Формула снижения LSZ

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Фон Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Большая сила Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория Теория Янга-Миллса
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Симметрия калибровок Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Метод фонового поля BRST-квантование Корреляционная функция Пересечение Эффективное действие Эффективная теория поля Ожидаемое значение Диаграмма Фейнмана Теория решетчатого поля Формула снижения LSZ Функция разделения Формулировка интеграла по траектории Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Уайтмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна–Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера–ДеВитта Уравнения Баргмана–Вигнера Уравнение Швингера-Дайсона Уравнение ренормгруппы
Стандартная модель Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика механизм Хиггса
Неполные теории Теория струн Суперсимметрия Техниколор Теория всего Квантовая гравитация
Ученые Адлер Андерсон Ансельм Баргманн Бекки Белавин Белл Березин Бете Бьёркен Блюэр Боголюбов Бродский Браут Бухгольц Качасо Каллан Коулмэн Конн Дашен ДеВитт Дирак Доплихер Дайсон Энглерт Фаддеев Фадин Файет Ферми Фейнман Фирц Фок Фрэмптон Фрицш Фрёлих Фреденхаген Пушистый Глэшоу Гельфанд Гелл-Манн Глимм Голдстоун Грибов Валовой Гупта Guralnik Haag Heisenberg Hepp Higgs Hagen 't Hooft Iliopoulos Ivanenko Jackiw Jaffe Jona-Lasinio Jordan Jost Källén Kendall Kinoshita Klebanov Kontsevich Kreimer Kuraev Landau Lee Lehmann Leutwyler Lipatov Łopuszański Low Lüders Maiani Majorana Maldacena Migdal Mills Møller Naimark Nambu Neveu Nishijima Oehme Oppenheimer Osterwalder Parisi Pauli Peskin Plefka Polchinski Polyakov Pomeranchuk Popov Proca Rubakov Ruelle Salam Schrader Schwarz Schwinger Segal Seiberg Semenoff Shifman Shirkov Skyrme Sommerfield Stora Stueckelberg Sudarshan Symanzik Thirring Tomonaga Tyutin Vainshtein Veltman Virasoro Ward Weinberg Weisskopf Wentzel Wess Wetterich Weyl Wick Wightman Wigner Wilczek Wilson Witten Yang Yukawa Zamolodchikov Zamolodchikov Zee Zimmermann Zinn-Justin Zuber Zumino
v t e

В квантовой теории поля формула редукции Лемана –Симанцика–Циммермана ( LSZ ) представляет собой метод вычисления элементов S -матрицы ( амплитуд рассеяния ) из упорядоченных по времени корреляционных функций квантовой теории поля. Это шаг на пути, который начинается с лагранжиана некоторой квантовой теории поля и приводит к предсказанию измеримых величин. Она названа в честь трех немецких физиков Гарри Лемана , Курта Симанцика и Вольфхарта Циммермана . ^[1]

Хотя формула редукции LSZ не может обрабатывать связанные состояния , безмассовые частицы и топологические солитоны , ее можно обобщить для покрытия связанных состояний, используя составные поля , которые часто нелокальны. Кроме того, этот метод или его варианты оказались также плодотворными в других областях теоретической физики. Например, в статистической физике они могут быть использованы для получения особенно общей формулировки теоремы о флуктуации-диссипации .

Элементы S -матрицы представляют собой амплитуды переходов между входными и выходными состояниями. ^{[2] [3] [4] [5] [6]} Входное состояние описывает состояние системы частиц, которые в далеком прошлом, до взаимодействия, свободно двигались с определенными импульсами{ p } , и, наоборот, выходное состояниеописывает состояние системы частиц, которые спустя долгое время после взаимодействия будут свободно двигаться с определенными импульсами { p }.${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {in} \rangle }$${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {out} \rangle }$

Состояния «вход» и «выход» являются состояниями в картине Гейзенберга, поэтому их не следует считать описывающими частицы в определенный момент времени, а скорее описывающими систему частиц в ее полной эволюции, так что элемент S-матрицы:

${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\langle \{q\}\ \mathrm {out} |\{p\}\ \mathrm {in} \rangle }$

представляет собой амплитуду вероятности для набора частиц, которые были подготовлены с определенными импульсами { p } для взаимодействия и последующего измерения как новый набор частиц с импульсами { q }.

