Минимизация энергии

В области вычислительной химии минимизация энергии (также называемая оптимизацией энергии , минимизацией геометрии или оптимизацией геометрии ) — это процесс нахождения расположения в пространстве набора атомов, где, согласно некоторой вычислительной модели химической связи, чистая межатомная сила на каждом атоме приемлемо близка к нулю, а положение на поверхности потенциальной энергии (ППЭ) является стационарной точкой (описанной ниже). Набор атомов может быть отдельной молекулой , ионом , конденсированной фазой , переходным состоянием или даже набором любого из них. Вычислительной моделью химической связи может быть, например, квантовая механика.

Например, при оптимизации геометрии молекулы воды стремятся получить такие длины связей водород-кислород и угол связи водород-кислород-водород, которые минимизируют силы, которые в противном случае притягивали бы атомы друг к другу или раздвигали бы их.

Мотивацией для проведения оптимизации геометрии является физическая значимость полученной структуры: оптимизированные структуры часто соответствуют веществу, встречающемуся в природе, а геометрия такой структуры может быть использована в различных экспериментальных и теоретических исследованиях в области химической структуры , термодинамики , химической кинетики , спектроскопии и других.

Обычно, но не всегда, процесс стремится найти геометрию определенного расположения атомов, которое представляет локальный или глобальный минимум энергии. Вместо поиска глобального минимума энергии может быть желательно оптимизировать до переходного состояния , то есть седловой точки на поверхности потенциальной энергии. ^[1] Кроме того, определенные координаты (например, длина химической связи) могут быть зафиксированы во время оптимизации.

Молекулярная геометрия и математическая интерпретация

Геометрия набора атомов может быть описана вектором положений атомов. Это может быть набор декартовых координат атомов или, при рассмотрении молекул, так называемые внутренние координаты, образованные из набора длин связей, углов связей и двугранных углов.

При наличии набора атомов и вектора $r$ , описывающего положения атомов, можно ввести понятие энергии как функции положений $E$ $($ $r$ $)$ . Оптимизация геометрии тогда является математической задачей оптимизации , в которой требуется найти значение $r$ , при котором $E$ $($ $r$ $)$ находится в локальном минимуме , то есть производная энергии по положению атомов, $\partial$ $E$ $/\partial$ $r$ , является нулевым вектором, а матрица второй производной системы, также известная как матрица Гессе , которая описывает кривизну ППЭ в $r$ , имеет все положительные собственные значения ( положительно определена ). ${\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial r_{i}\,\partial r_{j}}}\end{pmatrix}}_{ij}$

Частным случаем оптимизации геометрии является поиск геометрии переходного состояния ; это обсуждается ниже.

Вычислительная модель, которая обеспечивает приблизительное значение $E$ $($ $r$ $),$ может быть основана на квантовой механике (используя либо теорию функционала плотности , либо полуэмпирические методы ), силовых полях или их комбинации в случае КМ/ММ . Используя эту вычислительную модель и начальную догадку (или анзац ) правильной геометрии, выполняется итерационная процедура оптимизации, например:

вычислить силу, действующую на каждый атом (то есть, $-\partial E /\partial r$ )
если сила меньше некоторого порога, закончить
в противном случае переместите атомы на некоторый вычисленный шаг $∆ r$ , который, как предполагается, уменьшит силу
повторить с самого начала

Практические аспекты оптимизации

Как описано выше, для расчета энергии $E$ $($ $r$ $)$ , градиента ППЭ, то есть производной энергии по положению атомов, $\partial$ $E$ $/\partial$ $r$ и матрицы второй производной системы, $\partial\partial$ $E$ $/\partial$ $r$ $i$ $\partial$ $r$ $j$ , также известной как матрица Гессе , которая описывает кривизну ППЭ в точке $r$ , можно использовать некоторые методы, такие как квантовая механика .

Алгоритм оптимизации может использовать некоторые или все из $E$ $($ $r$ $)$ , $\partial$ $E$ $/\partial$ $r$ и $\partial\partial$ $E$ $/\partial$ $r$ $i$ $\partial$ $r$ $j ,$ чтобы попытаться минимизировать силы, и это может быть теоретически любой метод, такой как градиентный спуск, сопряженный градиент или метод Ньютона, но на практике алгоритмы, которые используют знание кривизны PES, то есть матрицы Гессе, оказываются более эффективными. Однако для большинства систем, представляющих практический интерес, может быть непозволительно дорого вычислять матрицу второй производной, и она оценивается из последовательных значений градиента, как это типично для оптимизации Квази-Ньютона .

