Гармоническая мера

В математике , особенно в теории потенциала , гармоническая мера — это понятие, связанное с теорией гармонических функций , которое возникает из решения классической задачи Дирихле .

Гармоническая мера — это выходное распределение броуновского движения.

В теории вероятностей гармоническая мера подмножества границы ограниченной области в евклидовом пространстве — это вероятность того, что броуновское движение, начавшееся внутри области, попадет в это подмножество границы. В более общем смысле гармоническая мера диффузии Ито X описывает распределение X при попадании на границу D. В комплексной плоскости гармоническая мера может использоваться для оценки модуля аналитической функции внутри области D при заданных ограничениях на модуль на границе области; частным случаем этого принципа является теорема Адамара о трех окружностях . В односвязных плоских областях существует тесная связь между гармонической мерой и теорией конформных отображений . Р н {\displaystyle R^{n}} н ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2}

Термин гармоническая мера был введен Рольфом Неванлинной в 1928 году для плоских областей, [1] [2] хотя Неванлинна отмечает, что эта идея неявно появилась в более ранних работах Йоханссона, Ф. Рисса, М. Рисса, Карлемана, Островского и Джулии (первоначальный порядок цитирования). Связь между гармонической мерой и броуновским движением была впервые выявлена ​​Какутани десять лет спустя в 1944 году. [3]

Определение

Пусть D — ограниченная открытая область в n - мерном евклидовом пространстве Rn , n  ≥ 2, и пусть ∂ D обозначает границу D. Любая непрерывная функция f  : ∂ D  →  R определяет единственную гармоническую функцию Hf , которая решает задачу Дирихле

{ − Δ ЧАС ф ( х ) = 0 , х ∈ Д ; ЧАС ф ( х ) = ф ( х ) , х ∈ ∂ Д . {\displaystyle {\begin{cases}-\Delta H_{f}(x)=0,&x\in D;\\H_{f}(x)=f(x),&x\in \partial D.\end{cases}}}

Если точка x  ∈  D фиксирована, то по теореме о представлении Рисса–Маркова–Какутани и принципу максимума H f ( x ) определяет вероятностную меру ω ( x ,  D ) на ∂ D по формуле

ЧАС ф ( х ) = ∫ ∂ Д ф ( у ) г ω ( х , Д ) ( у ) . {\displaystyle H_{f}(x)=\int _{\partial D}f(y)\,\mathrm {d} \omega (x,D)(y).}

Мера ω ( x ,  D ) называется гармонической мерой (области D с полюсом в точке x ).

Характеристики

  • Для любого борелевского подмножества E множества ∂ D гармоническая мера ω ( x ,  D )( E ) равна значению в точке x решения задачи Дирихле с граничными данными, равными индикаторной функции E .
  • Для фиксированного D и E  ⊆ ∂ D , ω ( x ,  D )( E ) является гармонической функцией x  ∈  D и
0 ≤ ω ( х , Д ) ( Э ) ≤ 1 ; {\displaystyle 0\leq \omega (x,D)(E)\leq 1;}
1 − ω ( х , Д ) ( Э ) = ω ( х , Д ) ( ∂ Д ∖ Э ) ; {\displaystyle 1-\omega (x,D)(E)=\omega (x,D)(\partial D\setminus E);}
Следовательно , для каждого x и D ω ( x ,  D ) является вероятностной мерой на ∂ D .
  • Если ω ( x ,  D )( E ) = 0 хотя бы в одной точке x из D , то тождественно равен нулю, и в этом случае говорят, что E является множеством гармонической меры ноль . Это следствие неравенства Гарнака . у ↦ ω ( у , Д ) ( Э ) {\displaystyle y\mapsto \omega (y,D)(E)}

Поскольку явные формулы для гармонической меры обычно отсутствуют, мы заинтересованы в определении условий, которые гарантируют, что множество имеет нулевую гармоническую меру.

