Метод конечного объема

Метод конечных объемов ( FVM ) — это метод представления и оценки частных дифференциальных уравнений в форме алгебраических уравнений. ^[1] В методе конечных объемов объемные интегралы в частном дифференциальном уравнении, содержащие член расхождения , преобразуются в поверхностные интегралы с использованием теоремы о расхождении . Затем эти члены оцениваются как потоки на поверхностях каждого конечного объема. Поскольку поток, входящий в заданный объем, идентичен потоку, выходящему из соседнего объема, эти методы являются консервативными . Еще одним преимуществом метода конечных объемов является то, что его легко сформулировать для учета неструктурированных сеток. Этот метод используется во многих пакетах вычислительной гидродинамики . «Конечный объем» относится к небольшому объему, окружающему каждую узловую точку сетки. ^[2]

Методы конечных объемов можно сравнить и противопоставить методам конечных разностей , которые аппроксимируют производные с использованием узловых значений, или методам конечных элементов , которые создают локальные аппроксимации решения с использованием локальных данных и строят глобальную аппроксимацию, сшивая их вместе. Напротив, метод конечных объемов оценивает точные выражения для среднего значения решения по некоторому объему и использует эти данные для построения аппроксимаций решения внутри ячеек. ^{[3] [4]}

Рассмотрим простую одномерную задачу адвекции :

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}=0,\quad t\geq 0.}$

1

Здесь представляет переменную состояния и представляет поток или течение . Традиционно, положительное представляет поток вправо, а отрицательное представляет поток влево. Если мы предположим, что уравнение ( 1 ) представляет текущую среду постоянной площади, мы можем подразделить пространственную область, , на конечные объемы или ячейки с центрами ячеек, индексированными как . Для конкретной ячейки, , мы можем определить среднее значение объема в момент времени и , как${\displaystyle \rho =\rho \left(x,t\right)}$${\displaystyle f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)}$${\displaystyle {t=t_{1}}}$${\displaystyle {x\in \left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]}}$

${\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)={\frac {1}{x_{i+1/2}-x_{i-1/2}}}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}\rho \left(x,t_{1}\right)\,dx,}$

2

и в то время как,${\displaystyle t=t_{2}}$

${\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{x_{i+1/2}-x_{i-1/2}}}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}\rho \left(x,t_{2}\right)\,dx,}$

3

где и представляют собой местоположения восходящих и нисходящих граней или ребер ячейки соответственно .${\displaystyle x_{i-1/2}}$${\displaystyle x_{i+1/2}}$${\displaystyle i^{\text{th}}}$

Интегрируя уравнение ( 1 ) по времени, имеем:

${\displaystyle \rho \left(x,t_{2}\right)=\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)\,dt,}$

4

где .${\displaystyle f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$

Чтобы получить средний объем в момент времени , мы интегрируем по объему ячейки и делим результат на , т.е.${\displaystyle \rho \left(x,t\right)}$${\displaystyle t=t_{2}}$${\displaystyle \rho \left(x,t_{2}\right)}$${\displaystyle \left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]}$${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1/2}-x_{i-1/2}}$

${\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{\Delta x_{i}}}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}\left\{\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)dt\right\}dx.}$

5

Мы предполагаем, что ведет себя хорошо и что мы можем изменить порядок интегрирования. Также напомним, что поток нормален к единичной площади ячейки. Теперь, поскольку в одном измерении , мы можем применить теорему о расходимости , т.е. , и заменить объемный интеграл расходимости значениями , оцененными на поверхности ячейки (ребрах и ) конечного объема следующим образом:${\displaystyle f\ }$${\displaystyle f_{x}\triangleq \nabla \cdot f}$${\displaystyle \oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x_{i-1/2}}$${\displaystyle x_{i+1/2}}$

${\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)-{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left(\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i+1/2}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i-1/2}dt\right).}$

6

где .${\displaystyle f_{i\pm 1/2}=f\left(x_{i\pm 1/2},t\right)}$

Поэтому мы можем вывести полудискретную численную схему для вышеуказанной задачи с центрами ячеек, проиндексированными как , и с потоками на краях ячеек, проиндексированными как , дифференцируя ( 6 ) по времени, чтобы получить:${\displaystyle i}$${\displaystyle i\pm 1/2}$

${\displaystyle {\frac {d{\bar {\rho }}_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[f_{i+1/2}-f_{i-1/2}\right]=0,}$

7

где значения для краевых потоков, , могут быть восстановлены путем интерполяции или экстраполяции средних значений ячеек. Уравнение ( 7 ) является точным для средних значений объема; т.е. при его выводе не было сделано никаких приближений.${\displaystyle f_{i\pm 1/2}}$

Этот метод можно также применить к двумерной ситуации, рассматривая северную и южную грани вместе с восточной и западной гранями вокруг узла.