Выбор системы координат может иметь решающее значение для выполнения успешной оптимизации. Например, декартовы координаты избыточны, поскольку нелинейная молекула с $N$ атомами имеет $3$ $N$ $-6$ колебательных степеней свободы , тогда как набор декартовых координат имеет $3$ $N$ измерений. Кроме того, декартовы координаты сильно коррелируют, то есть матрица Гессе имеет много недиагональных членов, которые не близки к нулю. Это может привести к численным проблемам при оптимизации, поскольку, например, трудно получить хорошее приближение к матрице Гессе, а ее точное вычисление слишком затратно с точки зрения вычислений. Однако в случае, если эта энергия выражается с помощью стандартных силовых полей, были разработаны вычислительно эффективные методы ^[2], способные аналитически вывести матрицу Гессе в декартовых координатах, сохраняя при этом вычислительную сложность того же порядка, что и у градиентных вычислений. Внутренние координаты, как правило, менее коррелированы, но их сложнее настроить, и может быть сложно описать некоторые системы, например, с симметрией или большими конденсированными фазами. ^[3] Многие современные пакеты программного обеспечения для вычислительной химии содержат автоматические процедуры для автоматической генерации разумных систем координат для оптимизации. ^[4]

Степень ограничения свободы

Некоторые степени свободы могут быть исключены из оптимизации, например, положения атомов или длины связей и углы могут быть фиксированными. Иногда их называют замороженными степенями свободы.

Рисунок 1 показывает оптимизацию геометрии атомов в углеродной нанотрубке в присутствии внешнего электростатического поля. В этой оптимизации атомы слева имеют замороженные позиции. Их взаимодействие с другими атомами в системе по-прежнему рассчитывается, но изменение позиции атомов во время оптимизации предотвращается.

Рисунок 1: Электростатические отклонения углеродной нанотрубки в электрическом поле .

Оптимизация переходного состояния

Структуры переходного состояния можно определить путем поиска седловых точек на ППЭ интересующих химических видов. ^[5] Седловая точка первого порядка — это положение на ППЭ, соответствующее минимуму во всех направлениях, кроме одного; седловая точка второго порядка — это минимум во всех направлениях, кроме двух, и т. д. Определенная математически, седловая точка n- го порядка характеризуется следующим: $\partial E /\partial r = 0$ и матрица Гессе, $\partial\partial E /\partial r i \partial r j$ , имеет ровно n отрицательных собственных значений.

Алгоритмы для определения геометрии переходного состояния делятся на две основные категории: локальные методы и полуглобальные методы. Локальные методы подходят, когда начальная точка оптимизации очень близка к истинному переходному состоянию ( очень близко будет определено вскоре), а полуглобальные методы находят применение, когда требуется определить переходное состояние с очень небольшим априорным знанием его геометрии. Некоторые методы, такие как метод Димера (см. ниже), попадают в обе категории.

Локальный поиск

Так называемая локальная оптимизация требует начального предположения о переходном состоянии, которое очень близко к истинному переходному состоянию. Очень близко обычно означает, что начальное предположение должно иметь соответствующую матрицу Гессе с одним отрицательным собственным значением, или отрицательное собственное значение, соответствующее координате реакции, должно быть больше по величине, чем другие отрицательные собственные значения. Кроме того, собственный вектор с самым отрицательным собственным значением должен соответствовать координате реакции, то есть он должен представлять геометрическое преобразование, относящееся к процессу, переходное состояние которого ищется.

Принимая во внимание вышеизложенные предпосылки, алгоритм локальной оптимизации может двигаться «вверх» вдоль собственного вектора с самым отрицательным собственным значением и «вниз» вдоль всех остальных степеней свободы, используя нечто похожее на квазиньютоновский метод.

Метод димера

Метод димеров ^[6] может быть использован для поиска возможных переходных состояний без знания конечной структуры или для уточнения хорошей догадки о переходной структуре. «Димер» формируется двумя изображениями, очень близкими друг к другу на ПЭС. Метод работает путем перемещения димера вверх от начального положения с одновременным вращением димера для поиска направления наименьшей кривизны (в конечном итоге отрицательной).

