Длина модуля

В алгебре длина модуля над кольцом является обобщением размерности векторного пространства , которая измеряет его размер. ^{[1] страница 153} Она определяется как длина самой длинной цепочки подмодулей . Для векторных пространств (модулей над полем) длина равна размерности. Если — алгебра над полем , длина модуля не превышает его размерности как -векторного пространства. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle к}$${\displaystyle к}$

В коммутативной алгебре и алгебраической геометрии модуль над нётеровым коммутативным кольцом может иметь конечную длину только тогда, когда модуль имеет нулевую размерность Крулля . Модули конечной длины являются конечно порождёнными модулями , но большинство конечно порождённых модулей имеют бесконечную длину. Модули конечной длины называются артиновыми модулями и являются основополагающими для теории артиновых колец .${\displaystyle R}$

Степень алгебраического многообразия внутри аффинного или проективного пространства — это длина координатного кольца нульмерного пересечения многообразия с общим линейным подпространством дополнительной размерности. В более общем смысле кратность пересечения нескольких многообразий определяется как длина координатного кольца нульмерного пересечения.

Пусть будет (левым или правым) модулем над некоторым кольцом . Дана цепочка подмодулей вида${\displaystyle М}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle М}$

${\displaystyle M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n},}$

говорят, что это длина цепи. ^[1] Длина — это наибольшая длина любой из ее цепей. Если такой наибольшей длины не существует, мы говорим, что имеет бесконечную длину . Очевидно, если длина цепи равна длине модуля, то и${\displaystyle n}$${\displaystyle М}$${\displaystyle М}$${\displaystyle M_{0}=0}$${\displaystyle M_{n}=M.}$

Длина кольца — это длина самой длинной цепочки идеалов ; то есть длина рассматриваемого как модуль над собой левым умножением. Напротив, размерность Крулля — это длина самой длинной цепочки простых идеалов .${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

Если -модуль имеет конечную длину, то он конечно порожден . ^[2] Если R - поле, то обратное также верно.${\displaystyle R}$${\displaystyle М}$

-модуль имеет конечную длину тогда и только тогда, когда он является как нётеровым, так и артиновым модулем ^[1] (ср. теорему Хопкинса ). Поскольку все артиновы кольца являются нётеровыми, это означает, что кольцо имеет конечную длину тогда и только тогда, когда оно артиново.${\displaystyle R}$${\displaystyle М}$

Предположим, что — короткая точная последовательность -модулей . Тогда M имеет конечную длину тогда и только тогда, когда L и N имеют конечную длину, и мы имеем В частности, это влечет следующие два свойства$${\displaystyle 0\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow 0}$$${\displaystyle R}$$${\displaystyle {\text{длина}}_{R}(M)={\text{длина}}_{R}(L)+{\text{длина}}_{R}(N)}$$

• Прямая сумма двух модулей конечной длины имеет конечную длину
• Подмодуль модуля конечной длины имеет конечную длину, и его длина меньше или равна длине его родительского модуля.

Композиционный ряд модуля M представляет собой цепочку вида

${\displaystyle 0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}=M}$

такой что

${\displaystyle N_{i+1}/N_{i}{\text{ является простым для }}i=0,\dots ,n-1}$

Модуль M имеет конечную длину тогда и только тогда , когда он имеет (конечный) композиционный ряд, и длина каждого такого композиционного ряда равна длине M.

Любое конечномерное векторное пространство над полем имеет конечную длину. При наличии базиса существует цепь, длина которой . Она максимальна, поскольку при наличии любой цепи размерность каждого включения увеличится по крайней мере на . Следовательно, ее длина и размерность совпадают.${\displaystyle V}$${\displaystyle к}$${\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}}$$${\displaystyle 0\subset {\text{Размах}}_{k}(v_{1})\subset {\text{Размах}}_{k}(v_{1},v_{2})\subset \cdots \subset {\text{Размах}}_{k}(v_{1},\ldots ,v_{n})=V}$$${\displaystyle n}$$${\displaystyle V_{0}\subset \cdots \subset V_{m}}$$${\displaystyle 1}$

Над базовым кольцом артиновы модули образуют класс примеров конечных модулей. Фактически, эти примеры служат основными инструментами для определения порядка исчезновения в теории пересечений . ^[3]${\displaystyle R}$

Нулевой модуль — единственный, имеющий длину 0.

Модули длиной 1 — это именно простые модули .

Длина циклической группы (рассматриваемой как модуль над целыми числами Z ) равна числу простых множителей , причем кратные простые множители учитываются несколько раз. Это следует из того факта, что подмодули находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными делителями , это соответствие вытекает из того факта, что является главным кольцом идеалов .${\displaystyle \mathbb {Z} / n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} / n\mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Для нужд теории пересечений Жан-Пьер Серр ввел общее понятие кратности точки , как длины артинова локального кольца, связанного с этой точкой.

