Оснащенное гильбертово пространство

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) Эта статья может оказаться слишком сложной для понимания большинством читателей .Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы сделать его понятным для неспециалистов , не удаляя технические детали. ( Июнь 2020 г. )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (July 2023) (Learn how and when to remove this message) (Learn how and when to remove this message)

В математике оснащенное гильбертово пространство ( тройка Гельфанда , вложенное гильбертово пространство , оснащенное гильбертово пространство ) — это конструкция, призванная связать аспекты распределения и квадратично-интегрируемого функционального анализа . Такие пространства были введены для изучения спектральной теории . Они объединяют « связанное состояние » ( собственный вектор ) и « непрерывный спектр » в одном месте.

Используя это понятие, можно сформулировать версию спектральной теоремы для неограниченных операторов в гильбертовом пространстве. ^[1] «Оснащенные гильбертовы пространства хорошо известны как структура, которая придает надлежащий математический смысл формулировке Дирака квантовой механики ». ^[2]

Функция, такая как является собственной функцией дифференциального оператора на действительной прямой R , но не является квадратично интегрируемой для обычной ( лебеговой ) меры на R . Чтобы должным образом рассмотреть эту функцию как собственную функцию, требуется некоторый способ выйти за строгие рамки теории гильбертова пространства . Это было предоставлено аппаратом распределений , и обобщенная теория собственных функций была разработана в годы после 1950 года.$${\displaystyle x\mapsto e^{ix},}$$$${\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}}$$

Концепция оснащенного гильбертова пространства помещает эту идею в абстрактную функционально-аналитическую структуру. Формально оснащенное гильбертово пространство состоит из гильбертова пространства H вместе с подпространством Φ, которое несет более тонкую топологию , то есть такое, для которого естественное включение непрерывно. Не будет потерей предположить, что Φ плотно в H для нормы Гильберта. Мы рассматриваем включение дуальных пространств H * в Φ ^* . Последнее, дуальное к Φ в его топологии «тестовой функции», реализуется как пространство распределений или обобщенных функций некоторого вида, и ^{линейные} функционалы на подпространстве Φ типа для v в H точно представлены как распределения (потому что мы предполагаем Φ плотным).$${\displaystyle \Phi \subseteq H}$$ $${\displaystyle \phi \mapsto \langle v,\phi \rangle }$$

Теперь, применяя теорему Рисса о представлении, мы можем отождествить H ^* с H. Таким образом, определение оснащенного гильбертова пространства дается в терминах сэндвича:$${\displaystyle \Phi \subseteq H\subseteq \Phi ^{*}.}$$

Наиболее значимыми примерами являются те, для которых Φ является ядерным пространством ; этот комментарий является абстрактным выражением идеи, что Φ состоит из тестовых функций и Φ* соответствующих распределений . Также простой пример дают пространства Соболева : Здесь (в простейшем случае пространств Соболева на ) где .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi =H^{s}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi ^{*}=H^{-s}(\mathbb {R} ^{n}),}$$${\displaystyle s>0}$

Оснащенное гильбертово пространство — это пара ( H , Φ), где H — гильбертово пространство, Φ — плотное подпространство, такое, что Φ задана топологическая структура векторного пространства , для которой отображение включения i является непрерывным.

Отождествляя H с его двойственным пространством H ^* , сопряженным к i является отображение$${\displaystyle i^{*}:H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$$

Тогда дуальное спаривание между Φ и Φ ^* совместимо со скалярным произведением на H в том смысле, что: всякий раз, когда и . В случае комплексных гильбертовых пространств мы используем эрмитово скалярное произведение; оно будет комплексно-линейным по u (математическое соглашение) или v (физическое соглашение) и сопряженно-линейным (комплексно-антилинейным) по другой переменной.$${\displaystyle \langle u,v\rangle _{\Phi \times \Phi ^{*}}=(u,v)_{H}}$$${\displaystyle u\in \Phi \subset H}$${\displaystyle v\in H=H^{*}\subset \Phi ^{*}}$

Тройку часто называют «тройкой Гельфанда» (в честь математика Израиля Гельфанда ). Ее называют опорным пространством.${\displaystyle (\Phi ,\,\,H,\,\,\Phi ^{*})}$${\displaystyle H}$

Обратите внимание, что даже если Φ изоморфно Φ ^* (через представление Рисса ), если Φ само по себе является гильбертовым пространством, этот изоморфизм не совпадает с композицией включения i с его сопряженным i *$${\displaystyle i^{*}i:\Phi \subset H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$$