Обобщенное гиперболическое распределение
Обобщённый гиперболический
Параметры λ {\displaystyle \лямбда} (реальный) (реальный) параметр асимметрии (реальный) параметр масштаба (реальный) местоположение ( реальное )
α {\displaystyle \альфа}
β {\displaystyle \бета}
δ {\displaystyle \дельта}
μ {\displaystyle \мю}
γ = α 2 − β 2 {\displaystyle \гамма ={\sqrt {\альфа ^{2}-\бета ^{2}}}}
Поддерживать х ∈ ( − ∞ ; + ∞ ) {\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}
PDF ( γ / δ ) λ 2 π К λ ( δ γ ) е β ( х − μ ) {\displaystyle {\frac {(\gamma /\delta )^{\lambda }}{{\sqrt {2\pi }}K_ {\lambda }(\delta \gamma )}}\;e^{\beta (x-\mu )}\!}
× К λ − 1 / 2 ( α δ 2 + ( х − μ ) 2 ) ( δ 2 + ( х − μ ) 2 / α ) 1 / 2 − λ {\displaystyle {}\times {\frac {K_{\lambda -1/2}\left(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)}{\left({\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}/\alpha \right)^{1/2-\lambda }}}\!}
Иметь в виду μ + δ β К λ + 1 ( δ γ ) γ К λ ( δ γ ) {\displaystyle \mu +{\frac {\delta \beta K_ {\lambda +1}(\delta \gamma)}{\gamma K_ {\lambda }(\delta \gamma)}}}
Дисперсия δ К λ + 1 ( δ γ ) γ К λ ( δ γ ) + β 2 δ 2 γ 2 ( К λ + 2 ( δ γ ) К λ ( δ γ ) − К λ + 1 2 ( δ γ ) К λ 2 ( δ γ ) ) {\displaystyle {\frac {\delta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}+{\frac {\beta ^{2}\delta ^{2}}{\gamma ^{2}}}\left({\frac {K_{\lambda +2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}-{\frac {K_{\lambda +1}^{2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }^{2}(\delta \gamma )}}\right)}
МГФ е μ з γ λ α 2 − ( β + з ) 2 λ К λ ( δ α 2 − ( β + з ) 2 ) К λ ( δ γ ) {\displaystyle {\frac {e^{\mu z}\gamma ^{\lambda }}{{\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}}^{\lambda }}}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}

Обобщенное гиперболическое распределение ( GH ) — это непрерывное распределение вероятностей, определяемое как смесь нормального дисперсионного среднего , где смешивающее распределение — это обобщенное обратное гауссовское распределение (GIG). Его функция плотности вероятности (см. вставку) задается в терминах модифицированной функции Бесселя второго рода , обозначаемой . [1] Она была введена Оле Барндорфом-Нильсеном , который изучал ее в контексте физики переносимого ветром песка . [2] К λ {\displaystyle K_{\лямбда}}

Характеристики

Линейное преобразование

Этот класс замкнут относительно аффинных преобразований . [1]

Суммирование

Барндорф-Нильсен и Халгрин доказали, что распределение GIG бесконечно делимо , и поскольку распределение GH может быть получено как смесь нормальных дисперсий и средних, где распределение смешивания является обобщенным обратным гауссовым распределением , Барндорф-Нильсен и Халгрин показали, что распределение GH также бесконечно делимо. [3]

Не может быть замкнутым по свертке

Важным моментом относительно бесконечно делимых распределений является их связь с процессами Леви , т. е. в любой момент времени процесс Леви бесконечно делим. Многие семейства известных бесконечно делимых распределений являются так называемыми замкнутыми относительно свертки, т. е. если распределение процесса Леви в один момент времени принадлежит одному из этих семейств, то распределение процесса Леви во все моменты времени принадлежит к тому же семейству распределений. Например, процесс Пуассона будет распределен по Пуассону во все моменты времени, или броуновское движение будет нормально распределено во все моменты времени. Однако процесс Леви, который является обобщенно гиперболическим в один момент времени, может не быть обобщенно гиперболическим в другой момент времени. Фактически, обобщенные распределения Лапласа и нормальные обратные гауссовские распределения являются единственными подклассами обобщенных гиперболических распределений, которые замкнуты относительно свертки. [4]

Как следует из названия , оно имеет весьма общую форму, являясь суперклассом, среди прочего, распределения Стьюдента , распределения Лапласа , гиперболического распределения , нормального обратного гауссовского распределения и дисперсионного гамма-распределения .

Приложения

В основном он применяется в областях, где требуется достаточная вероятность поведения в дальней зоне [ необходимо разъяснение ] , которое он может моделировать благодаря своим полутяжелым хвостам — свойству, которым нормальное распределение не обладает. Обобщенное гиперболическое распределение часто используется в экономике, в частности, в областях моделирования финансовых рынков и управления рисками из-за своих полутяжелых хвостов.

Ссылки

  1. ^ аб Барндорф-Нильсен, Оле Э.; Микош, Томас; Резник, Сидни И. (2001). Процессы Леви: теория и приложения . Биркхойзер. ISBN 0-8176-4167-X.
  2. ^ Barndorff-Nielsen, Ole (1977). "Экспоненциально убывающие распределения для логарифма размера частиц". Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки . 353 (1674). Королевское общество: 401– 409. Bibcode : 1977RSPSA.353..401B. doi : 10.1098/rspa.1977.0041. JSTOR  79167.
  3. ^ Барндорф-Нильсен, О.; Халгрин, Кристиан (1977). «Бесконечная делимость гиперболического и обобщенного обратного гауссовского распределений». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete . 38 : 309–311 . doi : 10.1007/BF00533162.
  4. ^ Подгурский, Кшиштоф; Валлин, Йонас (9 февраля 2015 г.). «Сверточно-инвариантные подклассы обобщенных гиперболических распределений». Communications in Statistics – Theory and Methods . 45 (1): 98– 103. doi :10.1080/03610926.2013.821489.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Generalised_hyperbolic_distribution&oldid=1228171149"