Нормально-обратное гауссовское распределение
Нормально-обратный гауссов (NIG)
Параметры μ {\displaystyle \мю} местоположение ( реальное ) тяжесть хвоста (реальное) параметр асимметрии (реальное) параметр масштаба (реальное)
α {\displaystyle \альфа}
β {\displaystyle \бета}
δ {\displaystyle \дельта}
γ = α 2 − β 2 {\displaystyle \гамма ={\sqrt {\альфа ^{2}-\бета ^{2}}}}
Поддерживать х ∈ ( − ∞ ; + ∞ ) {\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}
PDF α δ К 1 ( α δ 2 + ( х − μ ) 2 ) π δ 2 + ( х − μ ) 2 е δ γ + β ( х − μ ) {\displaystyle {\frac {\alpha \delta K_{1}\left(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)}{\pi {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}}}\;e^{\delta \gamma +\beta (x-\mu )}}

К дж {\displaystyle K_{j}} обозначает модифицированную функцию Бесселя второго рода [1]
Иметь в виду μ + δ β / γ {\displaystyle \mu +\delta \beta /\gamma }
Дисперсия δ α 2 / γ 3 {\displaystyle \дельта \альфа ^{2}/\гамма ^{3}}
Асимметрия 3 β / ( α δ γ ) {\displaystyle 3\beta /(\alpha {\sqrt {\delta \gamma }})}
Избыточный эксцесс 3 ( 1 + 4 β 2 / α 2 ) / ( δ γ ) {\displaystyle 3(1+4\бета ^{2}/\альфа ^{2})/(\дельта \гамма)}
МГФ е μ з + δ ( γ − α 2 − ( β + з ) 2 ) {\displaystyle e^{\mu z+\delta (\gamma - {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})}}
CF е я μ з + δ ( γ − α 2 − ( β + я з ) 2 ) {\displaystyle e^{i\mu z+\delta (\gamma - {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +iz)^{2}}})}}

Нормально -обратное гауссовское распределение ( NIG , также известное как нормальное распределение Вальда ) — это непрерывное распределение вероятностей , которое определяется как смесь нормальной дисперсии и среднего, где плотность смешивания является обратным гауссовым распределением . Распределение NIG было отмечено Блейсилдом в 1977 году как подкласс обобщенного гиперболического распределения , открытого Оле Барндорфом-Нильсеном . [2] В следующем году Барндорф-Нильсен опубликовал NIG в другой статье. [3] Оно было введено в математическую финансовую литературу в 1997 году. [4]

Параметры нормально-обратного гауссовского распределения часто используются для построения графика тяжести и асимметрии, называемого NIG-треугольником. [5]

Характеристики

Моменты

Тот факт, что существует простое выражение для функции генерации моментов, подразумевает, что доступны простые выражения для всех моментов. [6] [7]

Линейное преобразование

Этот класс замкнут относительно аффинных преобразований , поскольку является частным случаем обобщенного гиперболического распределения , обладающего тем же свойством. Если

х ∼ Н я Г ( α , β , δ , μ )  и  у = а х + б , {\displaystyle x\sim {\mathcal {NIG}}(\alpha ,\beta ,\delta ,\mu ){\text{ и }}y=ax+b,}

тогда [8]

у ∼ Н я Г ( α | а | , β а , | а | δ , а μ + б ) . {\displaystyle y\sim {\mathcal {NIG}}{\bigl (}{\frac {\alpha }{\left|a\right|}},{\frac {\beta }{a}},\left|a\right|\delta ,a\mu +b{\bigr )}.}

Суммирование

Этот класс бесконечно делим , поскольку является частным случаем обобщенного гиперболического распределения , обладающего тем же свойством.

Свертка

Класс нормально-обратных гауссовых распределений замкнут относительно свертки в следующем смысле: [9] если и являются независимыми случайными величинами , которые распределены NIG с одинаковыми значениями параметров и , но, возможно, разными значениями параметров местоположения и масштаба, и , соответственно, то является распределенной NIG с параметрами и Х 1 {\displaystyle X_{1}} Х 2 {\displaystyle X_{2}} α {\displaystyle \альфа} β {\displaystyle \бета} μ 1 {\displaystyle \mu _{1}} δ 1 {\displaystyle \дельта _{1}} μ 2 , {\displaystyle \mu _{2},} δ 2 {\displaystyle \дельта _{2}} Х 1 + Х 2 {\displaystyle X_{1}+X_{2}} α , {\displaystyle \альфа,} β , {\displaystyle \бета,} μ 1 + μ 2 {\displaystyle \mu _{1}+\mu _{2}} δ 1 + δ 2 . {\displaystyle \delta _{1}+\delta _{2}.}