Техника активации и релаксации (ART)

Метод релаксации активации (ART) ^[7]^[8]^[9] также является открытым методом для поиска новых переходных состояний или уточнения известных седловых точек на ППЭ. Метод следует направлению наименьшей отрицательной кривизны (вычисленной с помощью алгоритма Ланцоша ) на ППЭ, чтобы достичь седловой точки, расслабляясь в перпендикулярной гиперплоскости между каждым «прыжком» (активацией) в этом направлении.

Методы цепочки состояний

Методы Chain-of-state ^[10] могут быть использованы для нахождения приблизительной геометрии переходного состояния на основе геометрии реагента и продукта. Сгенерированная приблизительная геометрия может затем служить отправной точкой для уточнения с помощью локального поиска, который был описан выше.

Методы цепочек состояний используют ряд векторов, то есть точек на ППЭ, соединяющих реагент и продукт интересующей реакции, $r$ $реагент$ и $r$ $продукт$ , таким образом дискретизируя путь реакции. Очень часто эти точки называют бусинами из-за аналогии с набором бусин, соединенных струнами или пружинами, которые соединяют реагент и продукты. Ряд бусин часто изначально создается путем интерполяции между $r$ $реагентом$ и $r$ $продуктом$ , например, для ряда из $N$ $+ 1$ бусин, бусина $i$ может быть задана как

$\mathbf {r} _{i}={\frac {i}{N}} \mathbf {r} _ {\mathrm {product} }+\left(1- {\frac {i}{N }}\right)\mathbf {r} _ {\ mathrm {реагент} }$

где $i \in 0, 1, ..., N$ . Каждая из бусин $r i$ имеет энергию $E$ $($ $r$ $i$ $)$ и силы $-\partial$ $E$ $/\partial$ $r$ $i ,$ и они обрабатываются с помощью ограниченного процесса оптимизации, который стремится получить как можно более точное представление пути реакции. Для этого необходимо применить ограничения по расстоянию, чтобы каждая бусинка $r$ $i$ не просто оптимизировалась под геометрию реагента и продукта.

Часто это ограничение достигается путем проецирования компонентов силы на каждую бусинку $r i$ или, альтернативно, движения каждой бусинки во время оптимизации, которые касательны к пути реакции. Например, если для удобства определить, что $g i = \partial E /\partial r i$ , то градиент энергии на каждой бусинке за вычетом компонента градиента энергии, который касателен к пути реакции, определяется как

$\mathbf {g} _{i}^{\perp }=\mathbf {g} _{i}-\mathbf {\tau } _{i}(\mathbf {\tau } _{i}\cdot \mathbf {g} _{i})=\left(I-\mathbf {\tau } _{i}\mathbf {\tau } _{i}^{T}\right)\mathbf {g} _{i}$

где $I$ — единичная матрица, а $τ i$ — единичный вектор, представляющий касательную к пути реакции в точке $r i$ . Проецируя компоненты градиента энергии или шага оптимизации, которые параллельны пути реакции, алгоритм оптимизации значительно снижает тенденцию каждой из бусин к прямой оптимизации до минимума.

Синхронный транзит

Простейшим методом цепочки состояний является метод линейного синхронного транзита (LST). Он работает, беря интерполированные точки между геометриями реагента и продукта и выбирая ту, которая имеет самую высокую энергию, для последующего уточнения с помощью локального поиска. Метод квадратичного синхронного транзита (QST) расширяет LST, допуская параболический путь реакции с оптимизацией точки с самой высокой энергией, ортогональной параболе.

Эластичная лента с подталкиванием

В методе упругой ленты Nudged (NEB) ^[11] бусины вдоль пути реакции имитируют пружинные силы в дополнение к химическим силам, $-\partial E /\partial r i$ , чтобы заставить оптимизатор поддерживать ограничение расстояния. В частности, сила $f i$ в каждой точке i определяется как

$\mathbf {f} _{i}=\mathbf {f} _{i}^{\parallel }-\mathbf {g} _{i}^{\perp }$

где

$\mathbf {f} _{i}^{\parallel }=k\left[\left(\left(\mathbf {r} _{i+1}-\mathbf {r} _{i}\right)-\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{i-1}\right)\right)\cdot \tau _{i}\right]\tau _{i}$

— сила пружины, параллельная траектории в каждой точке $r i$ ( k — константа пружины, а $τ i$ , как и прежде, — единичный вектор, представляющий касательную к траектории реакции в точке $r i$ ).