Простой способ ^{[примечание 1]} для построения состояний in и out — это поиск соответствующих операторов поля, которые обеспечивают правильные операторы создания и уничтожения . Эти поля называются соответственно in и out полями:

Чтобы зафиксировать идею, предположим, что мы имеем дело с полем Клейна–Гордона , которое взаимодействует каким-то образом, который нас не касается:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi -{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$может содержать самовзаимодействие gφ ³ или взаимодействие с другими полями, например, взаимодействие Юкавы . Из этого лагранжиана , используя уравнения Эйлера–Лагранжа , следует уравнение движения:${\displaystyle g\ \varphi {\bar {\psi }}\psi }$

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)}$

где, если не содержит производных связей:${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$

${\displaystyle j_{0}={\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}{\partial \varphi }}}$

Мы можем ожидать, что поле в будет напоминать асимптотическое поведение свободного поля при x ⁰ → −∞ , делая предположение, что в далеком прошлом взаимодействие, описываемое током j _{0 ,} пренебрежимо мало, поскольку частицы находятся далеко друг от друга. Эта гипотеза называется адиабатической гипотезой . Однако самовзаимодействие никогда не исчезает и, помимо многих других эффектов, оно вызывает разницу между массой Лагранжа m ₀ и физической массой m бозона φ . Этот факт необходимо принять во внимание, переписав уравнение движения следующим образом: ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)+\left(m^{2}-m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j(x)}$

Это уравнение можно решить формально, используя запаздывающую функцию Грина оператора Клейна–Гордона :${\displaystyle \partial ^{2}+m^{2}}$

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {ret} }(x)=i\theta \left(x^{0}\right)\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega _{k}}}\left(e^{-ik\cdot x}-e^{ik\cdot x}\right)_{k^{0}=\omega _{k}}\qquad \omega _{k}={\sqrt {\mathbf {k} ^{2}+m^{2}}}}$

позволяя нам отделить взаимодействие от асимптотического поведения. Решение:

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)j(y)}$

Множитель √ Z — это нормировочный множитель, который пригодится нам позже, поле φ _в является решением однородного уравнения , связанного с уравнением движения:

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi _{\mathrm {in} }(x)=0,}$

и, следовательно, представляет собой свободное поле , описывающее входящую невозмущенную волну, в то время как последний член решения дает возмущение волны из-за взаимодействия.

Поле φ _in действительно является тем in полем, которое мы искали, поскольку оно описывает асимптотическое поведение взаимодействующего поля при x ⁰ → −∞ , хотя это утверждение будет уточнено позже. Это свободное скалярное поле, поэтому его можно разложить по плоским волнам:

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }(x)=\int \mathrm {d} ^{3}k\left\{f_{k}(x)a_{\mathrm {in} }(\mathbf {k} )+f_{k}^{*}(x)a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} )\right\}}$

где:

${\displaystyle f_{k}(x)=\left.{\frac {e^{-ik\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{k})^{\frac {1}{2}}}}\right|_{k^{0}=\omega _{k}}}$

Обратную функцию для коэффициентов по полю можно легко получить и представить в элегантном виде:

${\displaystyle a_{\mathrm {in} }(\mathbf {k} )=i\int \mathrm {d} ^{3}xf_{k}^{*}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)}$

где:

${\displaystyle {\mathrm {g} }{\overleftrightarrow {\partial _{0}}}f=\mathrm {g} \partial _{0}f-f\partial _{0}\mathrm {g} .}$

Коэффициенты Фурье удовлетворяют алгебре операторов рождения и уничтожения :

${\displaystyle [a_{\mathrm {in} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )]=0;\quad [a_{\mathrm {in} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {q} )]=\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} );}$

и их можно использовать для создания состояний обычным способом:

${\displaystyle \left|k_{1},\ldots ,k_{n}\ \mathrm {in} \right\rangle ={\sqrt {2\omega _{k_{1}}}}a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{1})\ldots {\sqrt {2\omega _{k_{n}}}}a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{n})|0\rangle }$

Соотношение между взаимодействующим полем и входящим полем не очень просто использовать, и наличие запаздывающей функции Грина подталкивает нас написать что-то вроде:

${\displaystyle \varphi (x)\sim {\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)\qquad \mathrm {as} \quad x^{0}\to -\infty }$

неявно предполагая, что все взаимодействия становятся незначительными, когда частицы находятся далеко друг от друга. Однако ток j ( x ) содержит также самовзаимодействия, подобные тем, которые производят сдвиг массы от m ₀ до m . Эти взаимодействия не исчезают по мере разбегания частиц, поэтому необходимо проявлять большую осторожность при установлении асимптотических соотношений между взаимодействующим полем и внутренним полем.

