Капиллярная волна

Капиллярная волна — это волна, распространяющаяся вдоль границы раздела фаз жидкости, динамика и фазовая скорость которой определяются эффектами поверхностного натяжения .

Капиллярные волны распространены в природе и часто называются рябью . Длина капиллярных волн на воде обычно меньше нескольких сантиметров, а фазовая скорость превышает 0,2–0,3 метра в секунду.

Более длинная волна на границе раздела жидкостей приведет к возникновению гравитационно-капиллярных волн , на которые влияют как эффекты поверхностного натяжения и гравитации , так и инерция жидкости . Обычные гравитационные волны имеют еще большую длину волны.

Легкие бризы на поверхности воды, которые вызывают такую ​​мелкую рябь, иногда называют «кошачьими лапками». В открытом океане гораздо более крупные волны на поверхности океана ( моря и зыби ) могут быть результатом слияния более мелких волн-ряби, вызванных ветром.

Дисперсионное соотношение описывает связь между длиной волны и частотой в волнах. Можно провести различие между чистыми капиллярными волнами, полностью на которые влияет поверхностное натяжение, и гравитационно-капиллярными волнами, на которые также влияет гравитация.

Дисперсионное уравнение для капиллярных волн имеет вид

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,|k|^{3},}$

где - угловая частота , поверхностное натяжение , плотность более тяжелой жидкости, плотность более легкой жидкости и волновое число . Длина волны равна Для границы между жидкостью и вакуумом (свободной поверхностью) дисперсионное соотношение сводится к${\displaystyle \омега}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle \ро}$${\displaystyle \ро '}$${\displaystyle к}$${\displaystyle \lambda = {\frac {2\pi {k}}.}$

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho }}\,|k|^{3}.}$

Когда капиллярные волны также существенно подвержены влиянию гравитации, они называются гравитационно-капиллярными волнами. Их дисперсионное соотношение для волн на границе двух жидкостей бесконечной глубины выглядит следующим образом: ^{[1] [2]}

${\displaystyle \omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),}$

где - ускорение свободного падения , а - плотности двух жидкостей . Множитель в первом члене - число Этвуда .${\displaystyle г}$${\displaystyle \ро}$${\displaystyle \ро '}$${\displaystyle (\ро >\ро ')}$${\displaystyle (\rho -\rho ')/(\rho +\rho ')}$

Для больших длин волн (малых ) имеет значение только первый член, и есть гравитационные волны . В этом пределе волны имеют групповую скорость, равную половине фазовой скорости : следуя за гребнем одной волны в группе, можно увидеть, как волна появляется в задней части группы, растет и, наконец, исчезает в передней части группы.${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

Более короткие (большие ) волны (например, 2 мм для интерфейса вода-воздух), которые являются собственно капиллярными волнами, делают обратное: отдельная волна появляется в передней части группы, растет по мере движения к центру группы и, наконец, исчезает в задней части группы. Фазовая скорость составляет две трети групповой скорости в этом пределе.${\displaystyle к}$

Между этими двумя пределами находится точка, в которой дисперсия, вызванная гравитацией, отменяет дисперсию, вызванную капиллярным эффектом. При определенной длине волны групповая скорость равна фазовой скорости, и дисперсии нет. Точно при этой же длине волны фазовая скорость гравитационно-капиллярных волн как функция длины волны (или волнового числа) имеет минимум. Волны с длинами волн, намного меньшими этой критической длины волны, находятся под влиянием поверхностного натяжения, а намного больше — под влиянием гравитации. Значение этой длины волны и связанная с ней минимальная фазовая скорость равны: ^[1]${\displaystyle \лямбда _{м}}$${\displaystyle c_{м}}$

${\displaystyle \lambda _{m}=2\pi {\sqrt {\frac {\sigma }{(\rho -\rho ')g}}}\quad {\text{and}}\quad c_{m}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(\rho -\rho ')g\sigma }}}{\rho +\rho '}}}.}$

Для интерфейса воздух - вода она составляет 1,7 см (0,67 дюйма) и 0,23 м/с (0,75 фута/с). ^[1]${\displaystyle \lambda _{m}}$${\displaystyle c_{m}}$

Если бросить в жидкость небольшой камень или каплю, то волны будут распространяться за пределы расширяющегося круга покоящейся жидкости; этот круг является каустикой , которая соответствует минимальной групповой скорости. ^[3]

Как выразился Ричард Фейнман , « [волны на воде], которые легко видны каждому и которые обычно используются в качестве примера волн в начальных курсах [...], являются наихудшим из возможных примеров [...]; они имеют все сложности, которые только могут иметь волны » . ^[4] Поэтому вывод общего дисперсионного соотношения является довольно сложным. ^[5]