В традиционной реализации точка с наивысшей энергией используется для последующего уточнения в локальном поиске. Существует множество вариаций метода NEB ^[12] , например, метод NEB с восходящим изображением, в котором точка с наивысшей энергией выталкивается вверх во время процедуры оптимизации, чтобы (надеюсь) получить геометрию, которая еще ближе к геометрии переходного состояния. Также были расширения ^[13] , включающие регрессию гауссовского процесса для сокращения количества оценок. Для систем с неевклидовой (R^2) геометрией, таких как магнитные системы, метод модифицируется до подхода с геодезической подталкиваемой эластичной лентой. ^[14]

Метод строки

Метод струн ^[15]^[16]^[17] использует сплайны, соединяющие точки, $r i$ , для измерения и обеспечения ограничений расстояния между точками и для вычисления касательной в каждой точке. На каждом шаге процедуры оптимизации точки могут перемещаться в соответствии с силой, действующей на них перпендикулярно пути, а затем, если ограничение равноудаленности между точками больше не выполняется, точки могут быть перераспределены, используя сплайновое представление пути для генерации новых векторов с требуемым интервалом.

Вариации метода струн включают метод растущей струны ^[18] , в котором предположение о пути увеличивается от конечных точек (то есть реагента и продуктов) по мере продвижения оптимизации.

Сравнение с другими методами

Оптимизация геометрии принципиально отличается от моделирования молекулярной динамики . Последняя моделирует движение молекул относительно времени, с учетом температуры, химических сил, начальных скоростей, броуновского движения растворителя и т. д., посредством применения законов движения Ньютона . Это означает, что траектории атомов, которые вычисляются, имеют некоторый физический смысл. Оптимизация геометрии, напротив, не создает «траекторию» с каким-либо физическим смыслом — она занимается минимизацией сил, действующих на каждый атом в наборе атомов, и путь, по которому она этого достигает, не имеет смысла. Различные алгоритмы оптимизации могут дать тот же результат для минимальной энергетической структуры, но прийти к нему другим путем.

Смотрите также

Составной граф ограничений
Графические разрезы в компьютерном зрении – аппарат для решения задач компьютерного зрения , которые можно сформулировать в терминах минимизации энергии.
Энергетические принципы в строительной механике

