Теорема о гномоне
Некоторые параллелограммы, встречающиеся в гномоне, имеют площади одинакового размера.
Гномон: Теорема Гномона: зеленая область = красная область, А Б Ф П Г Д {\displaystyle ABFPGD}

| А ЧАС Г Д | = | А Б Ф я | , | ЧАС Б Ф П | = | я П Г Д | {\displaystyle |AHGD|=|ABFI|,\,|HBFP|=|IPGD|}

Теорема о гномоне гласит, что некоторые параллелограммы , вписанные в гномон, имеют площади одинакового размера.

Теорема

В параллелограмме с точкой на диагонали параллель к пересекает сторону в и сторону в . Аналогично параллель к стороне через пересекает сторону в и сторону в . Тогда теорема о гномоне утверждает, что параллелограммы и имеют равные площади. [1] [2] А Б С Д {\displaystyle ABCD} П {\displaystyle P} А С {\displaystyle AC} А Д {\displaystyle AD} П {\displaystyle P} С Д {\displaystyle CD} Г {\displaystyle G} А Б {\displaystyle AB} ЧАС {\displaystyle H} А Б {\displaystyle AB} П {\displaystyle P} А Д {\displaystyle AD} я {\displaystyle Я} Б С {\displaystyle до н.э.} Ф {\displaystyle F} ЧАС Б Ф П {\displaystyle HBFP} я П Г Д {\displaystyle IPGD}

Гномон — это название L-образной фигуры, состоящей из двух перекрывающихся параллелограммов и . Параллелограммы равной площади и называются дополнениями (параллелограммов по диагонали и ). [3] А Б Ф я {\displaystyle ABFI} А ЧАС Г Д {\displaystyle AHGD} ЧАС Б Ф П {\displaystyle HBFP} я П Г Д {\displaystyle IPGD} П Ф С Г {\displaystyle ПФКГ} А ЧАС П я {\displaystyle AHPI}

Доказательство

Доказательство теоремы становится простым, если рассмотреть площади основного параллелограмма и двух внутренних параллелограммов вокруг его диагонали:

  • во-первых, разность между основным параллелограммом и двумя внутренними параллелограммами в точности равна суммарной площади двух дополнительных параллелограммов;
  • во-вторых, все три из них делятся пополам диагональю. Это дает: [4]
| я П Г Д | = | А Б С Д | 2 − | А ЧАС П я | 2 − | П Ф С Г | 2 = | ЧАС Б Ф П | {\displaystyle |IPGD|={\frac {|ABCD|}{2}}-{\frac {|AHPI|}{2}}-{\frac {|PFCG|}{2}}=|HBFP|}

Приложения и расширения

геометрическое изображение деления
Переносим отношение разбиения отрезка AB на отрезок HG: | А ЧАС | | ЧАС Б | = | ЧАС П | | П Г | {\displaystyle {\tfrac {|AH|}{|HB|}}={\tfrac {|HP|}{|PG|}}}

Теорема о гномоне может быть использована для построения нового параллелограмма или прямоугольника, равновеликого данному параллелограмму или прямоугольнику, с помощью линейки и циркуля . Это также позволяет представить деление двух чисел в геометрических терминах, что является важной особенностью для переформулирования геометрических задач в алгебраических терминах. Точнее, если два числа даны как длины отрезков прямой, можно построить третий отрезок прямой, длина которого совпадает с частным этих двух чисел (см. диаграмму). Другое применение — перенос отношения разбиения одного отрезка прямой на другой отрезок прямой (другой длины), таким образом разделяя этот другой отрезок прямой в том же отношении, что и данный отрезок прямой и его разбиение (см. диаграмму). [1]

А {\displaystyle \mathbb {A} } представляет собой (нижний) параллелепипед вокруг диагонали с и его дополнениями , и имеют тот же объем: П {\displaystyle P} Б {\displaystyle \mathbb {B} } С {\displaystyle \mathbb {C} } Д {\displaystyle \mathbb {D} } | Б | = | С | = | Д | {\displaystyle |\mathbb {B} |=|\mathbb {C} |=|\mathbb {D} |}

