Квадрат треугольного числа

В теории чисел сумма первых n кубов равна квадрату n- го треугольного числа . То есть,

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(1+2+3+\cdots +n\right)^{2}.}$

Это же уравнение можно записать более компактно, используя математическую запись для суммирования :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.}$

Это тождество иногда называют теоремой Никомаха , в честь Никомаха из Герасы ( ок.  60 – ок.  120 гг. н. э. ).

Никомах в конце главы 20 своего «Введения в арифметику» указал, что если написать список нечетных чисел, то первое будет кубом 1, сумма следующих двух будет кубом 2, сумма следующих трех будет кубом 3 и т. д. Дальше этого он не идет, но из этого следует, что сумма первых кубов равна сумме первых нечетных чисел, то есть нечетных чисел от 1 до . Среднее арифметическое этих чисел, очевидно, равно , и их имеется из , поэтому их сумма равна .${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$${\displaystyle n(n+1)-1}$${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$${\displaystyle \left({\tfrac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}$

Многие ранние математики изучали и доказывали теорему Никомаха. Строкер (1995) утверждает, что «каждый студент теории чисел, несомненно, должен был изумляться этому чудесному факту». ^[1] Пенгелли (2002) находит ссылки на тождество не только в работах Никомаха в том, что сейчас является Иорданией в I веке н. э., но также в работах Арьябхаты в Индии в V веке и в работах Аль-Караджи около  1000 года в Персии . ^[2] Брессо (2004) упоминает несколько дополнительных ранних математических работ по этой формуле, написанных Аль-Кабиси (X век, Аравия), Герсонидом ( около  1300 года , Франция) и Нилакантой Сомаяджи ( около  1500 года , Индия); он воспроизводит визуальное доказательство Нилаканты. ^[3]

Последовательность квадратов треугольных чисел равна ^[4]

Эти числа можно рассматривать как фигурные числа , четырехмерное гиперпирамидальное обобщение треугольных чисел и квадратных пирамидальных чисел .

Как отмечает Штейн (1971), эти числа также подсчитывают количество прямоугольников с горизонтальными и вертикальными сторонами, образованных в сетке . Например, точки сетки (или квадрата, составленного из трех меньших квадратов на стороне) могут образовывать 36 различных прямоугольников. Количество квадратов в квадратной сетке аналогичным образом подсчитывается квадратными пирамидальными числами. ^[5]${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle 4\times 4}$

Тождество также допускает естественную вероятностную интерпретацию следующим образом. Пусть будут четыре целых числа, независимо и равномерно выбранных случайным образом между 1 и . Тогда вероятность того, что наибольшее из четырех чисел, равна вероятности того, что оно по крайней мере так же велико, как и которое по крайней мере так же велико, как . То есть, для любого конкретного значения комбинации , и , которые составляют наибольшее, образуют куб, так что (прибавляя размер этого куба ко всем выборам }) число комбинаций , для которых является наибольшим, является суммой кубов, левой частью тождества Никомаха. Множества пар с и пар с образуют равнобедренные прямоугольные треугольники, а множество, подсчитанное правой частью уравнения вероятностей, является декартовым произведением этих двух треугольников, так что его размер является квадратом треугольного числа в правой части тождества Никомаха. Вероятности сами по себе являются соответственно левой и правой сторонами тождества Никомаха, нормализованными для получения вероятностей путем деления обеих сторон на . ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle X,Y,Z,W}$${\displaystyle n}$${\displaystyle W}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W}$${\displaystyle Z}$$${\displaystyle \Pr[\max(X,Y,Z)\leq W]=\Pr[X\leq Y\wedge Z\leq W].}$$${\displaystyle W}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle W}$${\displaystyle 1\leq X,Y,Z\leq n}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X,Y,Z,W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle X\leq Y}$${\displaystyle (Z,W)}$${\displaystyle Z\leq W}$${\displaystyle n^{4}}$

Чарльз Уитстон  (1854) дает особенно простой вывод, расширяя каждый куб в сумме в набор последовательных нечетных чисел. Он начинает с того, что дает тождество Это тождество связано с треугольными числами следующим образом: и, таким образом, слагаемые, образующие, начинаются сразу после тех, которые образуют все предыдущие значения до . Применение этого свойства вместе с другим хорошо известным тождеством: дает следующий вывод: ^[6]$${\displaystyle n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ последовательные нечетные числа}}}.}$$ ${\displaystyle T_{n}}$$${\displaystyle n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),}$$${\displaystyle n^{3}}$${\displaystyle 1^{3}}$${\displaystyle (n-1)^{3}}$$${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

Row (1893) получает другое доказательство, суммируя числа в таблице умножения квадратов двумя разными способами. Сумма i -й строки равна i раз треугольному числу, из чего следует, что сумма всех строк равна квадрату треугольного числа. В качестве альтернативы можно разложить таблицу на последовательность вложенных гномонов , каждый из которых состоит из произведений, в которых большее из двух слагаемых является некоторым фиксированным значением. Сумма внутри каждого гмонона является кубом, поэтому сумма всей таблицы является суммой кубов. ^[7]

В более поздней математической литературе Эдмондс (1957) приводит доказательство с использованием суммирования по частям . ^[8] Стайн (1971) использует интерпретацию этих чисел с помощью подсчета прямоугольников, чтобы сформировать геометрическое доказательство тождества. ^[9] Стайн замечает, что это также может быть легко доказано (но неинформативно) по индукции, и утверждает, что Теплиц (1963) приводит «интересное старое арабское доказательство». ^[5] Каним (2004) приводит чисто визуальное доказательство, ^[10] Бенджамин и Оррисон (2002) приводят два дополнительных доказательства, ^[11] а Нельсен (1993) приводит семь геометрических доказательств. ^[12]

Аналогичный результат теоремы Никомаха справедлив для всех степенных сумм , а именно, что нечетные степенные суммы (суммы нечетных степеней) являются многочленом от треугольных чисел. Они называются многочленами Фаульхабера , из которых сумма кубов является простейшим и наиболее элегантным примером. Однако ни в каком другом случае одна степенная сумма не является квадратом другой. ^[8]

Строкер (1995) изучает более общие условия, при которых сумма последовательной последовательности кубов образует квадрат. ^[1] Гарретт и Хаммел (2004) и Варнаар (2004) изучают полиномиальные аналоги формулы квадратно-треугольного числа, в которой ряд полиномов добавляется к квадрату другого полинома. ^[13]

• Вайсштейн, Эрик В. , «Теорема Никомаха», MathWorld
• Визуальное доказательство теоремы Никомаха Архивировано 19 октября 2019 г. на Wayback Machine