Распределение Миттаг-Леффлера

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив ссылки на дополнительные источники . Найти источники:  "Распределение Миттаг-Леффлера" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2013 г. )

Распределения Миттаг -Леффлера — это два семейства распределений вероятностей на полупрямой . Они параметризуются действительным числом или . Оба определяются функцией Миттаг-Леффлера , названной в честь Гёсты Миттаг-Леффлера . ^[1]${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle \альфа \in (0,1]}$${\displaystyle \альфа \in [0,1]}$

Для любого комплекса, действительная часть которого положительна, ряд${\displaystyle \альфа}$

${\displaystyle E_{\alpha }(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{\Gamma (1+\alpha n)}}}$

определяет целую функцию. Для ряд сходится только на круге радиуса один, но его можно аналитически продолжить до .${\displaystyle \альфа =0}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$

Первое семейство распределений Миттаг-Леффлера определяется соотношением между функцией Миттаг-Леффлера и их кумулятивными функциями распределения .

Для всех функция возрастает на вещественной прямой, сходится к в и . Следовательно, функция является кумулятивной функцией распределения вероятностной меры на неотрицательных вещественных числах. Распределение, определенное таким образом, и любое из его кратных, называется распределением Миттаг-Леффлера порядка .${\displaystyle \альфа \in (0,1]}$${\displaystyle E_{\альфа}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle E_{\альфа}(0)=1}$${\displaystyle x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })}$${\displaystyle \альфа}$

Все эти распределения вероятностей абсолютно непрерывны . Поскольку — показательная функция, распределение Миттаг-Леффлера порядка является показательным распределением . Однако для распределения Миттаг-Леффлера имеют тяжелый хвост , при этом${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \альфа \in (0,1)}$

${\displaystyle E_{\alpha }(-x^{\alpha })\sim {\frac {x^{-\alpha }}{\Gamma (1-\alpha )}},\quad x\to \infty .}$

Их преобразование Лапласа имеет вид:

${\displaystyle \mathbb {E} (e^{-\lambda X_{\alpha }})={\frac {1}{1+\lambda ^{\alpha }}},}$

что подразумевает, что для , ожидание бесконечно. Кроме того, эти распределения являются геометрически устойчивыми распределениями . Процедуры оценки параметров можно найти здесь. ^{[2] [3]}${\displaystyle \альфа \in (0,1)}$

Второе семейство распределений Миттаг-Леффлера определяется соотношением между функцией Миттаг-Леффлера и ее функциями, генерирующими моменты .

Для всех говорят, что случайная величина следует распределению Миттаг-Леффлера порядка , если для некоторой константы${\displaystyle \альфа \in [0,1]}$${\displaystyle X_{\альфа}}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle С>0}$

${\displaystyle \mathbb {E} (e^{zX_{\alpha }}) = E_ {\alpha }(Cz),}$

где сходимость означает все в комплексной плоскости, если , и все в круге радиуса, если .${\displaystyle z}$${\displaystyle \альфа \in (0,1]}$${\displaystyle z}$${\displaystyle 1/С}$${\displaystyle \альфа =0}$

Распределение Миттаг-Леффлера порядка является экспоненциальным распределением. Распределение Миттаг-Леффлера порядка является распределением абсолютного значения случайной величины нормального распределения . Распределение Миттаг-Леффлера порядка является вырожденным распределением . В отличие от первого семейства распределений Миттаг-Леффлера эти распределения не имеют тяжелого хвоста.${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle 1}$

Эти распределения обычно находятся в связи с локальным временем марковских процессов.