Первым применением было полное определение кратности пересечения и, в частности, формулировка теоремы Безу , утверждающей, что сумма кратностей точек пересечения n алгебраических гиперповерхностей в n -мерном проективном пространстве либо бесконечна, либо в точности равна произведению степеней гиперповерхностей.

Это определение кратности является довольно общим и содержит в себе как частные случаи большинство предыдущих понятий алгебраической кратности.

Этот раздел и подразделы могут быть слишком техническими для понимания большинства читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы сделать его понятным для неспециалистов , не удаляя технические детали. ( Май 2020 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Частным случаем этого общего определения кратности является порядок обращения в нуль ненулевой алгебраической функции на алгебраическом многообразии. Для заданного алгебраического многообразия и подмногообразия коразмерности 1 ^[3] порядок обращения в нуль для многочлена определяется как ^[4] где — локальное кольцо, определяемое стеблем вдоль подмногообразия ^{[3] страницы 426-227} , или, что эквивалентно, стеблем в общей точке ^{[5] страница 22} . Если — аффинное многообразие , а определяется исчезающим локусом , то имеет место изоморфизм Затем эту идею можно распространить на рациональные функции на многообразии , где порядок определяется как ^[3] что аналогично определению порядка нулей и полюсов в комплексном анализе .${\displaystyle f\in R(X)^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle f\in R(X)}$$${\displaystyle \operatorname {ord} _{V}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{V,X}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{V,X}}{(f)}}\right)}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V(ф)}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}\cong R(X)_{(f)}}$$ ${\displaystyle F=f/g}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \operatorname {ord} _{V}(F):=\operatorname {ord} _{V}(f)-\operatorname {ord} _{V}(g)}$$

Например, рассмотрим проективную поверхность, заданную многочленом , тогда порядок обращения в нуль рациональной функции задается как , где Например, если и и тогда так как является единицей в локальном кольце . В другом случае является единицей, поэтому фактор-модуль изоморфен , поэтому он имеет длину . Это можно найти с помощью максимальной собственной последовательности${\displaystyle Z(h)\subset \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle h\in k[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}$$${\displaystyle F={\frac {f}{g}}}$$$${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z(h)}(F)=\operatorname {ord} _{Z(h)}(f)-\operatorname {ord} _{Z(h)}(g)}$$$${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z(h)}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(f)}}\right)}$$${\displaystyle h=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{2}^{3}}$${\displaystyle f=x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle g=h^{2}(x_{0}+x_{1}-x_{3})}$$${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z(h)}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(x^{2}+y^{2})}}\right)=0}$$${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}$${\displaystyle x_{0}+x_{1}-x_{3}}$$${\displaystyle {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h^{2})}}}$$${\displaystyle 2}$$${\displaystyle (0)\subset {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h)}}\subset {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h^{2})}}}$$

Порядок обращения в нуль является обобщением порядка нулей и полюсов для мероморфных функций в комплексном анализе . Например, функция имеет нули порядка 2 и 1 при и полюс порядка при . Этот вид информации можно закодировать с помощью длины модулей. Например, установив и , существует связанное локальное кольцо и фактор-модуль Обратите внимание, что является единицей, поэтому это изоморфно фактор-модулю Его длина равна , поскольку существует максимальная цепочка подмодулей. ^[6] В более общем случае, используя теорему Вейерштрасса о факторизации, мероморфная функция разлагается на множители как , которые являются (возможно, бесконечным) произведением линейных многочленов как в числителе, так и в знаменателе.$${\displaystyle {\frac {(z-1)^{3}(z-2)}{(z-1)(z-4i)}}}$$${\displaystyle 1,2\in \mathbb {C} }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 4i\in \mathbb {C} }$${\displaystyle R(X)=\mathbb {C} [z]}$${\displaystyle V=V(z-1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}}$${\displaystyle \mathbb {C} [z]_{(z-1)}}$$${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-4i)(z-1)^{2})}}}$$${\displaystyle z-4i}$$${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1)^{2})}}}$$${\displaystyle 2}$$${\displaystyle (0)\subset {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1))}}\subset {\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1)^{2})}}}}$$$${\displaystyle F={\frac {f}{g}}}$$

• Ряд Гильберта–Пуанкаре
• делитель Вейля
• Чоу-ринг
• Теория пересечений
• Теорема факторизации Вейерштрасса
• Гипотеза множественности Серра
• Схема Гильберта - может быть использована для изучения модулей по схеме с фиксированной длиной.
• Теорема Крулля–Шмидта

• Стивен Х. Вайнтрауб, Теория представлений конечных групп AMS (2003) ISBN 0-8218-3222-0 , ISBN 978-0-8218-3222-6  
• Аллен Альтман, Стивен Клейман, Термин коммутативной алгебры .
• Проект Stacks. Длина