Формализм Гупты–Блейлера

В квантовой теории поля формализм Гупты -Блейлера является способом квантования электромагнитного поля . Формулировка принадлежит физикам-теоретикам Сураджу Н. Гупте ^[1] и Конраду Блейлеру ^[2] .

Во-первых, рассмотрим один фотон . Базис однофотонного векторного пространства (ниже объясняется, почему оно не является гильбертовым пространством ) задается собственными состояниями , где , 4- импульс равен нулю ( ), а компонент, энергия, положительна и является единичным вектором поляризации, а индекс изменяется от 0 до 3. Таким образом, однозначно определяется пространственным импульсом . Используя обозначение скобок , это пространство снабжено полуторалинейной формой, определяемой как${\displaystyle |k,\epsilon _ {\mu }\rangle }$${\displaystyle к}$${\displaystyle к^{2}=0}$${\displaystyle k_{0}}$${\displaystyle \epsilon _ {\mu }}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle к}$${\displaystyle {\vec {k}}}$

${\displaystyle \langle {\vec {k}}_{a};\epsilon _{\mu }|{\vec {k}}_{b};\epsilon _{\nu }\rangle =(-\ eta _{\mu \nu })\,2|{\vec {k}}_{a}|\,\delta ({\vec {k}}_{a}-{\vec {k}}_ {б})}$,

где фактор — реализовать ковариацию Лоренца . Метрическая сигнатура , используемая здесь, — +−−−. Однако эта полуторалинейная форма дает положительные нормы для пространственных поляризаций, но отрицательные нормы для поляризаций, подобных времени. Отрицательные вероятности нефизичны, не говоря уже о том, что физический фотон имеет только две поперечные поляризации, а не четыре.${\displaystyle 2|{\vec {k}}_{a}|}$

Если включить калибровочную ковариацию, то можно понять, что фотон может иметь три возможные поляризации (две поперечные и одну продольную (т. е. параллельную 4-импульсу)). Это задается ограничением . Однако продольный компонент — это просто нефизическая калибровка. Хотя было бы неплохо определить более строгое ограничение, чем приведенное выше, которое оставляет только два поперечных компонента, легко проверить, что это нельзя определить лоренц-ковариантным образом, потому что то, что является поперечным в одной системе отсчета, больше не является поперечным в другой.${\displaystyle k\cdot \epsilon =0}$

Чтобы разрешить эту трудность, сначала рассмотрим подпространство с тремя поляризациями. Полуторалинейная форма, ограниченная им, является просто полуопределенной , что лучше, чем неопределенной. Кроме того, подпространство с нулевой нормой оказывается не чем иным, как калибровочными степенями свободы. Итак, определим физическое гильбертово пространство как факторпространство трех поляризационных подпространств по его подпространству с нулевой нормой. Это пространство имеет положительно определенную форму, что делает его истинным гильбертовым пространством.

Этот метод может быть аналогичным образом расширен до бозонного пространства Фока многочастичных фотонов. Используя стандартный трюк сопряженных операторов рождения и уничтожения , но с этим трюком фактора, можно сформулировать свободный потенциал вектора поля как операторно-значное распределение, удовлетворяющее ${\displaystyle А}$

${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }A=0}$

с условием

${\displaystyle \langle \chi |\partial ^{\mu }A_ {\mu }|\psi \rangle =0}$

для физических состояний и в пространстве Фока (подразумевается, что физические состояния на самом деле являются классами эквивалентности состояний, которые различаются состоянием нулевой нормы).${\displaystyle |\chi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

Это не то же самое, что

${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$.

Обратите внимание, что если O — любой калибровочно-инвариантный оператор,

${\displaystyle \langle \chi |O|\psi \rangle }$

не зависит от выбора представителей классов эквивалентности, и, следовательно, эта величина является однозначно определенной.

Это неверно для некалибровочно-неинвариантных операторов в целом, поскольку калибровка Лоренца все еще оставляет остаточные калибровочные степени свободы.

Во взаимодействующей теории квантовой электродинамики калибровочное условие Лоренца по-прежнему применимо, но больше не удовлетворяет уравнению свободной волны.${\displaystyle А}$

• BRST-формализм
• Квантовая калибровочная теория
• Квантовая электродинамика
• ξ-калибр

• Блейлер, К. (1950), «Новый метод обработки продольных и скалярных фотонов», Helv. Физ. Acta (на немецком языке), 23 (5): 567–586, doi : 10.5169/seals-112124 (доступна загрузка в формате PDF){{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
• Гупта, С. (1950), «Теория продольных фотонов в квантовой электродинамике», Proc. Phys. Soc. , 63A (7): 681–691, Bibcode : 1950PPSA...63..681G, doi : 10.1088/0370-1298/63/7/301