Правильное предписание, разработанное Леманном, Симанзиком и Циммерманном, требует двух нормализуемых состояний и , а также нормализуемого решения f  ( x ) уравнения Клейна–Гордона . С помощью этих частей можно сформулировать правильное и полезное, но очень слабое асимптотическое соотношение:${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle |\beta \rangle }$ ${\displaystyle (\partial ^{2}+m^{2})f(x)=0}$

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)|\beta \rangle }$

Второй член действительно не зависит от времени, что можно показать, дифференцируя и вспоминая, что как φ _{in ,} так и f удовлетворяют уравнению Клейна–Гордона.  

С соответствующими изменениями те же шаги могут быть выполнены для построения внешнего поля, которое строит внешние состояния. В частности, определение внешнего поля следующее:

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {out} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {adv} }(x-y)j(y)}$

где Δ _adv ( x − y ) — расширенная функция Грина оператора Клейна–Гордона. Слабое асимптотическое соотношение между внешним полем и взаимодействующим полем:

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {out} }(x)|\beta \rangle }$

Асимптотические соотношения — это все, что нужно для получения формулы редукции LSZ. Для удобства в будущем начнем с матричного элемента:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$

что немного более общее, чем элемент S -матрицы. Действительно, является ожидаемым значением упорядоченного по времени произведения ряда полей между выходным состоянием и входным состоянием. Выходное состояние может содержать что угодно, от вакуума до неопределенного числа частиц, чьи импульсы суммируются индексом β . Входное состояние содержит по крайней мере частицу с импульсом p и, возможно, много других, чьи импульсы суммируются индексом α . Если в упорядоченном по времени произведении нет полей, то, очевидно, является элементом S -матрицы. Частица с импульсом p может быть «извлечена» из входного состояния с помощью оператора создания:${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \varphi (y_{1})\cdots \varphi (y_{n})}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} ){\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

где штрих на обозначает, что одна частица была выведена. Предполагая, что в состоянии out нет ни одной частицы с импульсом p , то есть мы игнорируем рассеяние вперед, мы можем записать:${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\left\{\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} )-a_{\mathrm {out} }^{\dagger }(\mathbf {p} )\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

потому что действие слева дает ноль. Выражая операторы построения в терминах полей in и out , имеем:${\displaystyle a_{\mathrm {out} }^{\dagger }}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {2\omega _{p}}}\ \int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\left\{\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi _{\mathrm {in} }(x)-\varphi _{\mathrm {out} }(x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

Теперь мы можем использовать асимптотическое условие и записать:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left\{\lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi (x)|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle -\lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\varphi (x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle \right\}}$

Затем мы замечаем, что поле φ ( x ) можно перенести внутрь упорядоченного по времени произведения, поскольку оно появляется справа, когда x ⁰ → −∞ , и слева, когда x ⁰ → ∞ :

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left(\lim _{x^{0}\to -\infty }-\lim _{x^{0}\to \infty }\right)\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$

В дальнейшем имеет значение зависимость x в упорядоченном по времени произведении, поэтому мы устанавливаем:

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle =\eta (x)}$

Можно показать, явно выполнив интегрирование по времени, что: ^{[примечание 2]}

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} (x^{0})\partial _{0}\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\eta (x)}$

так что, путем явного вывода времени, мы имеем:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}x\left\{f_{p}(x)\partial _{0}^{2}\eta (x)-\eta (x)\partial _{0}^{2}f_{p}(x)\right\}}$

По определению мы видим, что f _p  ( x ) является решением уравнения Клейна–Гордона, которое можно записать как: 

${\displaystyle \partial _{0}^{2}f_{p}(x)=\left(\Delta -m^{2}\right)f_{p}(x)}$

Подставляя в выражение для и интегрируя по частям, приходим к:${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}xf_{p}(x)\left(\partial _{0}^{2}-\Delta +m^{2}\right)\eta (x)}$

То есть:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\int \mathrm {d} ^{4}xe^{-ip\cdot x}\left(\Box +m^{2}\right)\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$