Мы также можем рассмотреть общую задачу закона сохранения , представленную следующим уравнением в частных производных :

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)={\mathbf {0} }.}$

8

Здесь представляет собой вектор состояний и представляет собой соответствующий тензор потока . Снова мы можем подразделить пространственную область на конечные объемы или ячейки. Для конкретной ячейки, , мы берем интеграл объема по общему объему ячейки, , что дает,${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{i}}$

${\displaystyle \int _{v_{i}}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\,dv+\int _{v_{i}}\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\,dv={\mathbf {0} }.}$

9

Интегрируя первый член для получения среднего объема и применяя теорему о расходимости ко второму, получаем

${\displaystyle v_{i}{{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over dt}+\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} },}$

10

где представляет собой общую площадь поверхности клетки, а — единичный вектор, нормальный к поверхности и направленный наружу. Итак, наконец, мы можем представить общий результат, эквивалентный ( 8 ), т.е.${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle {\mathbf {n} }}$

${\displaystyle {{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+{{1} \over {v_{i}}}\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} }.}$

11

Опять же, значения для потоков на краях могут быть восстановлены путем интерполяции или экстраполяции средних значений ячеек. Фактическая численная схема будет зависеть от геометрии задачи и построения сетки. Реконструкция MUSCL часто используется в схемах с высоким разрешением , где в решении присутствуют толчки или разрывы.

Схемы конечного объема консервативны, поскольку средние значения ячеек изменяются через потоки на кромках. Другими словами, потеря одной ячейки всегда является выигрышем другой ячейки !

• Метод конечных элементов
• Ограничитель потока
• План Годунова
• Теорема Годунова
• Схема высокого разрешения
• КИВА (программное обеспечение)
• Модель общего кровообращения Массачусетского технологического института
• Схема MUSCL
• Сергей Константинович Годунов
• Общее изменение уменьшается
• Метод конечных объемов для нестационарного течения

• Эймар, Р. Галлуэ, ТР, Эрбин, Р. (2000) Метод конечных объемов Справочник по численному анализу, т. VII, 2000, стр. 713–1020. Редакторы: PG Ciarlet и JL Lions.
• Хирш, К. (1990), Численный расчет внутренних и внешних потоков, Том 2: Методы вычисления невязких и вязких потоков , Wiley.
• Лэйни, Калберт Б. (1998), Вычислительная газовая динамика , Издательство Кембриджского университета.
• Левек, Рэндалл (1990), Численные методы для законов сохранения , серия лекций по математике ETH, Birkhauser-Verlag.
• Левек, Рэндалл (2002), Методы конечных объемов для гиперболических задач , Cambridge University Press.
• Патанкар, Сухас В. (1980), Численный перенос тепла и поток жидкости , Hemisphere.
• Таннехилл, Джон К. и др., (1997), Вычислительная механика жидкости и теплопередача , 2-е изд., Тейлор и Фрэнсис.
• Торо, Э.Ф. (1999), Решатели уравнения Римана и численные методы для гидродинамики , Springer-Verlag.
• Весселинг, Питер (2001), Принципы вычислительной гидродинамики , Springer-Verlag.

• Методы конечных объемов Р. Эймара, Т. Галлуэ и Р. Хербина , обновление статьи, опубликованной в Handbook of Numerical Analysis, 2000
• Рубенкёниг, Оливер. "Метод конечных объёмов (FVM) – Введение". Архивировано из оригинала 2009-10-02., доступно по лицензии GFDL .
• FiPy: решатель уравнений в частных производных конечного объема с использованием Python от NIST.
• CLAWPACK: программный пакет, предназначенный для вычисления численных решений гиперболических уравнений в частных производных с использованием подхода распространения волн.