Грибов двусмысленность

В калибровочной теории , особенно в неабелевых калибровочных теориях, часто встречаются глобальные проблемы при фиксации калибровки . Фиксация калибровки означает выбор представителя из каждой калибровочной орбиты , то есть выбор секции расслоения волокон . Пространство представителей является подмногообразием (расслоения в целом) и представляет условие фиксации калибровки. В идеале каждая калибровочная орбита будет пересекать это подмногообразие один и только один раз. К сожалению, это часто невозможно глобально для неабелевых калибровочных теорий из-за топологических препятствий, и лучшее, что можно сделать, — сделать это условие истинным локально. Подмногообразие фиксации калибровки может вообще не пересекать калибровочную орбиту или может пересекать ее более одного раза. Трудность возникает из-за того, что условие фиксации калибровки обычно задается как дифференциальное уравнение некоторого вида, например, что дивергенция исчезает (как в калибровке Ландау или Лоренца ). Решения этого уравнения могут в конечном итоге задавать несколько секций или, возможно, вообще ни одной. Это называется неоднозначностью Грибова (по имени Владимира Грибова ).

Неоднозначности Грибова приводят , помимо прочего, к непертурбативному нарушению BRST -симметрии.

Способом решения проблемы неоднозначности Грибова является ограничение соответствующих функциональных интегралов одной областью Грибова , граница которой называется горизонтом Грибова . Тем не менее, можно показать, что эта проблема не решается даже при сведении области к первой области Грибова . Единственная область, для которой эта неоднозначность решается, — это фундаментальная модулярная область ( FMR ).

При выполнении вычислений в калибровочных теориях обычно необходимо выбрать калибровку. Калибровочные степени свободы не имеют прямого физического смысла, но они являются артефактом математического описания, которое мы используем для работы с рассматриваемой теорией. Для получения физических результатов эти избыточные степени свободы должны быть отброшены подходящим образом

В абелевой калибровочной теории (т.е. в КЭД ) достаточно просто выбрать калибровку. Популярной является калибровка Лоренца , преимущество которой в том, что она инвариантна относительно Лоренца . В неабелевых калибровочных теориях (таких как КХД ) ситуация сложнее из-за более сложной структуры неабелевой калибровочной группы.${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$

Формализм Фаддеева–Попова, разработанный Людвигом Фаддеевым и Виктором Поповым , дает способ решения проблемы выбора калибровки в неабелевых теориях. Этот формализм вводит оператор Фаддеева–Попова, который по сути является якобианским определителем преобразования, необходимого для приведения калибровочного поля в желаемую калибровку. В так называемой калибровке Ландау ^{[примечание 1]} этот оператор имеет вид${\displaystyle \partial _{\mu }A_{\mu }^{a}=0}$

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}\;,}$

где — ковариантная производная в присоединенном представлении. Определитель этого оператора Фаддеева–Попова затем вводится в интеграл по траекториям с использованием духовых полей .${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}}$

Однако этот формализм предполагает, что выбор калибровки (например , ) является уникальным — т. е. для каждой физической конфигурации существует ровно одна , которая ей соответствует и которая подчиняется условию калибровки. В неабелевых калибровочных теориях типа Янга–Миллса это не так для большого класса калибровок, однако, ^{[1] [2] [3],} как было впервые указано Грибовым. ^[4]${\displaystyle \partial _{\mu }A_{\mu }^{a}=0}$${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$

Грибов рассматривал вопрос о том, сколько различных калибровочных копий этой конфигурации, заданной определенной физической конфигурацией, подчиняются калибровочному условию Ландау . Неизвестны конфигурации без каких-либо представителей. ^[5] Однако вполне возможно, что их может быть больше одной.${\displaystyle \partial _{\mu }A_{\mu }^{a}=0}$

Рассмотрим два калибровочных поля и и предположим, что они оба подчиняются калибровочному условию Ландау. Если — калибровочная копия , то мы получим (предполагая, что они бесконечно близки друг к другу):${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$${\displaystyle {A_{\mu }^{a}}'}$${\displaystyle {A_{\mu }^{a}}'}$${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$

