Теорема Хартогса о расширении

В теории функций многих комплексных переменных теорема Хартогса о продолжении является утверждением об особенностях голоморфных функций многих переменных. Неформально она утверждает, что носитель особенностей таких функций не может быть компактным , поэтому особое множество функции многих комплексных переменных должно (грубо говоря) «уходить в бесконечность» в некотором направлении. Точнее, она показывает, что изолированная особенность всегда является устранимой особенностью для любой аналитической функции n > 1 комплексных переменных. Первая версия этой теоремы была доказана Фридрихом Хартогсом ^[1], и как таковая она известна также как лемма Хартогса и принцип Хартогса : в более ранней советской литературе ^[2] она также называется теоремой Осгуда–Брауна , признавая более поздние работы Артура Бартона Брауна и Уильяма Фогга Осгуда . ^[3] Это свойство голоморфных функций многих переменных также называется феноменом Хартогса : однако выражение «феномен Хартогса» также используется для обозначения свойства решений систем уравнений в частных производных или сверток, удовлетворяющих теоремам типа Хартогса. ^[4]

Первоначальное доказательство было дано Фридрихом Хартогсом в 1906 году с использованием интегральной формулы Коши для функций нескольких комплексных переменных . ^[1] Сегодня обычные доказательства опираются либо на формулу Бохнера–Мартинелли–Коппельмана , либо на решение неоднородных уравнений Коши–Римана с компактным носителем. Последний подход принадлежит Леону Эренпрейсу , который инициировал его в статье (Ehrenpreis 1961). Еще одно очень простое доказательство этого результата было дано Гаэтано Фикерой в статье (Fichera 1957), с использованием его решения задачи Дирихле для голоморфных функций нескольких переменных и связанной с ним концепции CR-функции: ^[5] позже он распространил теорему на определенный класс частных дифференциальных операторов в статье (Fichera 1983), и его идеи позже были дополнительно исследованы Джулиано Братти. ^[6] Также японская школа теории частных дифференциальных операторов много работала над этой темой, с заметным вкладом Акиры Канеко. ^[7] Их подход заключается в использовании фундаментального принципа Эренпрайса .

Например, в двух переменных рассмотрим внутреннюю область

${\displaystyle H_{\varepsilon }=\{z=(z_{1},z_{2})\in \Delta ^{2}:|z_{1}|<\varepsilon \ \ {\text{or} }\ \ 1-\varepsilon <|z_{2}|\}}$

в двумерном полидиске, где${\displaystyle \Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2};|z_{1}|<1,|z_{2}|<1\}}$${\displaystyle 0<\varepsilon <1.}$

Теорема Хартогса (1906): Любая голоморфная функция на может быть аналитически продолжена до А именно, существует голоморфная функция на такая, что на ${\displaystyle f}$${\displaystyle H_{\varepsilon }}$${\displaystyle \Дельта ^{2}.}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \Дельта ^{2}}$${\displaystyle F=f}$${\displaystyle H_{\varepsilon }.}$

Такое явление называется явлением Хартогса , которое приводит к понятию теоремы Хартогса о расширении и области голоморфности .

Пусть f — голоморфная функция на множестве G  \  K , где G — открытое подмножество C ⁿ ( n ≥ 2 ), а K — компактное подмножество G. Если дополнение G  \  K связно, то f можно расширить до единственной голоморфной функции F на G. ^[8 ]

Доказательство Эренпрайса основано на существовании гладких выпуклых функций , единственном продолжении голоморфных функций и лемме Пуанкаре — последняя в том виде, что для любой гладкой и компактной дифференциальной (0,1)-формы ω на C ⁿ с ∂ ω = 0 существует гладкая и компактная функция η на C ⁿ с ∂ η = ω . Для справедливости этой леммы Пуанкаре требуется решающее предположение n ≥ 2 ; если n = 1, то, как правило, невозможно, чтобы η имела компактный носитель. ^[9]

Анзац для F — это φ f − v для гладких функций φ и v на G ; такое выражение имеет смысл при условии, что φ тождественно равно нулю, где f не определено (а именно на K ). Более того, для любой голоморфной функции на G , которая равна f на некотором открытом множестве, единственное продолжение (основанное на связности G  \  K ) показывает, что она равна f на всем G  \  K .

Голоморфность этой функции тождественна условию ∂ v = f ∂ φ . Для любой гладкой функции φ дифференциальная (0,1)-форма f ∂ φ является ∂ -замкнутой. Выбирая φ в качестве гладкой функции, которая тождественно равна нулю на K и тождественно равна единице на дополнении некоторого компактного подмножества L из G , эта (0,1)-форма дополнительно имеет компактный носитель, так что лемма Пуанкаре определяет подходящий v с компактным носителем. Это определяет F как голоморфную функцию на G ; остается только показать (следуя приведенным выше комментариям), что она совпадает с f на некотором открытом множестве.

На множестве C ⁿ  \  L v голоморфен, поскольку φ тождественно постоянен. Поскольку он равен нулю вблизи бесконечности, применяется единственное продолжение, чтобы показать, что он тождественно равен нулю на некотором открытом подмножестве G  \  L . ^[10] Таким образом, на этом открытом подмножестве F равен f , и часть существования теоремы Хартога доказана. Единственность автоматически следует из единственного продолжения, основанного на связности G .

Теорема не выполняется при n = 1. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть функцию f ( z ) = z ⁻¹ , которая, очевидно, голоморфна в C  \ {0}, но не может быть продолжена как голоморфная функция на всем C . Таким образом, явление Хартогса является элементарным явлением, подчеркивающим разницу между теорией функций одной и нескольких комплексных переменных.

• Чирка, Э.М. (2001) [1994], "Теорема Хартогса", Энциклопедия математики , EMS Press
• «несостоятельность теоремы Хартогса в одном измерении». PlanetMath .
• Теорема Хартогса на PlanetMath .
• Доказательство теоремы Хартогса на PlanetMath .