying }}\,\,\forall \sigma ,\tau \in G\,\colon \,\,\phi (\sigma \tau )=\phi (\sigma )\,\phi (\tau )^{\sigma }\}\\{\text{ is equal to }}\\B^{1}&=&{\text{im }}d^{0}&=&\{\phi \in C^{1}\ \,\colon \,\,\exists \,b\in L^{\times }{\text{ such that }}\phi (\sigma )=b/b^{\sigma }\ \ \forall \sigma \in G\}.\end{array}}}$

Для циклического 1-коцикл определяется как , с и:${\displaystyle G=\{1,\sigma ,\ldots ,\sigma ^{n-1}\}}$${\displaystyle \phi (\sigma )=a\in L^{\times }}$${\displaystyle \phi (\sigma ^{i})=a\,\sigma (a)\cdots \sigma ^{i-1}(a)}$

${\displaystyle 1=\phi (1)=\phi (\sigma ^{n})=a\,\sigma (a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=N(a).}$

С другой стороны, 1-кограница определяется как . Приравнивая их, получаем исходную версию теоремы. ${\displaystyle \phi (\sigma )=b/b^{\sigma }}$

Дальнейшее обобщение касается когомологий с неабелевыми коэффициентами : если H является либо общей , либо специальной линейной группой над L , включая , то${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(L)=L^{\times }}$

${\displaystyle H^{1}(G,H)=\{1\}.}$

Другое обобщение — схема X :

${\displaystyle H_{\text{et}}^{1}(X,\mathbb {G} _{m})=H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X),}$

где — группа классов изоморфизма локально свободных пучков -модулей ранга 1 для топологии Зарисского, а — пучок, определяемый аффинной прямой без начала координат, рассматриваемый как группа относительно умножения. ^[1]${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$

Существует еще одно обобщение К-теории Милнора , которое играет роль в доказательстве Воеводским гипотезы Милнора .

Пусть будет циклической степени и сгенерирует . Выберите любую из норм ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$${\displaystyle a\in L}$

${\displaystyle N(a):=a\sigma (a)\sigma ^{2}(a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=1.}$

Очищая знаменатели, решение равносильно показу, что имеет собственное значение. Мы расширяем это до карты -векторных пространств через${\displaystyle a=x/\sigma ^{-1}(x)\in L}$${\displaystyle a\sigma ^{-1}(\cdot ):L\to L}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\begin{cases}1_{L}\otimes a\sigma ^{-1}(\cdot ):L\otimes _{K}L\to L\otimes _{K}L\\\ell \otimes \ell '\mapsto \ell \otimes a\sigma ^{-1}(\ell ').\end{cases}}}$

Теорема о примитивном элементе дает для некоторых . Так как имеет минимальный многочлен ${\displaystyle L=K(\alpha )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f(t)=(t-\alpha )(t-\sigma (\alpha ))\cdots \left(t-\sigma ^{n-1}(\alpha )\right)\in K[t],}$

мы можем идентифицировать

${\displaystyle L\otimes _{K}L{\stackrel {\sim }{\to }}L\otimes _{K}K[t]/f(t){\stackrel {\sim }{\to }}L[t]/f(t){\stackrel {\sim }{\to }}L^{n}}$

с помощью

${\displaystyle \ell \otimes p(\alpha )\mapsto \ell \left(p(\alpha ),p(\sigma \alpha ),\ldots ,p(\sigma ^{n-1}\alpha )\right).}$

Здесь мы записали второй множитель как -полином от .${\displaystyle K}$${\displaystyle \alpha }$

При такой идентификации наша карта становится

${\displaystyle {\begin{cases}a\sigma ^{-1}(\cdot ):L^{n}\to L^{n}\\\ell \left(p(\alpha ),\ldots ,p(\sigma ^{n-1}\alpha ))\mapsto \ell (ap(\sigma ^{n-1}\alpha ),\sigma ap(\alpha ),\ldots ,\sigma ^{n-1}ap(\sigma ^{n-2}\alpha )\right).\end{cases}}}$

То есть под этой картой

${\displaystyle (\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})\mapsto (a\ell _{n},\sigma a\ell _{1},\ldots ,\sigma ^{n-1}a\ell _{n-1}).}$

${\displaystyle (1,\sigma a,\sigma a\sigma ^{2}a,\ldots ,\sigma a\cdots \sigma ^{n-1}a)}$является собственным вектором с собственным значением тогда и только тогда, когда имеет норму .${\displaystyle 1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 1}$

• Гильберт, Дэвид (1897), «Die Theorie der алгебраишен Zahlkörper», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), 4 : 175–546 , ISSN  0012-0456
• Гильберт, Дэвид (1998), Теория алгебраических числовых полей, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62779-1, г-н  1646901
• Куммер, Эрнст Эдуард (1855), «Über eine besondere Art, aus complexen Einheiten gebildeter Ausdrücke.», Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке), 50 : 212–232 , doi : 10.1515/crll.1855.50.212, ISSN  0075-4102
• Куммер, Эрнст Эдуард (1861), «Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist», Abdruck aus den Abhandlungen der KGL. Akademie der Wissenschaften zu Berlin (на немецком языке), перепечатано в томе 1 собрания его сочинений, страницы 699–839.
• Глава II книги Дж. С. Милна «Теория полей классов» , доступная на его веб-сайте [1].
• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR  1737196, Zbl  0948.11001
• Нётер, Эмми (1933), «Der Hauptgeschlechtssatz für relativ-galoissche Zahlkörper.», Mathematische Annalen (на немецком языке), 108 (1): 411–419 , doi : 10.1007/BF01452845, ISSN  0025-5831, Zbl  0007.29501
• Снайт, Виктор П. (1994), Структура модуля Галуа , монографии Института Филдса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0264-X, ЗБЛ  0830.11042

В Wikisource есть оригинальный текст, относящийся к этой статье:

Теорема Гильберта 90 в: Дэвид Гильберт, Gesammelte Abhandlungen, Erster Band