Гномон (фигура)

Фигура, которая при сложении с данной фигурой образует большую фигуру той же формы

В геометрии гномон — это плоская фигура, образованная путем удаления подобного параллелограмма из угла большего параллелограмма; или, в более общем смысле, фигура, которая при добавлении к данной фигуре образует большую фигуру той же формы. ^[1]

Построение фигурных чисел

Фигурные числа были предметом интереса пифагорейской математики , и Пифагору приписывают идею о том, что эти числа генерируются из гномона или базовой единицы. Гномон — это часть, которую нужно добавить к фигурному числу, чтобы преобразовать его в следующее большее. ^[2]

Например, гномоном квадратного числа является нечетное число общего вида 2 n + 1, n = 1, 2, 3, ... . Квадрат размером 8, составленный из гномонов, выглядит так: Чтобы преобразовать n-квадрат (квадрат размером n ) в ( n + 1)-квадрат, нужно присоединить 2 n + 1 элементов: по одному в конец каждой строки ( n элементов), по одному в конец каждого столбца ( n элементов) и один в угол. Например, при преобразовании 7-квадрата в 8-квадрат мы добавляем 15 элементов; эти присоединения являются восьмерками на рисунке выше. Этот гномонический прием также дает доказательство того , что сумма первых n нечетных чисел равна n ² ; рисунок иллюстрирует 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8 ² .

$~~~~~~~~{\begin{matrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\2&2&3&4&5&6&7&8\\3&3&3&4&5&6&7&8\\4&4&4&4&5&6&7&8\\5&5&5&5&5&6&7&8\\6&6&6&6&6&6&7&8\\7&7&7&7&7&7&7&7&8\\8&8&8&8&8&8&8&8\end{matrix}}$

Применение того же метода к таблице умножения дает теорему Никомаха , доказывающую, что каждый квадрат треугольного числа является суммой кубов. ^[3]

Равнобедренные треугольники

В остроугольном равнобедренном треугольнике можно нарисовать подобный, но меньший треугольник, одна из сторон которого является основанием исходного треугольника. Гномон этих двух подобных треугольников — это треугольник, оставшийся после удаления меньшего из двух подобных равнобедренных треугольников из большего. Сам гномон равнобедренный тогда и только тогда, когда отношение сторон к основанию исходного равнобедренного треугольника, а также отношение основания к сторонам гномона, является золотым сечением , в этом случае остроугольный равнобедренный треугольник является золотым треугольником , а его гномон — золотым гномоном . ^[4] И наоборот, остроугольный золотой треугольник может быть гномоном тупоугольного золотого треугольника в исключительном взаимном обмене ролями ^[5]

золотой треугольник, разделенный на меньший золотой треугольник и (тупой) золотой гномон
Тупоугольный золотой треугольник является гномоном остроугольного золотого треугольника.
Остроугольный золотой треугольник является гномоном тупоугольного золотого треугольника.
Острый золотой треугольник — гномон восьмиугольника.
Тупоугольный золотой треугольник — гномон девятиугольника.

Метафора и символизм

Метафора, основанная на геометрии гномона, играет важную роль в литературном анализе « Дублинцев » Джеймса Джойса , включая как игру слов между «паралич» и «параллелограмм», так и геометрическое значение гномона как чего-то фрагментарного, уменьшенного по сравнению с его завершенной формой. ^[6]^[7]^[8]^[9]

Формы гномона также заметны в «Арифметической композиции I» , абстрактной картине Тео ван Дусбурга . ^[10]

Также есть очень короткая геометрическая сказка, проиллюстрированная анимацией, где гномоны играют роль захватчиков. ^[11]