Начиная с этого результата и следуя тому же пути, можно извлечь еще одну частицу из состояния in , что приведет к вставке другого поля в упорядоченный по времени продукт. Очень похожая процедура может извлекать частицы из состояния out , и обе могут быть итерированы, чтобы получить вакуум как справа, так и слева от упорядоченного по времени продукта, что приведет к общей формуле:

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\int \prod _{i=1}^{m}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}{\frac {ie^{-iq_{i}\cdot x_{i}}\left(\Box _{x_{i}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}y_{j}{\frac {ie^{ip_{j}\cdot y_{j}}\left(\Box _{y_{j}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\langle \Omega |\mathrm {T} \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{m})\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|\Omega \rangle }$

Что такое формула редукции LSZ для скаляров Клейна–Гордона. Она приобретает гораздо более привлекательный вид, если ее записать с использованием преобразования Фурье корреляционной функции:

${\displaystyle \Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)=\int \prod _{i=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}e^{ip_{i}\cdot x_{i}}\right\}\langle \Omega |\mathrm {T} \ \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{n})|\Omega \rangle }$

Используя обратное преобразование для подстановки в формулу редукции LSZ, приложив некоторые усилия, можно получить следующий результат:

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\prod _{i=1}^{m}\left\{-{\frac {i\left(p_{i}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{-{\frac {i\left(q_{j}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n};-q_{1},\ldots ,-q_{m}\right)}$

Оставляя в стороне факторы нормировки, эта формула утверждает, что элементы S -матрицы являются остатками полюсов, которые возникают в преобразовании Фурье корреляционных функций при размещении четырехимпульсов на оболочке.

Напомним, что решения квантованного уравнения Дирака для свободного поля можно записать в виде

${\displaystyle \Psi (x)=\sum _{s=\pm }\int \!\mathrm {d} {\tilde {p}}{\big (}b_{\textbf {p}}^{s}u_{\textbf {p}}^{s}\mathrm {e} ^{ip\cdot x}+d_{\textbf {p}}^{\dagger s}v_{\textbf {p}}^{s}\mathrm {e} ^{-ip\cdot x}{\big )},}$

где метрическая сигнатура в основном плюс, — оператор уничтожения для частиц b-типа с импульсом и спином , — оператор рождения для частиц d-типа со спином , а спиноры и удовлетворяют и . Лоренц-инвариантная мера записывается как , с . Рассмотрим теперь событие рассеяния, состоящее из состояния in невзаимодействующих частиц, приближающихся к области взаимодействия в начале координат, где происходит рассеяние, за которым следует состояние out исходящих невзаимодействующих частиц. Амплитуда вероятности для этого процесса определяется выражением${\displaystyle b_{\textbf {p}}^{s}}$${\displaystyle {\textbf {p}}}$${\displaystyle s=\pm }$${\displaystyle d_{\textbf {p}}^{\dagger s}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle u_{\textbf {p}}^{s}}$${\displaystyle v_{\textbf {p}}^{s}}$${\displaystyle (p\!\!\!/+m)u_{\textbf {p}}^{s}=0}$${\displaystyle (p\!\!\!/-m)v_{\textbf {p}}^{s}=0}$${\displaystyle \mathrm {d} {\tilde {p}}:=\mathrm {d} ^{3}p/(2\pi )^{3}2\omega _{\textbf {p}}}$${\displaystyle \omega _{\textbf {p}}={\sqrt {{\textbf {p}}^{2}+m^{2}}}}$${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$${\displaystyle |\beta \ \mathrm {out} \rangle }$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |\alpha \ \mathrm {in} \rangle ,}$

где для простоты не было вставлено никакого дополнительного упорядоченного по времени произведения операторов поля. Рассматриваемая ситуация будет представлять собой рассеяние частиц типа b на частицы типа b. Предположим, что состояние in состоит из частиц с импульсами и спинами , тогда как состояние out содержит частицы с импульсами и спинами . Тогда состояния in и out задаются как${\displaystyle n}$${\displaystyle n'}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{{\textbf {p}}_{1},...,{\textbf {p}}_{n}\}}$${\displaystyle \{s_{1},...,s_{n}\}}$${\displaystyle \{{\textbf {k}}_{1},...,{\textbf {k}}_{n'}\}}$${\displaystyle \{\sigma _{1},...,\sigma _{n'}\}}$