Аналогичное утверждение можно сделать в трех измерениях для параллелепипедов . В этом случае у вас есть точка на диагонали пространства параллелепипеда, и вместо двух параллельных прямых у вас есть три плоскости, проходящие через , каждая из которых параллельна граням параллелепипеда. Три плоскости делят параллелепипед на восемь меньших параллелепипедов; два из них окружают диагональ и встречаются в . Теперь к каждому из этих двух параллелепипедов вокруг диагонали прикреплены три из оставшихся шести параллелепипедов, и эти три играют роль дополнений и имеют равный объем (см. диаграмму). [2] П {\displaystyle P} П {\displaystyle P} П {\displaystyle P}

Общая теорема о вложенных параллелограммах

общая теорема:
зеленая область = синяя область - красная область

Теорема о гномоне является частным случаем более общего утверждения о вложенных параллелограммах с общей диагональю. Для данного параллелограмма рассмотрим произвольный внутренний параллелограмм, имеющий также диагональ. Кроме того, существуют два однозначно определенных параллелограмма , стороны которых параллельны сторонам внешнего параллелограмма и которые имеют общую вершину с внутренним параллелограммом. Теперь разность площадей этих двух параллелограммов равна площади внутреннего параллелограмма, то есть: [2] А Б С Д {\displaystyle ABCD} А Ф С Э {\displaystyle AFCE} А С {\displaystyle AC} Г Ф ЧАС Д {\displaystyle GFHD} я Б Дж. Ф {\displaystyle IBJF} Ф {\displaystyle F}

| А Ф С Э | = | Г Ф ЧАС Д | − | я Б Дж. Ф | {\displaystyle |AFCE|=|GFHD|-|IBJF|}

Это утверждение приводит к теореме о гномоне, если рассмотреть вырожденный внутренний параллелограмм, все вершины которого находятся на диагонали . Это означает, в частности, для параллелограммов и , что их общая точка находится на диагонали и что разность их площадей равна нулю, что в точности соответствует теореме о гномоне. А Ф С Э {\displaystyle AFCE} А С {\displaystyle AC} Г Ф ЧАС Д {\displaystyle GFHD} я Б Дж. Ф {\displaystyle IBJF} Ф {\displaystyle F}

Исторические аспекты

Теорема о гномоне была описана еще в «Началах» Евклида (около 300 г. до н. э.), и там она играет важную роль в выводе других теорем. Она приводится как предложение 43 в первой книге «Начал», где она сформулирована как утверждение о параллелограммах без использования термина «гномон». Последнее вводится Евклидом как второе определение второй книги «Начал». Другие теоремы, для которых гномон и его свойства играют важную роль, — это предложение 6 во второй книге, предложение 29 в шестой книге и предложения 1–4 в тринадцатой книге. [5] [4] [6]

Ссылки

  1. ^ аб Хальбайзен, Лоренц; Хунгербюлер, Норберт; Ляухли, Хуан (2016), Mit Harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie , Springer, стр.  190–191 , ISBN 9783662530344
  2. ^ abc Hazard, William J. (1929), «Обобщения теоремы Пифагора и теоремы Евклида о гномоне», The American Mathematical Monthly , 36 (1): 32– 34, doi :10.1080/00029890.1929.11986904, JSTOR  2300175
  3. ^ Тропфке, Йоханнес (10 октября 2011 г.), Ebene Geometrie (на немецком языке), Вальтер де Грюйтер, стр.  134–135 , ISBN 978-3-11-162693-2
  4. ^ ab Герц-Фишлер, Роджер (2013-12-31), Математическая история золотого числа, Courier Corporation, стр.  35–36 , ISBN 978-0-486-15232-5
  5. ^ Виги, Паоло; Аскьери, Игино (2010), «От искусства к математике в картинах Тео ван Дусбурга», Витторио Капечки; Массимо Бушема; Пьерлуиджи Контуччи; Бруно Д'Амор (ред.), «Применение математики в моделях, искусственных нейронных сетях и искусстве» , Springer, стр.  601–610 , особенно. стр. 603–606, ISBN. 9789048185818
  6. ^ Эванс, Джордж У. (1927), «Некоторые части алгебры Евклида», Учитель математики , 20 (3): 127– 141, doi :10.5951/MT.20.3.0127, JSTOR 27950916 
На Викискладе есть медиафайлы по теме Гномоны (геометрия) .
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Теорема_гномона&oldid=1257443922"