Существует три вклада в энергию: гравитация, поверхностное натяжение и гидродинамика . Первые два являются потенциальными энергиями и отвечают за два члена в скобках, как ясно из появления и . Для гравитации делается предположение о постоянстве плотности жидкостей (т. е. несжимаемости), и аналогично (волны недостаточно высоки, чтобы гравитация могла заметно измениться). Для поверхностного натяжения отклонения от планарности (измеренные производными поверхности) предполагаются малыми. Для обычных волн оба приближения достаточно хороши.${\displaystyle g}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle g}$

Третий вклад включает в себя кинетическую энергию жидкостей. Он самый сложный и требует гидродинамической структуры. Снова задействована несжимаемость (которая выполняется, если скорость волн намного меньше скорости звука в среде), вместе с потоком, являющимся безвихревым – поток тогда потенциальный . Обычно это также хорошие приближения для общих ситуаций.

Полученное уравнение для потенциала (которое является уравнением Лапласа ) может быть решено с надлежащими граничными условиями. С одной стороны, скорость должна исчезать значительно ниже поверхности (в случае «глубокой воды», который мы рассматриваем, в противном случае получается более сложный результат, см. Волны на поверхности океана .) С другой стороны, ее вертикальная составляющая должна соответствовать движению поверхности. Этот вклад в конечном итоге отвечает за дополнительный элемент за скобками, что приводит к тому, что все режимы являются дисперсионными, как при низких значениях , так и при высоких (за исключением вблизи одного значения, при котором две дисперсии компенсируются.)${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Дисперсионное соотношение для гравитационно-капиллярных волн на границе раздела двух полубесконечных жидких областей