Класс распределений NIG представляет собой гибкую систему распределений, которая включает в себя распределения с толстыми хвостами и асимметричные распределения, а нормальное распределение возникает как частный случай, если задать и допустить . Н ( μ , σ 2 ) , {\displaystyle N(\mu,\sigma ^{2}),} β = 0 , δ = σ 2 α , {\displaystyle \бета =0,\дельта =\сигма ^{2}\альфа,} α → ∞ {\displaystyle \alpha \rightarrow \infty}

Случайный процесс

Нормально-обратное гауссовское распределение также можно рассматривать как маргинальное распределение нормально-обратного гауссова процесса, что обеспечивает альтернативный способ его явного построения. Начиная с дрейфующего броуновского движения ( процесса Винера ), мы можем определить обратный гауссов процесс. Затем, учитывая второе независимое дрейфующее броуновское движение, нормально-обратный гауссов процесс является измененным во времени процессом . Процесс в момент времени имеет нормально-обратное гауссово распределение, описанное выше. Процесс NIG является частным случаем более общего класса процессов Леви . Вт ( γ ) ( т ) = Вт ( т ) + γ т {\displaystyle W^{(\gamma )}(t)=W(t)+\gamma t} А т = инф { с > 0 : Вт ( γ ) ( с ) = δ т } . {\displaystyle A_{t}=\inf\{s>0:W^{(\gamma )}(s)=\delta t\}.} W ( β ) ( t ) = W ~ ( t ) + β t {\displaystyle W^{(\beta )}(t)={\tilde {W}}(t)+\beta t} X t = W ( β ) ( A t ) {\displaystyle X_{t}=W^{(\beta )}(A_{t})} X ( t ) {\displaystyle X(t)} t = 1 {\displaystyle t=1}


Как дисперсионно-средняя смесь

Пусть обозначает обратное гауссовское распределение , а обозначает нормальное распределение . Пусть , где ; и пусть , тогда следует распределению NIG с параметрами . Это можно использовать для генерации переменных NIG с помощью выборки предков. Это также можно использовать для получения алгоритма EM для оценки параметров NIG с максимальным правдоподобием . [10] I G {\displaystyle {\mathcal {IG}}} N {\displaystyle {\mathcal {N}}} z ∼ I G ( δ , γ ) {\displaystyle z\sim {\mathcal {IG}}(\delta ,\gamma )} γ = α 2 − β 2 {\displaystyle \gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}} x ∼ N ( μ + β z , z ) {\displaystyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu +\beta z,z)} x {\displaystyle x} α , β , δ , μ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\delta ,\mu }

Ссылки

  1. ^ Оле Э. Барндорф-Нильсен, Томас Микош и Сидней И. Резник, Процессы Леви: теория и приложения, Биркхойзер 2013 Примечание: в литературе эта функция также упоминается как модифицированная функция Бесселя третьего рода
  2. ^ Барндорф-Нильсен, Оле (1977). «Экспоненциально убывающие распределения для логарифма размера частиц». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки . 353 (1674). Королевское общество: 401– 409. doi :10.1098/rspa.1977.0041. JSTOR  79167.
  3. ^ О. Барндорф-Нильсен, Гиперболические распределения и распределения на гиперболах, Scandinavian Journal of Statistics 1978
  4. ^ О. Барндорф-Нильсен, Нормальные обратные гауссовские распределения и моделирование стохастической волатильности, Scandinavian Journal of Statistics 1997
  5. ^ СТ Рачев, Справочник по распределениям с тяжелыми хвостами в финансах, Том 1: Справочники по финансам, Книга 1, Северная Голландия 2003
  6. ^ Эрик Больвикен, Фред Эспен Бет, Количественная оценка риска норвежских акций с помощью нормального обратного гауссовского распределения, Труды коллоквиума AFIR 2000
  7. ^ Анна Калеманова, Бернд Шмид, Ральф Вернер, Нормальное обратное гауссовское распределение для синтетического ценообразования CDO, Журнал деривативов 2007
  8. ^ Паолелла, Марк С. (2007). Промежуточная вероятность: вычислительный подход . John Wiley & Sons.
  9. ^ Оле Э. Барндорф-Нильсен, Томас Микош и Сидней И. Резник, Процессы Леви: теория и приложения, Birkhäuser 2013
  10. ^ Карлис, Димитрис (2002). «Алгоритм типа EM для оценки ML для нормального–обратного гауссовского распределения». Statistics and Probability Letters . 57 : 43–52 .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Normal-inverse_Gaussian_distribution&oldid=1165687527"