Свободное произведение ассоциативных алгебр

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив ссылки на дополнительные источники . Найти источники:  «Свободное произведение ассоциативных алгебр» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2024 г. )

В алгебре свободное произведение ( копроизведение ) семейства ассоциативных алгебр над коммутативным кольцом R — это ассоциативная алгебра над R, которая, грубо говоря, определяется образующими и соотношениями ' s. Свободное произведение двух алгебр A , B обозначается как A  ∗  B. Это понятие является кольцевым аналогом свободного произведения групп .${\displaystyle A_{i},i\in I}$ ${\displaystyle A_{i}}$

В категории коммутативных R -алгебр свободное произведение двух алгебр (в этой категории ) является их тензорным произведением .

Сначала мы определяем свободное произведение двух алгебр. Пусть A и B — алгебры над коммутативным кольцом R. Рассмотрим их тензорную алгебру , прямую сумму всех возможных конечных тензорных произведений A , B ; явно, где${\displaystyle T=\bigoplus _{n=0}^{\infty }T_{n}}$

${\displaystyle T_{0}=R,\,T_{1}=A\oplus B,\,T_{2}=(A\otimes A)\oplus (A\otimes B)\oplus (B\otimes A)\oplus (B\otimes B),\,T_{3}=\cdots ,\dots }$

Затем мы устанавливаем

${\displaystyle A*B=T/I}$

где I — двусторонний идеал, порожденный элементами вида

${\displaystyle a\otimes a'-aa',\,b\otimes b'-bb',\,1_{A}-1_{B}.}$

Затем мы проверяем, что для этого выполняется универсальное свойство копроизведения (это просто).

Аналогично определяется конечное свободное произведение.

• KI Beidar, WS Martindale и AV Mikhalev, Кольца с обобщенными тождествами, Раздел 1.4. Эта ссылка была упомянута в "Coproduct in the category of (noncommutative) associative algebras". Stack Exchange . 9 мая 2012 г.

• «Как построить копроизведение двух (некоммутативных) колец». Stack Exchange . 3 января 2014 г.

Эта статья по алгебре — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• v
• t
• e