Аргумент Фраттини

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) В статье содержится список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты .Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( август 2017 г. )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) Для проверки данной статьи необходимы дополнительные цитаты .Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  "Аргумент Фраттини" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2017 г. )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В теории групп , разделе математики , аргумент Фраттини является важной леммой в теории структур конечных групп . Он назван в честь Джованни Фраттини , который использовал его в статье 1885 года при определении подгруппы Фраттини группы. Аргумент был взят Фраттини, как он сам признает, из статьи Альфредо Капелли , датированной 1884 годом. ^[1]

Если — конечная группа с нормальной подгруппой , и если — силовская p -подгруппа группы , то${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle P}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle G=N_{G}(P)H,}$

где обозначает нормализатор в , а означает произведение подмножеств группы .${\displaystyle N_{G}(P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N_{G}(P)H}$

Группа является силовской -подгруппой группы , поэтому каждая силовская -подгруппа группы является -сопряженной группой группы , то есть она имеет вид для некоторых (см. теоремы Силова ). Пусть будет любым элементом группы . Так как является нормальной в , подгруппа содержится в . Это означает, что является силовской -подгруппой группы . Тогда, согласно вышесказанному, она должна быть -сопряженной группе : то есть для некоторых${\displaystyle P}$${\displaystyle p}$${\displaystyle H}$${\displaystyle p}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle P}$${\displaystyle h^{-1}Ф}$${\displaystyle h\in H}$${\displaystyle г}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g^{-1}Pg}$${\displaystyle H}$${\displaystyle g^{-1}Pg}$${\displaystyle p}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle P}$${\displaystyle h\in H}$

${\displaystyle g^{-1}Pg=h^{-1}Ph,}$

и так

${\displaystyle hg^{-1}Pgh^{-1}=P.}$

Таким образом

${\displaystyle gh^{-1}\in N_{G}(P),}$

и поэтому . Но был произвольным, и поэтому${\displaystyle g\in N_{G}(P)H}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle G=HN_{G}(P)=N_{G}(P)H.\ \square }$

• Аргумент Фраттини можно использовать как часть доказательства того, что любая конечная нильпотентная группа является прямым произведением своих силовских подгрупп.
• Применяя аргумент Фраттини к , можно показать, что всякий раз, когда является конечной группой и является силовской -подгруппой .${\displaystyle N_{G}(N_{G}(P))}$${\displaystyle N_{G}(N_{G}(P))=N_{G}(P)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$
• В более общем случае, если подгруппа содержит для некоторой силовской -подгруппы группы , то является самонормализующейся, т.е. .${\displaystyle M\leq G}$${\displaystyle N_{G}(P)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle М}$${\displaystyle M=N_{G}(M)}$

• Аргумент Фраттини на ProofWiki

• Холл, Маршалл (1959). Теория групп . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Macmillan. (См. Главу 10, особенно Раздел 10.4.)