Ссылки

^ "Входная ссылка на версию CP2K trunk, Раздел GEO_OPT, Ключевое слово TYPE". CP2K . Получено 30 апреля 2015 г. .
^ Chatzieleftheriou, S.; Adendorff, MR; Lagaros, ND (2016). «Конечные элементы обобщенной потенциальной энергии для моделирования молекулярных наноструктур». J. Chem. Inf. Model . 56 (10): 1963–1978. doi :10.1021/acs.jcim.6b00356. PMID 27653992.
^ Peng, C.; Ayala, PY; Schlegel, HB (1996). «Использование избыточных внутренних координат для оптимизации равновесных геометрий и переходных состояний». Журнал вычислительной химии . 17 (1): 49–56. doi :10.1002/(sici)1096-987x(19960115)17:1<49::aid-jcc5>3.3.co;2-#.
^ "Главная". gaussian.com .
^ Фрэнк Дженсен (1999). Введение в вычислительную химию . Англия: John Wiley and Sons Ltd.
^ Грэм Хенкельман; Ханнес Йонссон (1999). «Метод димера для нахождения седловых точек на потенциальных поверхностях высокой размерности с использованием только первых производных». J. Chem. Phys . 111 (15): 7010–7022. Bibcode :1999JChPh.111.7010H. doi :10.1063/1.480097.
^ GT Barkema; Normand Mousseau (1996). «Событийная релаксация непрерывных неупорядоченных систем». Phys. Rev. Lett . 77 (21): 4358–4361. arXiv : cond-mat/9607156 . Bibcode :1996PhRvL..77.4358B. doi :10.1103/PhysRevLett.77.4358. PMID 10062518. S2CID 27932059.
^ Рашид Малек; Норман Муссо (2011). «Оптимизированное исследование энергетического ландшафта с использованием метода активации-релаксации на основе ab initio». Physical Review E. 135 ( 6): 7723–7728. arXiv : cond-mat/0006042 . Bibcode : 2000PhRvE..62.7723M. doi : 10.1103/PhysRevE.62.7723. PMID 11138044. S2CID 119453527.
^ Эдуардо Мачадо-Шарри; Лоран Карим Белан; Дамьен Калисте; Луиджи Дженовезе; Тьерри Дойч; Норман Муссо; Паскаль Поше (2011). «Оптимизированное исследование энергетического ландшафта с использованием метода активации-релаксации на основе ab initio». J. Chem. Phys . 62 (3): 034102–034112. Bibcode : 2011JChPh.135c4102M. doi : 10.1063/1.3609924. PMID 21786982.
^ Йенсен, Ф. Введение в вычислительную химию; Wiley: 2-е изд.; 2006
^ (a) G. Mills и H. Jónsson, Phys. Rev. Lett. 72, 1124 (1994) (b) Graeme Henkelman и Hannes Jónsson, Улучшенная оценка касательной в методе подталкиваемой эластичной полосы для поиска путей с минимальной энергией и седловых точек, J. Chem. Phys. 113, 9978 - 9985 (2000)
^ "Nudged Elastic Band". UT Austin . Архивировано из оригинала 2014-02-03.
^ Койстинен, Олли-Пекка; Дагбьяртсдоттир, Фрейя Б.; Асгейрссон, Вильялмур; Вехтари, Аки; Йонссон, Ханнес (21 октября 2017 г.). «Расчеты подталкиваемой эластичной ленты ускорились за счет регрессии гауссовского процесса». Журнал химической физики . 147 (15): 152720. arXiv : 1706.04606 . Бибкод : 2017JChPh.147o2720K. дои : 10.1063/1.4986787. ISSN 0021-9606. PMID 29055305. S2CID 21822734.
^ Иванов, А. В.; Дагбартссон, Д; Транчида, Дж; Уздин, В. М.; Йонссон, Х (2020-08-12). "Эффективный метод оптимизации для поиска путей с минимальной энергией магнитных переходов". Journal of Physics: Condensed Matter . 32 (34): 345901. arXiv : 2001.10372 . Bibcode :2020JPCM...32H5901I. doi :10.1088/1361-648X/ab8b9c. ISSN 0953-8984. PMID 32316000. S2CID 210932577.
^ «Редкие события, пути перехода и скорости реакции».и «Страница строкового метода».
^ Weinan E, Weiqing Ren, Eric Vanden-Eijnden (2002). "Метод струн для изучения редких событий". Phys. Rev. B. 66 ( 5): 052301. arXiv : cond-mat/0205527 . Bibcode : 2002PhRvB..66e2301E. doi : 10.1103/PhysRevB.66.052301. S2CID 119326534.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Амит Саманта; Вайнан Э. (2010). «Модифицированный струнный метод для поиска пути с минимальной энергией». arXiv : 1009.5612 [physics.comp-ph].
^ Барон Петерс; Андреас Хейден; Алексис Т. Белл; Аруп Чакраборти (2004). «Метод растущей струны для определения переходных состояний: сравнение с методами подталкиваемой эластичной полосы и струны». J. Chem. Phys . 120 (17): 7877–7886. Bibcode : 2004JChPh.120.7877P. doi : 10.1063/1.1691018. PMID 15267702.

Внешние ссылки

Числовые рецепты в Fortran 77

Дополнительные ссылки

Пейн и др., «Методы итеративной минимизации для ab initio расчетов полной энергии: молекулярная динамика и сопряженные градиенты», Reviews of Modern Physics 64 (4), стр. 1045–1097. (1992) (аннотация)
Стич и др., «Минимизация сопряженного градиента функционала энергии: новый метод расчета электронной структуры», Physical Review B 39 (8), стр. 4997–5004, (1989)
Чади, «Метод минимизации энергии применительно к атомной геометрии поверхностей полупроводников», Physical Review Letters 41 (15), стр. 1062–1065 (1978)

[1] "Входная ссылка на версию CP2K trunk, Раздел GEO_OPT, Ключевое слово TYPE". CP2K . Получено 30 апреля 2015 г. .

[2] Chatzieleftheriou, S.; Adendorff, MR; Lagaros, ND (2016). «Конечные элементы обобщенной потенциальной энергии для моделирования молекулярных наноструктур». J. Chem. Inf. Model . 56 (10): 1963–1978. doi :10.1021/acs.jcim.6b00356. PMID 27653992.

[3] Peng, C.; Ayala, PY; Schlegel, HB (1996). «Использование избыточных внутренних координат для оптимизации равновесных геометрий и переходных состояний». Журнал вычислительной химии . 17 (1): 49–56. doi :10.1002/(sici)1096-987x(19960115)17:1<49::aid-jcc5>3.3.co;2-#.