Рассмотрим две области жидкости, разделенные интерфейсом с поверхностным натяжением. Среднее положение интерфейса горизонтально. Оно разделяет верхнюю и нижнюю жидкости, обе имеют различную постоянную плотность массы, и для нижней и верхней области соответственно. Предполагается, что жидкость невязкая и несжимаемая , а течение предполагается безвихревым . Тогда потоки являются потенциальными , а скорость в нижнем и верхнем слое может быть получена из и , соответственно. Здесь и являются потенциалами скорости .${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho '}$${\displaystyle \nabla \phi }$${\displaystyle \nabla \phi '}$${\displaystyle \phi (x,y,z,t)}$${\displaystyle \phi '(x,y,z,t)}$ В энергию вовлечены три вклада: потенциальная энергия из-за гравитации , потенциальная энергия из-за поверхностного натяжения и кинетическая энергия потока. Часть из-за гравитации является самой простой: интегрирование плотности потенциальной энергии из-за гравитации, (или ) от опорной высоты до положения поверхности, : [6]${\displaystyle V_{g}}$${\displaystyle V_{st}}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle V_{g}}$${\displaystyle \rho gz}$${\displaystyle \rho 'gz}$${\displaystyle z=\eta (x,y,t)}$ ${\displaystyle V_{\mathrm {g} }=\iint dx\,dy\;\int _{0}^{\eta }dz\;(\rho -\rho ')gz={\frac {1}{2}}(\rho -\rho ')g\iint dx\,dy\;\eta ^{2},}$ предполагая, что среднее положение интерфейса равно .${\displaystyle z=0}$ Увеличение площади поверхности вызывает пропорциональное увеличение энергии за счет поверхностного натяжения: [7] ${\displaystyle V_{\mathrm {st} }=\sigma \iint dx\,dy\;\left[{\sqrt {1+\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right)^{2}}}-1\right]\approx {\frac {1}{2}}\sigma \iint dx\,dy\;\left[\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right)^{2}\right],}$ где первое равенство представляет собой площадь в этом ( представлении Монжа ), а второе применимо для малых значений производных (поверхности не слишком шероховатые). Последний вклад включает кинетическую энергию жидкости: [8] ${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\int _{-\infty }^{\eta }dz\;\rho \,\left|\mathbf {\nabla } \Phi \right|^{2}+\int _{\eta }^{+\infty }dz\;\rho '\,\left|\mathbf {\nabla } \Phi '\right|^{2}\right].}$ Используется несжимаемость жидкости и безвихревой характер ее течения (часто разумные приближения). В результате и должны удовлетворять уравнению Лапласа : [9]${\displaystyle \phi (x,y,z,t)}$${\displaystyle \phi '(x,y,z,t)}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =0}$   и   ${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi '=0.}$ Эти уравнения можно решить с помощью соответствующих граничных условий: и должны исчезать вдали от поверхности (в случае «глубокой воды», который мы и рассматриваем).${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi '}$ Используя тождество Грина и предполагая, что отклонения высоты поверхности малы (поэтому z -интегрирование можно аппроксимировать путем интегрирования до вместо ), кинетическую энергию можно записать как: [8]${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z=\eta }$ ${\displaystyle T\approx {\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\rho \,\Phi \,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\;-\;\rho '\,\Phi '\,{\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}\right]_{{\text{at }}z=0}.}$ Для нахождения дисперсионного соотношения достаточно рассмотреть синусоидальную волну на границе раздела, распространяющуюся в направлении оси x : [7] ${\displaystyle \eta =a\,\cos \,(kx-\omega t)=a\,\cos \,\theta ,}$ с амплитудой и фазой волны . Кинематическое граничное условие на границе раздела, связывающее потенциалы с движением интерфейса, заключается в том, что вертикальные компоненты скорости должны соответствовать движению поверхности: [7]${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta =kx-\omega t}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial z}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}}$   и     в .${\displaystyle {\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}}$${\displaystyle z=0}$ Чтобы решить проблему нахождения потенциалов, можно попробовать разделение переменных , когда оба поля можно выразить как: [7] ${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x,y,z,t)&=+{\frac {1}{|k|}}{\text{e}}^{+|k|z}\,\omega a\,\sin \,\theta ,\\\Phi '(x,y,z,t)&=-{\frac {1}{|k|}}{\text{e}}^{-|k|z}\,\omega a\,\sin \,\theta .\end{aligned}}}$ Тогда вклады в энергию волны, горизонтально интегрированные по одной длине волны в направлении x и по единичной ширине в направлении y , становятся: [7] [10]${\displaystyle \lambda =2\pi /k}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\text{g}}&={\frac {1}{4}}(\rho -\rho ')ga^{2}\lambda ,\\V_{\text{st}}&={\frac {1}{4}}\sigma k^{2}a^{2}\lambda ,\\T&={\frac {1}{4}}(\rho +\rho '){\frac {\omega ^{2}}{|k|}}a^{2}\lambda .\end{aligned}}}$ Дисперсионное соотношение теперь можно получить из лагранжиана , суммируя потенциальные энергии гравитации и поверхностного натяжения : [11]${\displaystyle L=T-V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{g}}$${\displaystyle V_{st}}$ ${\displaystyle L={\frac {1}{4}}\left[(\rho +\rho '){\frac {\omega ^{2}}{|k|}}-(\rho -\rho ')g-\sigma k^{2}\right]a^{2}\lambda .}$ Для синусоидальных волн и линейной волновой теории фазово-усредненный лагранжиан всегда имеет вид , так что вариация по отношению к единственному свободному параметру, , дает дисперсионное соотношение . [11] В нашем случае это просто выражение в квадратных скобках, так что дисперсионное соотношение имеет вид:${\displaystyle L=D(\omega ,k)a^{2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle D(\omega ,k)=0}$${\displaystyle D(\omega ,k)}$ ${\displaystyle \omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}\,g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,k^{2}\right),}$ то же, что и выше. В результате средняя энергия волны на единицу горизонтальной площади составляет:${\displaystyle (T+V)/\lambda }$ ${\displaystyle {\bar {E}}={\frac {1}{2}}\,\left[(\rho -\rho ')\,g+\sigma k^{2}\right]\,a^{2}.}$ Как обычно для линейных волновых движений, потенциальная и кинетическая энергия равны ( справедливо равнораспределение): . [12]${\displaystyle T=V}$

• Капиллярное действие
• Дисперсия (волны на воде)
• Волна на поверхности океана
• Тепловая капиллярная волна
• Двухфазный поток
• Волнообразная рябь

• 
  Рябь на воде, создаваемая водомерками
• 
  Легкий бриз создает рябь на поверхности воды озера.

• Longuet-Higgins, MS (1963). «Генерация капиллярных волн крутыми гравитационными волнами». Journal of Fluid Mechanics . 16 (1): 138– 159. Bibcode : 1963JFM....16..138L. doi : 10.1017/S0022112063000641. ISSN  1469-7645. S2CID  119740891.
• Лэмб, Х. (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9.
• Филлипс, О. М. (1977). Динамика верхнего слоя океана (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-29801-6.
• Dingemans, MW (1997). Распространение волн на воде по неровному дну . Расширенная серия по океанической инженерии. Том 13. World Scientific, Сингапур. стр. 2 части, 967 страниц. ISBN 981-02-0427-2.
• Сафран, Сэмюэл (1994). Статистическая термодинамика поверхностей, интерфейсов и мембран . Эддисон-Уэсли.
• Туфилларо, Н.Б.; Рамшанкар, Р.; Голлуб, Дж.П. (1989). «Переход порядок-беспорядок в капиллярной ряби». Physical Review Letters . 62 (4): 422– 425. Bibcode :1989PhRvL..62..422T. doi :10.1103/PhysRevLett.62.422. PMID  10040229.

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Рябь» (волны на воде) .

• Капиллярные волны запись в sklogwiki