Аффинное сочетание

В математике аффинная комбинация x ₁ , ..., x _n называется линейной комбинацией

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot x_{i}}=\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n},}$

такой что

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=1.}$

Здесь x ₁ , ..., x _n могут быть элементами ( векторами ) векторного пространства над полем K , а коэффициенты являются элементами K .${\displaystyle \альфа _{я}}$

Элементы x ₁ , ..., x _n также могут быть точками евклидова пространства и, в более общем случае, аффинного пространства над полем K . В этом случае являются элементами K (или для евклидова пространства), а аффинная комбинация также является точкой. См. Аффинное пространство § Аффинные комбинации и барицентр для определения в этом случае.${\displaystyle \альфа _{я}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Эта концепция является фундаментальной в евклидовой геометрии и аффинной геометрии , поскольку множество всех аффинных комбинаций множества точек образует наименьшее аффинное пространство, содержащее точки, точно так же, как линейные комбинации множества векторов образуют их линейную оболочку .

Аффинные комбинации коммутируют с любым аффинным преобразованием T в том смысле, что

${\displaystyle T\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot x_{i}}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot Tx_{i}}.}$

В частности, любая аффинная комбинация неподвижных точек данного аффинного преобразования также является неподвижной точкой , поэтому множество неподвижных точек образует аффинное пространство (в 3D: линию или плоскость, а в тривиальных случаях — точку или все пространство).${\displaystyle Т}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle Т}$

Когда стохастическая матрица A действует на вектор-столбец b → , результатом является вектор-столбец, элементы которого являются аффинными комбинациями b → с коэффициентами из строк в A .

• Выпуклая комбинация
• Коническая комбинация
• Линейная комбинация

• Аффинное пространство
• Аффинная геометрия
• Аффинная оболочка

• Галлье, Жан (2001), Геометрические методы и приложения , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95044-0. См. главу 2 .

• Заметки об аффинных комбинациях.