${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle =|{\textbf {p}}_{1}^{s_{1}},...,{\textbf {p}}_{n}^{s_{n}}\rangle \quad {\text{and}}\quad |\beta \ \mathrm {out} \rangle =|{\textbf {k}}_{1}^{\sigma _{1}},...,{\textbf {k}}_{n'}^{\sigma _{n'}}\rangle .}$

Извлечение входящей частицы из дает оператор создания свободного поля, действующий на состояние с одной частицей меньше. Предполагая, что ни одна исходящая частица не имеет того же импульса, мы можем записать${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$${\displaystyle b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {in} }^{\dagger s_{1}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {in} }^{\dagger s_{1}}-b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {out} }^{\dagger s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ,}$

где штрих на обозначает, что одна частица была выведена. Теперь вспомним, что в свободной теории операторы частиц типа b могут быть записаны в терминах поля с использованием обратного соотношения${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle b_{\textbf {p}}^{\dagger s}=\int \!\mathrm {d} ^{3}x\;\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s},}$

где . Обозначая асимптотически свободные поля через и , находим${\displaystyle {\bar {\Psi }}(x)=\Psi ^{\dagger }(x)\gamma ^{0}}$${\displaystyle \Psi _{\text{in}}}$${\displaystyle \Psi _{\text{out}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\int \!\mathrm {d} ^{3}x_{1}\;\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\text{in}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}-{\bar {\Psi }}_{\text{out}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Слабое асимптотическое условие, необходимое для поля Дирака, аналогичное условию для скалярных полей, имеет вид

${\displaystyle \lim _{x^{0}\rightarrow -\infty }\int \!\mathrm {d} ^{3}x\langle \beta |\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ={\sqrt {Z}}\int \!\mathrm {d} ^{3}x\langle \beta |\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}_{\text{in}}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ,}$

и то же самое для внешнего поля. Амплитуда рассеяния тогда равна

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {1}{\sqrt {Z}}}{\Big (}\lim _{x_{1}^{0}\rightarrow -\infty }-\lim _{x_{1}^{0}\rightarrow +\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}x_{1}\;\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ,}$

где теперь взаимодействующее поле появляется во внутреннем произведении. Переписывая пределы в терминах интеграла производной по времени, имеем

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-{\frac {1}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\partial _{0}{\big (}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle {\big )}}$

${\displaystyle =-{\frac {1}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}(\partial _{0}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\eta (x_{1})+\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\partial _{0}\eta (x_{1}){\big )}\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}},}$

где вектор-строка матричных элементов заштрихованного поля Дирака записывается как . Теперь вспомним, что является решением уравнения Дирака:${\displaystyle \eta (x_{1}):=\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$${\displaystyle \mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}}$

${\displaystyle (-i\partial \!\!\!/+m)\mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}=0.}$

Решая для , подставляя его в первый член интеграла и выполняя интегрирование по частям, получаем${\displaystyle \gamma ^{0}\partial _{0}\mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}{\big (}i\partial _{\mu }\eta (x_{1})\gamma ^{\mu }+\eta (x_{1})m{\big )}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}.}$

Переход к индексной нотации Дирака (с суммами по повторяющимся индексам) позволяет получить более аккуратное выражение, в котором величину в квадратных скобках следует рассматривать как дифференциальный оператор:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}[(i{\partial \!\!\!/}_{x_{1}}+m)u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}]_{\alpha _{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Рассмотрим далее матричный элемент, появляющийся в интеграле. Извлекая оператор создания внешнего состояния и вычитая соответствующий оператор внутреннего состояния, с предположением, что ни одна входящая частица не имеет того же импульса, мы имеем

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle =\langle \beta '\ \mathrm {out} |b_{{\textbf {k}}_{1},\mathrm {out} }^{\sigma _{1}}{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})-{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})b_{{\textbf {k}}_{1},\mathrm {in} }^{\sigma _{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Помня, что , где , мы можем заменить операторы уничтожения на в полях, используя сопряженное обратное отношение. Применяя асимптотическое отношение, находим${\displaystyle ({\bar {\Psi }}\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s})^{\dagger }={\bar {u}}_{\textbf {p}}^{s}\gamma ^{0}\Psi }$${\displaystyle {\bar {u}}_{\textbf {p}}^{s}:=u_{\textbf {p}}^{\dagger s}\beta }$