${\displaystyle {A_{\mu }^{a}}'=A_{\mu }^{a}+{\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}\omega ^{b}}$

для некоторой функции . ^{[примечание 2]} Если оба поля подчиняются калибровочному условию Ландау, мы должны иметь, что${\displaystyle \omega ^{b}}$

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}\omega ^{b}=0\;,}$

и, таким образом, оператор Фаддеева–Попова имеет по крайней мере одну нулевую моду. ^[5] Если калибровочное поле бесконечно мало, этот оператор не будет иметь нулевых мод. Множество калибровочных полей, где оператор Фаддеева–Попова имеет свою первую нулевую моду (при старте из начала координат), называется «горизонтом Грибова». Множество всех калибровочных полей, где оператор Фаддеева–Попова не имеет нулевых мод (то есть этот оператор положительно определен), называется «первой областью Грибова» . ^[6]${\displaystyle \Омега}$

Если калибровочные поля имеют калибровочные копии, эти поля будут пересчитаны в интеграле по траектории. Чтобы противостоять этому пересчету, Грибов утверждал, что мы должны ограничить интеграл по траектории первой областью Грибова. Чтобы сделать это, он рассмотрел пропагатор призрака, который является вакуумным ожидаемым значением обратного оператора Фаддеева–Попова. Если этот оператор всегда положительно определен, пропагатор призрака не может иметь полюсов — что называется «условием отсутствия полюсов». В обычной теории возмущений (использующей обычный формализм Фаддеева–Попова) пропагатор имеет полюс, что означает, что мы покинули первую область Грибова и пересчитали некоторые конфигурации. ^[7]

Выводя пертурбативное выражение для пропагатора духов, Грибов обнаруживает, что это условие отсутствия полюсов приводит к условию вида ^{[7] [8]}

${\displaystyle \langle \sigma [A]\rangle =\left\langle {\frac {Ng^{2}}{Vd(N^{2}-1)}}\int {\frac {d^{d }q}{(2\pi )^{d}}}A_{\mu }^{a}(-q){\frac {1}{q^{2}}}A_{\mu }^{a }(q)\right\rangle <1\;,}$

где N — число цветов (равное 3 в КХД), g — сила связи калибровок, V — объем пространства-времени (который стремится к бесконечности в большинстве приложений), а d — число измерений пространства-времени (равное 4 в реальном мире). Функционал — это сокращение для выражения в угловых скобках. Чтобы наложить это условие, Грибов предложил ввести ступенчатую функцию Хевисайда, содержащую вышеизложенное, в интеграл по траектории. Фурье-представление функции Хевисайда имеет вид:${\displaystyle \сигма [А]}$

${\displaystyle H(1-\sigma [A])=\int _{-i\infty +\epsilon }^{+i\infty +\epsilon }{\frac {d\beta }{2\pi i\beta }}e^{\beta (1-\sigma [A])}\;.}$

В этом выражении параметр называется «параметром Грибова». Интегрирование по этому параметру Грибова затем выполняется с использованием метода наискорейшего спуска . Этот метод дает уравнение для параметра Грибова, которое называется уравнением зазора. Подстановка решения этого уравнения обратно в интеграл по траектории дает модифицированную калибровочную теорию.${\displaystyle \бета}$

С учетом модификации, вытекающей из параметра Грибова, оказывается, что пропагатор глюона модифицируется следующим образом: ^{[7] [9]}

${\displaystyle D_{\mu \nu }^{ab}(k)=\delta ^{ab}\left(\delta _{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}\right){\frac {1}{k^{2}+{\frac {2Ng^{2}}{Vd(N^{2}-1)}}{\frac {\beta _{0}}{k^{2}}}}}\;,}$