  • Теорема Ф. и М. Рисса : [4] Если — односвязная плоская область, ограниченная спрямляемой кривой (т.е. если ), то гармоническая мера взаимно абсолютно непрерывна относительно длины дуги: для всех , тогда и только тогда, когда . Д ⊂ Р 2 {\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}} ЧАС 1 ( ∂ Д ) < ∞ {\displaystyle H^{1}(\partial D)<\infty } Э ⊂ ∂ Д {\displaystyle E\subset \partial D} ω ( Х , Д ) ( Э ) = 0 {\displaystyle \omega (X,D)(E)=0} ЧАС 1 ( Э ) = 0 {\displaystyle H^{1}(E)=0}
  • Теорема Макарова : [5] Пусть — односвязная плоская область. Если и для некоторых , то . Более того, гармоническая мера на D взаимно сингулярна относительно t -мерной меры Хаусдорфа для всех  t  > 1. Д ⊂ Р 2 {\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}} Э ⊂ ∂ Д {\displaystyle E\subset \partial D} ЧАС с ( Э ) = 0 {\displaystyle H^{s}(E)=0} с < 1 {\displaystyle с<1} ω ( х , Д ) ( Э ) = 0 {\displaystyle \omega (x,D)(E)=0}
  • Теорема Дальберга : [6] Если — ограниченная липшицева область , то гармоническая мера и ( n  − 1)-мерная мера Хаусдорфа взаимно абсолютно непрерывны: для всех , тогда и только тогда, когда . Д ⊂ Р н {\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}} Э ⊂ ∂ Д {\displaystyle E\subset \partial D} ω ( Х , Д ) ( Э ) = 0 {\displaystyle \omega (X,D)(E)=0} ЧАС н − 1 ( Э ) = 0 {\displaystyle H^{n-1}(E)=0}

Примеры

  • Если — единичный круг, то гармоническая мера с полюсом в начале координат — это мера длины на единичной окружности, нормализованная к вероятности, т.е. для всех , где обозначает длину . Д = { Х ∈ Р 2 : | Х | < 1 } {\displaystyle \mathbb {D} =\{X\in \mathbb {R} ^{2}:|X|<1\}} Д {\displaystyle \mathbb {D} } ω ( 0 , Д ) ( Э ) = | Э | / 2 π {\displaystyle \omega (0,\mathbb {D}) (E) = |E|/2\pi } Э ⊂ С 1 {\displaystyle E\subset S^{1}} | Э | {\displaystyle |E|} Э {\displaystyle E}
  • Если — единичный круг и , то для всех где обозначает меру длины на единичной окружности. Производная Радона–Никодима называется ядром Пуассона . Д {\displaystyle \mathbb {D} } Х ∈ Д {\displaystyle X\in \mathbb {D} } ω ( Х , Д ) ( Э ) = ∫ Э 1 − | Х | 2 | Х − В | 2 г ЧАС 1 ( В ) 2 π {\displaystyle \omega (X,\mathbb {D} )(E)=\int _{E}{\frac {1-|X|^{2}}{|XQ|^{2}}}{\frac {dH^{1}(Q)}{2\pi }}} Э ⊂ С 1 {\displaystyle E\subset S^{1}} ЧАС 1 {\displaystyle H^{1}} г ω ( Х , Д ) / г ЧАС 1 {\displaystyle d\omega (X,\mathbb {D} )/dH^{1}}
  • В более общем случае, если и является n -мерным единичным шаром, то гармоническая мера с полюсом в точке имеет место для всех , где обозначает поверхностную меру (( n  − 1)-мерную меру Хаусдорфа ) на единичной сфере и . н ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} Б н = { Х ∈ Р н : | Х | < 1 } {\displaystyle \mathbb {B} ^{n}=\{X\in \mathbb {R} ^{n}:|X|<1\}} Х ∈ Б н {\displaystyle X\in \mathbb {B} ^{n}} ω ( Х , Б н ) ( Э ) = ∫ Э 1 − | Х | 2 | Х − В | н г ЧАС н − 1 ( В ) σ н − 1 {\displaystyle \omega (X,\mathbb {B} ^{n})(E)=\int _{E}{\frac {1-|X|^{2}}{|XQ|^{n}}}{\frac {dH^{n-1}(Q)}{\sigma _{n-1}}}} Э ⊂ С н − 1 {\displaystyle E\subset S^{n-1}} ЧАС н − 1 {\displaystyle H^{n-1}} С н − 1 {\displaystyle S^{n-1}} ЧАС н − 1 ( С н − 1 ) = σ н − 1 {\displaystyle H^{n-1}(S^{n-1})=\сигма _{n-1}}
  • Гармоническая мера на односвязных плоских областях
    Если — односвязная плоская область, ограниченная жордановой кривой и X D , то для всех где — единственное отображение Римана , которое переводит начало координат в X , т. е . См. теорему Каратеодори . Д ⊂ Р 2 {\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}} ∈ {\displaystyle \в} ω ( Х , Д ) ( Э ) = | ф − 1 ( Э ) | / 2 π {\displaystyle \omega (X,D)(E)=|f^{-1}(E)|/2\pi } Э ⊂ ∂ Д {\displaystyle E\subset \partial D} ф : Д → Д {\displaystyle f:\mathbb {D} \rightarrow D} ф ( 0 ) = Х {\displaystyle f(0)=X}
  • Если область ограничена снежинкой Коха , то существует подмножество снежинки Коха, имеющее нулевую длину ( ) и полную гармоническую меру . Д ⊂ Р 2 {\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}} Э ⊂ ∂ Д {\displaystyle E\subset \partial D} Э {\displaystyle E} ЧАС 1 ( Э ) = 0 {\displaystyle H^{1}(E)=0} ω ( Х , Д ) ( Э ) = 1 {\displaystyle \omega (X,D)(E)=1}