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {Z}}}{\Big (}\lim _{y_{1}^{0}\rightarrow \infty }-\lim _{y_{1}^{0}\rightarrow -\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}\gamma ^{0}]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \mathrm {out} |\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Обратите внимание, что появился символ упорядочения по времени, поскольку первый член требует слева, а второй член требует справа. Следуя тем же шагам, что и раньше, это выражение сводится к${\displaystyle \Psi _{\beta _{1}}(y_{1})}$

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}(-i\partial \!\!\!/_{y_{1}}+m)]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \mathrm {out} |\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Остальные входные и выходные состояния затем могут быть извлечены и сокращены таким же образом, что в конечном итоге приводит к

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |\alpha \ \mathrm {in} \rangle =\int \!\prod _{j=1}^{n}\mathrm {d} ^{4}x_{j}{\frac {i\mathrm {e} ^{-ip_{j}x_{j}}}{\sqrt {Z}}}[(i{\partial \!\!\!/}_{x_{j}}+m)u_{{\textbf {p}}_{j}}^{s_{j}}]_{\alpha _{j}}\prod _{l=1}^{n'}\mathrm {d} ^{4}y_{l}{\frac {i\mathrm {e} ^{ik_{l}y_{l}}}{\sqrt {Z}}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{l}}^{\sigma _{l}}(-i{\partial \!\!\!/}_{y_{l}}+m)]_{\beta _{l}}\langle 0|\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1})...\Psi _{\beta _{n'}}(y_{n'}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})...{\bar {\Psi }}_{\alpha _{n}}(x_{n})]|0\rangle .}$

Ту же процедуру можно проделать для рассеяния частиц d-типа, для чего 's заменяются на 's, а 's и 's меняются местами.${\displaystyle u_{\textbf {p}}^{s}}$${\displaystyle v_{\textbf {p}}^{s}}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle {\bar {\Psi }}}$

Причину нормировочного фактора Z в определении внутренних и внешних полей можно понять, взяв соотношение между вакуумом и состоянием одной частицы с четырехмоментом на оболочке:${\displaystyle |p\rangle }$

${\displaystyle \langle 0|\varphi (x)|p\rangle ={\sqrt {Z}}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle +\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle }$

Помня, что и φ, и φ _в являются скалярными полями с их преобразованием Лоренца согласно:

${\displaystyle \varphi (x)=e^{iP\cdot x}\varphi (0)e^{-iP\cdot x}}$

где P ^μ — оператор четырехимпульса, можно записать:

${\displaystyle e^{-ip\cdot x}\langle 0|\varphi (0)|p\rangle ={\sqrt {Z}}e^{-ip\cdot x}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(0)|p\rangle +\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle }$

Применяя оператор Клейна–Гордона ∂ ² + m ² с обеих сторон, помня, что четырехмомент p является on-shell и что Δ _ret является функцией Грина оператора, получаем:

${\displaystyle 0=0+\int \mathrm {d} ^{4}y\delta ^{4}(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle ;\quad \Leftrightarrow \quad \langle 0|j(x)|p\rangle =0}$

Итак, приходим к соотношению:

${\displaystyle \langle 0|\varphi (x)|p\rangle ={\sqrt {Z}}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle }$

что объясняет необходимость фактора Z. Поле in является свободным полем, поэтому оно может связывать только одночастичные состояния с вакуумом. То есть его ожидаемое значение между вакуумом и многочастичным состоянием равно нулю. С другой стороны, взаимодействующее поле также может связывать многочастичные состояния с вакуумом благодаря взаимодействию, поэтому ожидаемые значения на двух сторонах последнего уравнения различны и требуют нормировочного фактора между ними. Правую часть можно вычислить явно, расширив поле in в операторах создания и уничтожения:

${\displaystyle \langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}q}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{q})^{\frac {1}{2}}}}e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )|p\rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}q}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} )|0\rangle }$

Используя коммутационное соотношение между a _в и получаем:${\displaystyle a_{\mathrm {in} }^{\dagger }}$

${\displaystyle \langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle ={\frac {e^{-ip\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}}$

что приводит к соотношению:

${\displaystyle \langle 0|\varphi (0)|p\rangle ={\sqrt {\frac {Z}{(2\pi )^{3}}}}}$

с помощью которого можно вычислить значение Z , при условии, что известно, как вычислять .${\displaystyle \langle 0|\varphi (0)|p\rangle }$