где это значение , которое решает уравнение зазора. Призрачный пропагатор также модифицируется и, в однопетлевом порядке, демонстрирует поведение . ^[10]${\displaystyle \бета _{0}}$${\displaystyle \бета}$${\displaystyle \propto 1/k^{4}}$

Несколько лет спустя Даниэль Цванцигер также рассмотрел проблему Грибова. Он использовал другой подход. Вместо того чтобы рассматривать пропагатор духов, он вычислил наименьшее собственное значение оператора Фаддеева–Попова как ряд возмущений в глюонном поле. Это дало определенную функцию, которую он назвал «функцией горизонта», и вакуумное ожидание этой функции горизонта должно быть ограничено не более чем единицей, чтобы оставаться в пределах первой области Грибова. ^[11] Это условие можно выразить, введя функцию горизонта в интеграл по траектории (аналогично тому, как это сделал Грибов) и наложив определенное уравнение щели на вакуумную энергию полученной теории. ^[12] Это дало новый интеграл по траектории с измененным действием, которое, однако, нелокально. В ведущем порядке результаты идентичны ранее найденным Грибовым.

Чтобы легче было иметь дело с действием, которое он нашел, Цванцигер ввел локализующие поля. Как только действие стало локальным, стало возможным доказать, что полученная теория перенормируема [ ^13] — т. е. все бесконечности, порожденные петлевыми диаграммами, могут быть поглощены мультипликативным изменением содержания (константы связи, нормализации поля, параметра Грибова), уже присутствующего в теории, без необходимости дополнительных дополнений.

Цванцигер также отметил, что полученный пропагатор глюона не допускает спектрального представления Келлена–Лемана , что свидетельствует о том, что глюон больше не может быть физической частицей. ^[13] Это часто интерпретируется как сигнал ограничения цвета .

Поскольку первая область Грибова играет ключевую роль в разрешении неоднозначности Грибова, она привлекла дополнительное внимание за годы, прошедшие с первой статьи Грибова. Калибровку Ландау можно определить как калибровку, которая экстремизирует функционал

${\displaystyle ||A||^{2}=\int d^{d}xA_{\mu }^{a}(x)A_{\mu }^{a}(x)\;.}$

Простой экстремум (максимум или минимум) этого функционала — это обычная калибровка Ландау. Требование минимума (что эквивалентно требованию, чтобы оператор Фаддеева–Попова был положительным) приводит к единице в первой области Грибова. ^[6]

Это условие все еще включает относительные минимумы, хотя. Было показано, что в первой области Грибова все еще есть копии Грибова, которые связаны друг с другом топологически тривиальным калибровочным преобразованием. ^[14] Пространство калибровочных функций, которые абсолютно минимизируют функционал, определенный выше, называется «фундаментальной модулярной областью». Однако неизвестно, как ограничить интеграл по путям этой областью.${\displaystyle ||А||^{2}}$

Было показано, что первая область Грибова ограничена во всех направлениях ^[15], так что никакие произвольно большие конфигурации поля не учитываются при ограничении интеграла по траектории этой областью. ^[16] Кроме того, первая область Грибова является выпуклой, и все физические конфигурации имеют по крайней мере одного представителя внутри нее. ^[17]

В 2013 году было доказано, что оба формализма — Грибова и Цванцигера — эквивалентны всем порядкам теории возмущений. ^[18]

Одной из проблем формализма Грибова–Цванцигера является то, что BRST-симметрия нарушена. ^[19] Это нарушение можно интерпретировать как динамическое нарушение симметрии . ^[20] Нарушение является «мягким» (т. е. пропорциональным параметру с положительной размерностью массы, в данном случае параметру Грибова), так что перенормируемость все еще может быть доказана. Однако унитарность все еще проблематична. Однако совсем недавно в литературе было сделано заявление о сохранении BRST-действия Грибова–Цванцигера.