[4] "Главная". gaussian.com .

[5] Фрэнк Дженсен (1999). Введение в вычислительную химию . Англия: John Wiley and Sons Ltd.

[6] Грэм Хенкельман; Ханнес Йонссон (1999). «Метод димера для нахождения седловых точек на потенциальных поверхностях высокой размерности с использованием только первых производных». J. Chem. Phys . 111 (15): 7010–7022. Bibcode :1999JChPh.111.7010H. doi :10.1063/1.480097.

[7] GT Barkema; Normand Mousseau (1996). «Событийная релаксация непрерывных неупорядоченных систем». Phys. Rev. Lett . 77 (21): 4358–4361. arXiv : cond-mat/9607156 . Bibcode :1996PhRvL..77.4358B. doi :10.1103/PhysRevLett.77.4358. PMID 10062518. S2CID 27932059.

[8] Рашид Малек; Норман Муссо (2011). «Оптимизированное исследование энергетического ландшафта с использованием метода активации-релаксации на основе ab initio». Physical Review E. 135 ( 6): 7723–7728. arXiv : cond-mat/0006042 . Bibcode : 2000PhRvE..62.7723M. doi : 10.1103/PhysRevE.62.7723. PMID 11138044. S2CID 119453527.

[9] Эдуардо Мачадо-Шарри; Лоран Карим Белан; Дамьен Калисте; Луиджи Дженовезе; Тьерри Дойч; Норман Муссо; Паскаль Поше (2011). «Оптимизированное исследование энергетического ландшафта с использованием метода активации-релаксации на основе ab initio». J. Chem. Phys . 62 (3): 034102–034112. Bibcode : 2011JChPh.135c4102M. doi : 10.1063/1.3609924. PMID 21786982.

[10] Йенсен, Ф. Введение в вычислительную химию; Wiley: 2-е изд.; 2006

[11] (a) G. Mills и H. Jónsson, Phys. Rev. Lett. 72, 1124 (1994) (b) Graeme Henkelman и Hannes Jónsson, Улучшенная оценка касательной в методе подталкиваемой эластичной полосы для поиска путей с минимальной энергией и седловых точек, J. Chem. Phys. 113, 9978 - 9985 (2000)

[12] "Nudged Elastic Band". UT Austin . Архивировано из оригинала 2014-02-03.

[13] Койстинен, Олли-Пекка; Дагбьяртсдоттир, Фрейя Б.; Асгейрссон, Вильялмур; Вехтари, Аки; Йонссон, Ханнес (21 октября 2017 г.). «Расчеты подталкиваемой эластичной ленты ускорились за счет регрессии гауссовского процесса». Журнал химической физики . 147 (15): 152720. arXiv : 1706.04606 . Бибкод : 2017JChPh.147o2720K. дои : 10.1063/1.4986787. ISSN 0021-9606. PMID 29055305. S2CID 21822734.

[14] Иванов, А. В.; Дагбартссон, Д; Транчида, Дж; Уздин, В. М.; Йонссон, Х (2020-08-12). "Эффективный метод оптимизации для поиска путей с минимальной энергией магнитных переходов". Journal of Physics: Condensed Matter . 32 (34): 345901. arXiv : 2001.10372 . Bibcode :2020JPCM...32H5901I. doi :10.1088/1361-648X/ab8b9c. ISSN 0953-8984. PMID 32316000. S2CID 210932577.

[15] «Редкие события, пути перехода и скорости реакции».и «Страница строкового метода».

[16] Weinan E, Weiqing Ren, Eric Vanden-Eijnden (2002). "Метод струн для изучения редких событий". Phys. Rev. B. 66 ( 5): 052301. arXiv : cond-mat/0205527 . Bibcode : 2002PhRvB..66e2301E. doi : 10.1103/PhysRevB.66.052301. S2CID 119326534.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[17] Амит Саманта; Вайнан Э. (2010). «Модифицированный струнный метод для поиска пути с минимальной энергией». arXiv : 1009.5612 [physics.comp-ph].

[18] Барон Петерс; Андреас Хейден; Алексис Т. Белл; Аруп Чакраборти (2004). «Метод растущей струны для определения переходных состояний: сравнение с методами подталкиваемой эластичной полосы и струны». J. Chem. Phys . 120 (17): 7877–7886. Bibcode : 2004JChPh.120.7877P. doi : 10.1063/1.1691018. PMID 15267702.