Смотрите также

Теорема о гномоне

Ссылки

^ Газале, Мидхат Дж. (1999), «Гномон: от фараонов до фракталов», Европейский журнал физики , 20 (6), Princeton University Press: 523, Bibcode : 1999EJPh...20..523G, doi : 10.1088/0143-0807/20/6/501, ISBN 9780691005140.
^ Деза, Елена ; Деза, Мишель (2012), Фигурные числа, World Scientific, стр. 3, ISBN 9789814355483.
^ Роу, Т. Сундара (1893), Геометрические упражнения по складыванию бумаги , Мадрас: Addison, стр. 46–48.
^ Лёб, Артур Л. (1993), «Золотой треугольник», Концепции и изображения: Визуальная математика , Коллекция Design Science, Springer, стр. 179–192, doi :10.1007/978-1-4612-0343-8_20, ISBN 978-1-4612-6716-4
^ Пьетрокола, Джорджио (2005). «Коллекция гномонов». Маэкла .
↑ Фридрих, Герхард (1957), «Гномонический ключ к «Дублинцам» Джеймса Джойса», Modern Language Notes , 72 (6): 421–424, doi :10.2307/3043368, JSTOR 3043368 .
↑ Уир, Дэвид (1991), «Гномон — это остров: Евклид и Бруно в повествовательной практике Джойса», James Joyce Quarterly , 28 (2): 343–360, JSTOR 25485150.
^ Фридрих, Герхард (1965), «Перспектива дублинцев Джойса», College English , 26 (6): 421–426, doi :10.2307/373448, JSTOR 373448 .
^ Райхерт, Клаус (1988), «Фрагмент и целостность», в Скотт, Бонни Ким (ред.), Новые альянсы в исследованиях Джойса: когда это подделывается, чтобы фолить дельфийца , Издательство Делавэрского университета, стр. 86–87, ISBN 9780874133288
^ Виги, Паола; Аскьери, Иджино (2010), «От искусства к математике в картинах Тео ван Дусбурга», в Капеччи, Витторио; Бушема, Массимо; Контуччи, Пьерлуиджи; и др. (ред.), Приложения математики в моделях, искусственных нейронных сетях и искусстве , математике и обществе, Springer, стр. 601–610, doi :10.1007/978-90-481-8581-8_27, ISBN 978-90-481-8580-1.
^ Пьетрокола, Джорджио (2005). «Золотой король и вторжение гномонов». Maecla ..

[1] Газале, Мидхат Дж. (1999), «Гномон: от фараонов до фракталов», Европейский журнал физики , 20 (6), Princeton University Press: 523, Bibcode : 1999EJPh...20..523G, doi : 10.1088/0143-0807/20/6/501, ISBN 9780691005140.

[2] Деза, Елена ; Деза, Мишель (2012), Фигурные числа, World Scientific, стр. 3, ISBN 9789814355483.

[3] Роу, Т. Сундара (1893), Геометрические упражнения по складыванию бумаги , Мадрас: Addison, стр. 46–48.

[4] Лёб, Артур Л. (1993), «Золотой треугольник», Концепции и изображения: Визуальная математика , Коллекция Design Science, Springer, стр. 179–192, doi :10.1007/978-1-4612-0343-8_20, ISBN 978-1-4612-6716-4

[5] Пьетрокола, Джорджио (2005). «Коллекция гномонов». Маэкла .

[6] Фридрих, Герхард (1957), «Гномонический ключ к «Дублинцам» Джеймса Джойса», Modern Language Notes , 72 (6): 421–424, doi :10.2307/3043368, JSTOR 3043368 .

[7] Уир, Дэвид (1991), «Гномон — это остров: Евклид и Бруно в повествовательной практике Джойса», James Joyce Quarterly , 28 (2): 343–360, JSTOR 25485150.

[8] Фридрих, Герхард (1965), «Перспектива дублинцев Джойса», College English , 26 (6): 421–426, doi :10.2307/373448, JSTOR 373448 .

[9] Райхерт, Клаус (1988), «Фрагмент и целостность», в Скотт, Бонни Ким (ред.), Новые альянсы в исследованиях Джойса: когда это подделывается, чтобы фолить дельфийца , Издательство Делавэрского университета, стр. 86–87, ISBN 9780874133288

[10] Виги, Паола; Аскьери, Иджино (2010), «От искусства к математике в картинах Тео ван Дусбурга», в Капеччи, Витторио; Бушема, Массимо; Контуччи, Пьерлуиджи; и др. (ред.), Приложения математики в моделях, искусственных нейронных сетях и искусстве , математике и обществе, Springer, стр. 601–610, doi :10.1007/978-90-481-8581-8_27, ISBN 978-90-481-8580-1.

[11] Пьетрокола, Джорджио (2005). «Золотой король и вторжение гномонов». Maecla ..