Долгое время решеточные симуляции, казалось, указывали на то, что модифицированные глюонные и призрачные пропагаторы, предложенные Грибовым и Цванцигером, были правильными. Однако в 2007 году компьютеры стали достаточно сильными, чтобы исследовать область низких импульсов, где пропагаторы наиболее модифицированы, и оказалось, что картина Грибова–Цванцигера неверна. Вместо этого глюонный пропагатор переходит к постоянному значению, когда импульс стремится к нулю, а призрачный пропагатор по-прежнему идет как 1/ k ² при низких импульсах. ^[21] Это имеет место как для 3, так и для 4 пространственно-временных измерений. ^[22] Было предложено решение этого несоответствия, добавляя конденсаты к действию Грибова–Цванцигера. ^[23]

• Капри, Марсио А.Л.; Дюдал, Дэвид; Гимарайнш, Марсело С.; Паларес, Летисия Ф.; Сорелла, Сильвио П. (2013). «Полное доказательство эквивалентности между условиями отсутствия полюса Грибова и условиями горизонта Цванцигера». Физ. Летт. Б.​ 719 (4–5): 448–453. arXiv : 1212.2419 . Бибкод : 2013PhLB..719..448C. doi :10.1016/j.physletb.2013.01.039. S2CID  54216810.
• Куккьери, Аттилио; Мендес, Тереза ​​(2007). «Что происходит с ИК-глюонами и пропагаторами духов в калибровке Ландау? Загадочный ответ от огромных решеток». PoS . LAT2007: 297. arXiv : 0710.0412 . Bibcode :2007slft.confE.297C.
• Dell'Antonio, Gianfausto; Zwanziger, Daniel (1989). «Эллипсоидальная граница на горизонте Грибова противоречит группе возмущений ренормализации». Nuclear Physics B . 326 (2): 333–350. Bibcode :1989NuPhB.326..333D. doi :10.1016/0550-3213(89)90135-1.
• Грибов, Владимир Н. (1978). «Квантование неабелевых калибровочных теорий». Nuclear Physics B. 139 ( 1–2): 1–19. Bibcode :1978NuPhB.139....1G. doi :10.1016/0550-3213(78)90175-X.
• T. Heinzl. Гамильтонов подход к проблеме Грибова. Ядерная физика B (Proc.Suppl) 54A (1997) 194-197, arXiv:hep-th/9609055
• Кондо, http://www.icra.it/MG/mg12/talks/sqg5_kondo.pdf (второй слайд)
• Maas, Axel (2013). «Калибровочные бозоны при нулевой и конечной температуре». Physics Reports . 524 (4): 203–300. arXiv : 1106.3942 . Bibcode :2013PhR...524..203M. doi :10.1016/j.physrep.2012.11.002. S2CID  118346148.
• Singer, Isadore M. (1978). "Некоторые замечания о неоднозначности Грибова" (PDF) . Communications in Mathematical Physics . 60 (1): 7–12. Bibcode :1978CMaPh..60....7S. doi :10.1007/BF01609471. S2CID  122903092.
• van Baal, Pierre (1992). «Еще (мысли о) копиях Грибова». Nucl. Phys. B . 369 (1–2): 259–275. Bibcode :1992NuPhB.369..259V. CiteSeerX  10.1.1.35.6645 . doi :10.1016/0550-3213(92)90386-P.
• Вандерсикель, Неле (2011). Исследование действия Грибова–Цванцигера: от пропагаторов до глюболов (диссертация). Гентский университет. arXiv : 1104.1315 . Bibcode :2011arXiv1104.1315V.
• Вандерсикель, Неле; Цванцигер, Дэниел (2012). «Проблема Грибова и динамика КХД». Phys. Rep . 520 (4): 175–251. arXiv : 1202.1491 . Bibcode : 2012PhR...520..175V. doi : 10.1016/j.physrep.2012.07.003. S2CID  118625692.
• Zwanziger, Daniel (1989). "Локальное и перенормируемое действие из горизонта Грибова". Nuclear Physics B . 323 (3): 513–544. Bibcode :1989NuPhB.323..513Z. doi : 10.1016/0550-3213(89)90122-3 .