Геометрия и топология

В математике геометрия и топология являются общим термином для исторически различных дисциплин геометрии и топологии , поскольку общие рамки позволяют единообразно манипулировать обеими дисциплинами, что наиболее наглядно проявляется в локальных и глобальных теоремах римановой геометрии и таких результатах, как теорема Гаусса–Бонне и теория Черна–Вейля .

Однако можно провести четкое различие между геометрией и топологией, как обсуждается ниже. ^{[ необходимо разъяснение ]}

Это также название журнала «Геометрия и топология» , освещающего эти темы.

Она отличается от «геометрической топологии», которая более узко охватывает приложения топологии к геометрии.

Включает в себя:

• Дифференциальная геометрия и топология
• Геометрическая топология (включая низкоразмерную топологию и теорию хирургии )

Она не включает в себя такие части алгебраической топологии, как теория гомотопий , но некоторые области геометрии и топологии (например, теория хирургии, в частности, теория алгебраической хирургии ) в значительной степени алгебраичны.

Геометрия имеет локальную структуру (или бесконечно малую ), тогда как топология имеет только глобальную структуру. С другой стороны, геометрия имеет непрерывные модули , тогда как топология имеет дискретные модули.

Примером геометрии является риманова геометрия , а примером топологии — теория гомотопий . Изучение метрических пространств — это геометрия, изучение топологических пространств — топология.

Термины используются не совсем последовательно: симплектические многообразия являются граничным случаем, а грубая геометрия является глобальной, а не локальной.

По определению, дифференцируемые многообразия фиксированной размерности все локально диффеоморфны евклидову пространству , поэтому, кроме размерности, нет никаких локальных инвариантов. Таким образом, дифференцируемые структуры на многообразии являются топологическими по своей природе.

Напротив, кривизна риманова многообразия является локальным (на самом деле, бесконечно малым) инвариантом ^{[ необходимо разъяснение ]} (и является единственным локальным инвариантом относительно изометрии ).

Если структура имеет дискретные модули (если она не имеет деформаций , или если деформация структуры изоморфна исходной структуре), то структура называется жесткой , а ее изучением (если это геометрическая или топологическая структура) является топология. Если она имеет нетривиальные деформации, то структура называется гибкой , а ее изучением является геометрия.

Пространство гомотопических классов отображений дискретно, ^[a] поэтому изучение отображений с точностью до гомотопии является топологией. Аналогично, дифференцируемые структуры на многообразии обычно являются дискретным пространством, и, следовательно, примером топологии, но экзотические R ⁴ имеют непрерывные модули дифференцируемых структур .

Алгебраические многообразия имеют непрерывные пространства модулей , поэтому их изучением является алгебраическая геометрия . Это конечномерные пространства модулей.

Пространство римановых метрик на данном дифференцируемом многообразии является бесконечномерным пространством.

Симплектические многообразия являются граничным случаем, и части их изучения называются симплектической топологией и симплектической геометрией .

По теореме Дарбу симплектическое многообразие не имеет локальной структуры, что позволяет назвать его изучение топологией.

Напротив, пространство симплектических структур на многообразии образует непрерывные модули, что позволяет назвать их изучение геометрией.

Однако с точностью до изотопии пространство симплектических структур дискретно (любое семейство симплектических структур изотопно). ^[1]