Компактное встраивание

В математике понятие компактной вложенности выражает идею о том, что одно множество или пространство «хорошо содержится» внутри другого. Существуют версии этой концепции, соответствующие общей топологии и функциональному анализу .

Пусть ( X ,  T ) — топологическое пространство , а V и W — подмножества X. Мы говорим, что V компактно вложено в W , и пишем V  ⊂⊂  W , если

• V  ⊆ Cl( V ) ⊆ Int( W ), где Cl( V ) обозначает замыкание V , а Int( W ) обозначает внутреннюю часть W ; и
• Cl( V ) компактен .

Пусть X и Y — два нормированных векторных пространства с нормами ||•|| _X и ||•|| _Y соответственно, и предположим, что X  ⊆  Y. Мы говорим, что X компактно вложено в Y , и пишем X  ⊂⊂  Y , если

• X непрерывно вложено в Y ; т. е. существует константа C такая, что || x || _Y  ≤  C || x || _X для всех x из X ; и
• Вложение X в Y является компактным оператором : любое ограниченное множество в X вполне ограничено в Y , т.е. каждая последовательность в таком ограниченном множестве имеет подпоследовательность , которая является последовательностью Коши в норме ||•|| _Y .

Если Y — банахово пространство , эквивалентное определение состоит в том, что оператор вложения (тождество) i  :  X  →  Y является компактным оператором .

Применительно к функциональному анализу эта версия компактного вложения обычно используется с банаховыми пространствами функций. Несколько теорем Соболева о вложении являются теоремами о компактном вложении. Когда вложение не является компактным, оно может обладать связанным, но более слабым свойством кокомпактности .

• Адамс, Роберт А. (1975). Пространства Соболева . Бостон, Массачусетс: Academic Press . ISBN 978-0-12-044150-1..
• Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения с частными производными . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0772-2..
• Ренарди, М. и Роджерс, Р. К. (1992). Введение в уравнения с частными производными . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-97952-2..