Гармоническая мера диффузии

Рассмотрим диффузию Itō X со значением R n , начинающуюся в некоторой точке x внутри области D , с законом P x . Предположим, что кто-то хочет узнать распределение точек, в которых X выходит из D . Например, каноническое броуновское движение B на действительной прямой, начинающееся в 0, выходит из интервала (−1, +1) в −1 с вероятностью ⁠1/2⁠ и при +1 с вероятностью ⁠1/2⁠ , поэтому B τ (−1, +1) равномерно распределено на множестве {−1, +1}.

В общем случае, если G компактно вложено в Rn , то гармоническая мера (или распределение попаданий ) X на границе ∂G множества G — это мера μGx , определяемая соотношением

μ Г х ( Ф ) = П х [ Х τ Г ∈ Ф ] {\displaystyle \mu _{G}^{x}(F)=\mathbf {P} ^{x}{\big [}X_{\tau _{G}}\in F{\big ]}}

для x  ∈  G и F  ⊆ ∂ G .

Возвращаясь к предыдущему примеру броуновского движения, можно показать, что если B — броуновское движение в Rn , начинающееся в точке x  ∈  Rn , а D  ⊂  Rn — открытый шар с центром в точке x , то гармоническая мера B на ∂ D инвариантна относительно всех вращений D вокруг x и совпадает с нормализованной поверхностной мерой на ∂ D.

Общие ссылки

  • Гарнетт, Джон Б.; Маршалл, Дональд Э. (2005). Гармоническая мера . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-47018-6.
  • Øksendal, Bernt K. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: Введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Springer. ISBN 3-540-04758-1. MR 2001996 (см. разделы 7, 8 и 9)
  • Капогна, Лука; Кениг, Карлос Э.; Ланзани, Лоредана (2005). Гармоническая мера: геометрические и аналитические точки зрения . Серия университетских лекций. Том ULECT/35. Американское математическое общество. стр. 155. ISBN 978-0-8218-2728-4.

Ссылки

  1. ^ Р. Неванлинна (1970), «Аналитические функции», Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, см. Введение, стр. 3
  2. ^ Р. Неванлинна (1934), «Das Harmonische Mass von Punktmengen und seine Anwendung in der Funktionentheorie», Comptes rendus du huitème congrès des mathématiciens scandinaves, Стокгольм, стр. 116–133.
  3. ^ Какутани, С. (1944). «О броуновском движении в n-пространстве». Proc. Imp. Acad. Tokyo . 20 (9): 648– 652. doi : 10.3792/pia/1195572742 .
  4. ^ Ф. и М. Рисс (1916), «Über die Randwerte einer analytischen Funktion», Quatrième Congrès des Mathématiciens Scandinaves, Стокгольм, стр. 27–44.
  5. ^ Макаров, Н. Г. (1985). «Об искажении граничных множеств при конформных отображениях». Proc. London Math. Soc . 3. 52 (2): 369– 384. doi :10.1112/plms/s3-51.2.369.
  6. ^ Dahlberg, Björn EJ (1977). «Оценки гармонической меры». Arch. Rat. Mech. Anal . 65 (3): 275– 288. Bibcode :1977ArRMA..65..275D. doi :10.1007/BF00280445. S2CID  120614580.
  • П. Джонс и Т. Вольф, Хаусдорфова размерность гармонической меры на плоскости, Acta. Math. 161 (1988) 131-144 (MR962097)(90j:31001)
  • C. Kenig и T. Toro, Регулярность свободной границы для гармонических измерителей и ядер Пуассона, Ann. of Math. 150 (1999)369-454MR 172669992001d:31004)
  • C. Kenig, D. Preissand, T. Toro, Структура и размер границ с точки зрения внутренних и внешних гармонических мер в высших измерениях, Журнал американского математического общества, том 22 июля 2009 г., №3,771-796
  • SG Krantz, Теория и практика конформной геометрии, Dover Publ. Mineola New York (2016) особенно гл. 6 классический случай
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Harmonic_measure&oldid=1230018933"