Неабелево калибровочное преобразование

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . Пожалуйста, помогите улучшить ее, чтобы сделать ее понятной для неспециалистов , не удаляя технические детали. ( Июнь 2012 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

This article relies largely or entirely on a single source. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help improve this article by introducing citations to additional sources. Find sources: "Non-abelian gauge transformation" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2016)

В теоретической физике неабелево калибровочное преобразование ^[1] означает калибровочное преобразование, принимающее значения в некоторой группе G , элементы которой не подчиняются коммутативному закону при их умножении. Напротив, первоначальный выбор калибровочной группы в физике электромагнетизма был U(1) , который является коммутативным.

Для неабелевой группы Ли G ее элементы не коммутируют, т.е. они в общем случае не удовлетворяют

${\displaystyle a*b=b*a\,}$.

Кватернионы ознаменовали введение неабелевых структур в математику .

В частности, его генераторы , составляющие основу векторного пространства бесконечно малых преобразований ( алгебры Ли ), имеют правило коммутации:${\displaystyle t^{a}}$

${\displaystyle \left[t^{a},t^{b}\right]=t^{a}t^{b}-t^{b}t^{a}=C^{abc}t_{c}.}$

Структурные константы количественно определяют отсутствие коммутативности и не исчезают. Мы можем сделать вывод, что структурные константы антисимметричны по первым двум индексам и действительны. Нормализация обычно выбирается (с использованием дельты Кронекера ) как ${\displaystyle C^{abc}}$

${\displaystyle Tr(t^{a}t^{b})={\frac {1}{2}}\delta ^{ab}.}$

В этом ортонормированном базисе структурные константы антисимметричны относительно всех трех индексов.

Элемент группы может быть выражен около элемента тождества в виде ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =exp(\theta ^{a}t^{a})}$,

где — параметры преобразования.${\displaystyle \theta ^{a}}$

Пусть будет полем, которое преобразуется ковариантно в заданном представлении . Это означает, что при преобразовании мы получаем${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle T(\omega )}$

${\displaystyle \varphi (x)\to \varphi '(x)=T(\omega )\varphi (x).}$

Поскольку любое представление компактной группы эквивалентно унитарному представлению , возьмем

${\displaystyle T(\omega )}$

быть унитарной матрицей без потери общности. Мы предполагаем, что лагранжиан зависит только от поля и производной :${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle \partial _{\mu }\varphi (x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}{\big (}\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x){\big )}.}$

Если элемент группы не зависит от пространственно-временных координат (глобальная симметрия), то производная преобразованного поля эквивалентна преобразованию производных поля:${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \partial _{\mu }T(\omega )\varphi (x)=T(\omega )\partial _{\mu }\varphi (x).}$

Таким образом, поле и его производная преобразуются одинаково. В силу унитарности представления скалярные произведения типа , или инвариантны относительно глобального преобразования неабелевой группы.${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (\varphi ,\varphi )}$${\displaystyle (\partial _{\mu }\varphi ,\partial _{\mu }\varphi )}$${\displaystyle (\varphi ,\partial _{\mu }\varphi )}$

Любой лагранжиан, построенный из таких скалярных произведений, является глобально инвариантным:

${\displaystyle {\mathcal {L}}{\big (}\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x){\big )}={\mathcal {L}}{\big (}T(\omega )\varphi (x),T(\omega )\partial _{\mu }\varphi (x){\big )}.}$